幻方

一般的，在n×n（n行n列）的方格里，填上n2个连续数，使任一行、任一列及两条对角线上的n个自然数的和都相等。这样的

数（表）叫做n阶幻方。

例1 讲1~9这九个数分别填在3行3列的数表中，是每行每列以及对角线上的和都相等。

解：如图1-1,3行的总和为1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，所以每行的和是45÷3＝15。每列的和、两条对角线的和也是15。而且，两条对角线的和与第二列的和相加是45，其中E出现了三次，第一、三行的数各出现了一次，因此3×E＋2×15＝3×15。从而E＝5.

知道中央数E是5，就不难用尝试法做出三阶幻方，本质上就是图1-1，结果可见图1-2.

A D G B E H C F I 4 3 8 9 5 1 2 7 6

在《射雕英雄传》中，黄蓉曾破九宫格，口诀：戴九履一，左三右七，二四为肩，八六为足。

还有口诀：“一居上行正中央，依次斜填切莫忘,上出框时往下放，右出框时往左放，排重便在下格填，右上排重一个样。” 观察这个三阶幻方，你能从中发现那些规律呢？ a． 中间数是两旁数的平均数（幻和是居中数的三倍） b． 每个角上的数是它的对角旁的平均数 c． 通过翻转或旋转90度，仍是三阶幻方

例2 在图1-3中的空格中填入不小于18且互不相同的偶数（其中已填好一个数），使每行每列和对角线上三个数之和都等于30.

解： 根据题意可知，A＋B＋4＝30，C＋D＋E＝30，F＋G＋H＝30，且A＋D＋H＝30，B＋D＋G＝30，F＋D＋4＝30 ， 所以，（A＋B＋C＋D＋E＋F＋G＋H＋4）＋D×3＝30×4

所以，D×3＝120－90＝30， 因此，D＝10。 结果如图1-4。

1-1

1-2

A D G B E H 4 F I 8 18 4

1-3

例3 将1~16这16个数字排列幻方。

6 10 14 1-4 12 成一个四阶

16 2 解：首先将1~16依次填入得图1-5。

这时两条对角线的和都是34，我们对行列进行调整，使得每行每列的和都是34，且调整时应保证对角线上的数不动。

将2、3分别与15、14交换，将5、8分别与12、9交换（图1-6），最后得到图1-7，他就是一个四阶幻方。

1 5 9 2 6 3 7 4 8

1 5 9 2 6 3 7 4 8 1 15 14 4 7 9 12 6 8 10 11 12 10 11 12 10 11 5 2 16 1-7

13 14 15 16 1-5

13 14 15 16 1-6

13 3

例四： 用1~36这36个数字组成一个六阶幻方。

解：仍然用例三的方法，选完成图1-8，这时两条对角线已满足要求，和均为111，然后对行列调整。(图1-8)

先调整行，将第一行的2、3、5分别与第六行的32、33、35对调；第二行的7、9、10分别与第五行的25、27、28对调，成为图1-9，这时行和均为111。（图1-9）

再调整列，将第一列的25、19、7分别与第六列的12、24、30对调；第二列的32、20、14分别与第五列的35、17、23对调；第三列的33、9、3与第四列的4、10、34对调，成为图1-10，这时，列和均

为111.（图1-10） 1 7 2 8 3 9 4 5 6

1 1-8 1-9 1 32 33 4 35 6 10 11 12 25 8 27 28 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 19 20 15 16 17 24 13 14 21 22 23 18 7 26 9 3 10 29 30 34 5 36 31 2 35 4 33 32 6 12 8 27 28 11 25 24 17 15 16 20 19 13 23 21 22 14 18 30 26 10 9 31 2

34 3 1-10 29 7 5 36