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中考几何 半角模型

2024-05-04 来源:意榕旅游网
小马成群

半角

例题:

如图,将CBN绕点C顺时针旋转90,得CAD,连结MD,

则ADBNn,CDCN,∠ACD∠BCN, ∴∠MCD∠ACM∠ACD

DAMNBCACM∠BCN

904545MCN. ∴MDC≌MNC, ∴MDMNx

又易得DAM454590,

∴在RtAMD中,有m2n2x2,故应选(B)

练习:

1、如图,正方形ABCD的边长为1,AB、AD上各存一点P、Q,若APQ的周长为2,求PCQ的度数.

2、E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点,且∠EAF45,AHEF,H为垂足, 求证:AHAB.

DCQAPBA

DFH

BEC------ 初三数学专题复习 旋转模型之半角 page 1 of 4

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3、如图所示,在等腰直角ABC的斜边AB上取两点M、N,使MCN45,记AMm,MNx,BNn,求证:以x、m、n为边长的三角形的形状是直角三角形.

4、已知:如图1在RtABC中,BAC90,ABAC,点D、E分别为线段BC上两动点,若DAE45.探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.

小明的思路是:把AEC绕点A顺时针旋转90,得到ABE,连结ED, 使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题:

⑴ 猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式,并对你的猜想给予证明;

⑵ 当动点E在线段BC上,动点D运动在线段CB延长线上时,如图2,其它条件不变,⑴中探究的结论是否发生改变?请说明你的猜想并给予证明.

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DBE图2CACAmMxNnBABD图1EC小马成群

解析:

1、如图,正方形ABCD的边长为1,AB、AD上各存一点P、Q,若APQ的周长为2,求PCQ的度数 解: 把CDQ绕点C旋转90到CBF的位置,CQ=CF.

∵AQAPQP2, 又AQQDAPPB2, ∴QD+BP=QP. 又DQ=BF, ∴PQ=PF. ∴QCP≌FCP. ∴QCPFCP. 又∵QCF90, ∴PCQ45.

2、E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点,且∠EAF45,AHEF,H为垂足, 求证:AHAB.

解: 延长CB至G,使BGDF,连结AG,

易证△ABG≌△ADF,

QAPBQAPBFDCDCADFHADFH∠BAG∠DAF,AGAF. 再证△AEG≌△AEF, 全等三角形的对应高相等

(利用三角形全等可证得),则有AHAB.

BECGBEC3、如图所示,在等腰直角ABC的斜边AB上取两点M、N,使MCN45,记AMm,MNx,BNn,求证:以x、m、n为边长的三角形的形状是直角三角形.

解: 法1:如图所示,将CBN绕点C顺时针旋转90,得到CAD.

连接MD,则ADBNn,CDCN,ACDBCN,

故MCDACMACDACMBCN904545MCN, 从而MDC≌MNC, 则MDMNx.

而DAM454590,

故在直角三角形AMD中有m2n2x2.

法2:我们用上一讲学习过的“对称变换”也能得到解答. 如图所示,以CM为对称轴将CMA翻折到CMP的位置. 易证CPN和CBN关于CN对称,且PMN为直角三角形, 并且可得PMAMm,PNNBn,MNx.

AMPNBADnAmMxNnBCmMxCNnBC------ 初三数学专题复习 旋转模型之半角 page 3 of 4

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4、已知:如图1在RtABC中,BAC90,ABAC,点D、E分别为线段BC上两动点,若DAE45.探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.

小明的思路是:把AEC绕点A顺时针旋转90,得到ABE,连结ED, 使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题:

⑴ 猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式,并对你的猜想给予证明;

⑵ 当动点E在线段BC上,动点D运动在线段CB延长线上时,如图2,其它条件不变,⑴中探究的结论是否发生改变?请说明你的猜想并给予证明.

⑴ DE2BD2EC2

证明: 根据AEC绕点A顺时针旋转90得到ABE

∴AEC≌ABE

∴BEEC,AEAE,CABE,EACEAB 在RtABC中 ∵ABAC

∴ABCACB45 ∴ABCABE90 即EBD90 ∴EB2BD2ED2 又∵DAE45 ∴BADEAC45 ∴EABBAD45 即EAD45

DBE图2CAABD图1EC≌AED ∴AED∴DEDE ∴DE2BD2EC2

⑵ 关系式DE2BD2EC2仍然成立

证明:将ADB沿直线AD对折,得AFD,连FE ∴AFD≌ABD ∴AFAB,FDDB

BDEE'CAFADBAD,AFDABD

又∵ABAC,∴AFAC

∵FAEFADDAEFAD45

AFEACBACBAE90DAEDAB45DAB ∴FAEEAC 又∵AEAE ∴AFE≌ACE

∴FEEC,AFEACE45

DBECAFDABD180ABC135

∴DFEAFDAFE1354590 ∴在RtDFE中

DF2FE2DE2即DE2BD2EC2

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