例说sinx+cosx与sinxcosx之间的关系

例说sincos，sincos，sincos之间的关系

福建东山二中 谢小兴

在三角恒等变换中，sincos，sincos，sincos三者之间的关系比较特殊。由于存在倍角公式的变形公式

(sincos)21sin2。不难发现

sincos，sincos，sincos之间有着知其一可求其二的密切关系，进而可求sin与cos的值，从而求出θ的任一三角函数值，其中sincos起着纽带的作用。应

用这一关系可以巧妙地解决一类相关问题。

7，求sin2,sin,cos,tg的值。 5724解：由sincos两边平方，易得sin2。

5251 (sincos)21sin2，

2577sincossincos55

解方程组或sincos1sincos15543sinsin55，tg4或3. 得或34cos3cos455例2. 函数ysinxcosxsinxcosx的最大值为_________。

例1.

已知sincos解：设tsinxcosx2sin(x4)，则2t2。

t21又sinxcosx，

2t211(t1)21， 那么ysinxcosxsinxcosxt221所以当t2时，y有最大值2。

24sincos1 例3. 求f()(0)的最大值和最小值。

sincos12解：设tsincos由02sin(4)，

3，则1t2

2444222又由(sincos)t，得2sincost1，

，得

2(t21)1112(t1)2(t1)4 所以f(t)t1t1t1'11f(x)22>0f(x)2x4 为增函数

xx即 当1t

2时， f(t)是t的增函数，

1

 2(11)即 11f(t)2(21)， 11211f(t)21 为f（t）的取值范围。 21故函数f（θ）有最大值21，最小值

22，AC2，AB3，求tanA的值和△ABC 例4. 在△ABC中，sinAcosA2的面积。

2112，得(sinAcosA)，2sinAcosA 222因为 0A180，所以 sinA0，cosA0。

32又(sinAcosA)12sinAcosA，

262626，cosA即sinAcosA。 从而得sinA

244sinA则tanA23

cosA11263(26)。 故SABCACABsinA232244解：由sinAcosA练一练：

60，且，求sin与cos的值。 169422 2. 已知sinxsiny，求cosxcosy的取值范围。

2 1. 已知sincos答案： 1. sin125，cos 1313228917，则sincos。 16913497又12sincos，得sincos，由此可解得）

169131414， 2. 22（提示：由题意可得(sincos)（提示：设cosxcosyt两边平方，把sinxsiny2两边平方， 2t23即可得解） 相加得cos(xy)24

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