n阶幻方的填法

n阶幻方的填法

Prepared on 24 November 2020

n阶幻方的填法(n≥3)

幻方，亦称纵横图。台湾称为魔术方阵。将自然数1，2，3，……n2排列成一个n2方阵，使得每行、每列以及两对角线上的各个数之和都相等，等于

(1+𝑛2)𝑛2

2

×𝑛这样的方阵称为幻方。

1

幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，这说明我国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律。而在国外，公元130年，希腊人塞翁才第一次提起幻方。我国不仅拥用幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。公元13世纪的数学家杨辉已经编制出3－10阶幻方，记载在他1275年写的《续古摘厅算法》一书中。在欧洲，直到574年，德国着名画家丢功才绘制出了完整的4阶幻方。

例如：把1，2，3，4，5，6，7，8，9填入3*3的格子，使得：每行、每列、两条对角线的和是15。

8 3 4 1 5 9 6 7 2 n是它的阶数，比如上面的幻方是3阶。n/2*(n*n+1)为幻方的变幻常数。数学上已经证明，对于n>2，n阶幻方都存在。 目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，每类又有各种各样的填写方法。这里对于这三类幻方，仅举出一种方便手工填写的方法。 1、奇数阶幻方 n为奇数 (n=3，5，7，9，11……) (n=2*k+1，k=1，2，3，4，5……)奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯方)。填写方法是这样：把1(或最小的数)放在第一行正中； 按以下规律排列剩下的n*n-1个数： (1)、每一个数放在前一个数的右上一格；(2)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； (3)、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；(4)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内； (5)、如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。 2、双偶阶幻方

n为偶数，且能被4整除 (n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……)先说明一个定义：

互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即 n*n+1，称为互补。

先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：

1 5 9 13 2 6 10 14 3 7 11 15 4 8 12 16 这个方阵的对角线，已经用蓝色标出。将对角线上的数字，换成与它互补的数字。这里，n*n+1 = 4*4+1 = 17；把1换成17-1 = 16；把6换成17-6 = 11；把11换成17-11 = 6……换完后就是一个四阶幻方。 16 5 9 4 2 11 7 14 3 10 6 15 13 8 12 1 对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4*4把它划分成k*k个方阵。因为n是4的倍数，一定能用4*4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。 下面是8阶幻方的作法： (1) 先把数字按顺序填。然后，按4*4把它分割成2*2个小方阵 1 9 17 25 33 41 49 57

2 10 18 26 34 42 50 58 3 11 19 27 35 43 51 59 4 12 20 28 36 44 52 60 5 13 21 29 37 45 53 61 6 14 22 30 38 46 54 62 7 15 23 31 39 47 55 63 8 16 24 32 40 48 56 64

(2) 每个小方阵对角线上的数字，换成和它互补的数。

64 9 17 40 32 41 49 8 3、单偶阶幻方 n为偶数，且不能被4整除 (n=6，10，14，18，22……) (n=4k+2，k=1，2，3，4，5……)这是三种里面最复杂的幻方。以n=10为例。这时，k=2(1) 把方阵分为A，B，C，D四个象限，这样每一个象限肯定是奇数阶。用楼梯法，依次在A象限，D象限，B象限，C象限按奇数阶幻方的填法填数。A B C D 17 23 4 10 11 92 98 79 85 86 24 5 6 12 18 99 80 81 87 93 1 7 13 19 25 76 82 88 94 8 14 20 21 2 83 89 95 96 15 16 22 3 9 90 91 97 78 84 67 73 54 60 61 42 48 29 35 36 74 55 56 62 68 49 30 31 37 43 51 57 63 69 75 26 32 38 44 50 58 64 70 71 52 33 39 45 46 27 65 66 72 53 59 40 41 47 28 34 2 55 47 26 34 23 15 58 3 54 46 27 35 22 14 59 61 12 20 37 29 44 52 5 60 13 21 36 28 45 53 4 6 51 43 30 38 19 11 62 7 50 42 31 39 18 10 63 57 16 24 33 25 48 56 1 100 77 (2) 在A象限的中间行、中间格开始，按自左向右的方向，标出k格。A象限的其它行则标出最左边的k格。 17 24 1 8 15 67 74 51 58 65

23 4 10 11 92 98 79 85 86 5 6 12 18 99 80 81 87 93 7 13 19 25 76 82 88 94 14 20 21 2 83 89 95 96 16 22 3 9 90 91 97 78 84 73 54 60 61 42 48 29 35 36 55 56 62 68 49 30 31 37 43 57 63 69 75 26 32 38 44 50 64 70 71 52 33 39 45 46 27 66 72 53 59 40 41 47 28 34 100 77 (3) 将这些格，和C象限相对位置上的数，互换位置。 92 98 4 85 86 17 23 79 10 11 99 80 6 87 93 24 5 81 12 18 1 7 88 19 25 76 82 13 94 8 14 95 21 2 83 89 20 96 15 16 22 3 9 90 91 97 78 84 67 73 54 60 61 42 48 29 35 36 74 55 56 62 68 49 30 31 37 43 51 57 63 69 75 26 32 38 44 50 58 64 70 71 52 33 39 45 46 27 65 66 72 53 59 40 41 47 28 34 100 77 (4) 在B象限任一行的中间格，自右向左，标出k-1列。(注：6阶幻方由于k-1=0所以不用再作B、D象限的数据交换) 92 98 4 85 86

99 80 6 87 93 1 7 88 19 25 8 14 95 21 2 15 16 22 3 9 67 73 54 60 61 74 55 56 62 68 51 57 63 69 75 58 64 70 71 52 65 66 72 53 59

17 23 79 10 11 24 5 81 12 18 76 82 13 94 83 89 20 96 90 91 97 78 84 42 48 29 35 36 49 30 31 37 43 26 32 38 44 50 33 39 45 46 27 40 41 47 28 34 100 77 (5) 将B象限标出的这些数，和D象限相对位置上的数进行交换，即可完成。 92 98 4 85 86 17 23 79 10 11

99 80 6 87 93 24 5 81 12 18 1 7 88 19 25 76 82 13 94 8 14 95 21 2 83 89 20 96 15 16 22 3 9 90 91 97 78 84 67 73 54 60 61 42 48 29 35 36 74 55 56 62 68 49 30 31 37 43 26 32 38 44 50 51 57 63 69 75 58 64 70 71 52 33 39 45 46 27 65 66 72 53 59 40 41 47 28 34 100 77