《圆 的 面 积》教学设计
【教学内容】：五（下）第103～105页例7、例8、例9，完成随后的“练一练”和练习十九第一题。
【设计意图】：这部分内容是在学生已经掌握了圆的基本特征和圆的周长公式、初步建立面积的含义和掌握长方形面积公式的基础上，引导学生探索并掌握圆的面积公式的。因此，本设计注重直观教学，通过学生直观动手操作、演示、观察、比较，初步发现圆的面积与半径的关系，再运用转化思想，引导学生把圆等分成若干份，拼成一个近似的长方形，通过形象、具体的操作体会圆平均分的份数越多，拼成的图形越接近长方形的极限思想。然后通过组织学生比较拼成的长方形和原来圆的联系，由长方形面积公式推导出圆的面积公式。以便更加有利于发展学生的空间观念，提高学生分析解决问题的策略水平，为以后解决有关组合图形面积的问题做好准备。
【教学目标】： 1. 通过操作、演示、观察、比较，引导学生推导出圆面积的计算公式，并能运用公式解答一些简单的实际问题。
2. 激发学生参与整个课堂教学活动的学习兴趣， 培养学生的分析、观察和概括能力，发展学生的空间观念。
3. 渗透转化的数学思想和极限思想。
【教学重点】：指导学生探索发现圆面积与半径的关系，运用转化思想探索发现圆面积计算公式，能正确计算圆的面积。
【教学难点】：让学生在操作中初步建立无穷细分的极限思想。 【教学过程】： 一、导入新课
师：通过前面几节课的学习，我们已经认识了圆的特征和画法，还知道了怎样求一个圆的周长，今天我们继续学习有关圆的知识。
课件出示：拴在木桩上的羊吃草的动画画面 提问：你能知道羊吃了多大面积的草吗？
指名说，揭题：要知道羊吃草的面积其实就是求圆的面积，今天我们就来研究怎样求圆的面积。
【设计说明：从学生喜爱的动画画面引入新知，既联系了生活实际，又激发学生的学习兴趣，提高学生学习新知的积极性。】
二、学习新课
1、初步猜想：首先我们来猜一猜圆的面积可能与什么有关？
2、实验验证：圆的面积是不是与半径或直径有关，它与半径或直径究竟有着怎样的关系呢？我们来做个实验。
师：请看，这是一个正方形（课件出示）我们以正方形的边长为半径画一个圆。（课件显示画圆过程）。
提问：（1）图中正方形的面积与圆的半径有什么关系？
（2）师：既然正方形的面积等于圆的半径的平方，那我们来猜一猜，圆的面积大约会是正方形面积的几倍？
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师引导：从图上看到正方形面积超过了1／4 个圆的面积，那么整个圆的面积够不够正方形面积的4倍？有可能是几倍？（3倍多一些）。
【设计说明：问题解决之前，让学生尝试猜想。有效地体验从猜想——实践验证——分析——归纳总结的科学探究问题的方法。】
（3）师：圆的面积是不是这个正方形面积的3倍多一些呢？我们可以像学习长方形、正方形面积时那样，用数方格的方法来验证刚才的猜想。
课件出示方格
师：大家先来回忆一下，我们以前是怎样数方格的？
引导说：先数满一格的有几格；再数不满一格的（接近满格的可以看作满格，不满一格的可以看成半格凑成一满格）。
师：会数了吗？还有疑问吗？
（老师有个疑问：我觉得这个正方形面积好数，可这圆的面积怎么数呢？小方格只盖了一部分啊？）
引导说：先数出 1／4 个圆的面积。
师：真聪明，那就赶快动手数吧。数好后请用计算器算一算，这个圆的面积大约是正方形面积的几倍，并将结果记录下来。
【设计说明：学生对数方格的方法可能有所遗忘，特别是数圆的面积会有困难，教师适当引导，帮助学生更好地掌握方法，为发现两者的倍数关系作好准备。】
（4）指名回答：完成填空
课件出示：正方形面积=（16）平方厘米
1／4个圆的面积﹦（12.5）平方厘米（或13） 圆的面积=（50）平方厘米
提问：圆的面积大约是正方形面积的几倍？（3.1倍、3.2倍）【实际数方格、计算时会有一点误差，教师适当说明】
师：只用一个圆，还不足以验证猜想，我们再找两个圆，也用上面的方法算一算，看看是否也有这样的关系。
课件出示例7题下面两幅图，计算并填写图下的表格： 正方形的 圆的半径 面积/cm² /cm 9 25 3 5 圆的面积 /cm² 28 78 圆的面积大约是正方形面积 的几倍（精确到十分位） 3.1 3.1 3、交流归纳：从上面的计算中，你能发现圆的面积和它的半径之间有什么关系吗？
交流、小结：（1）圆的面积是它的半径平方的3倍多一些。 （2）圆的面积可能是半径平方的π倍。 三、学习例8
1、师：经过刚才的学习，我们已经知道圆的面积大约是它半径平方的3倍多一些，那么圆的面积究竟应该怎样来计算呢？我们继续学习。大家还记得我们是怎样探索得到三角形和梯形的面积公式的吗？（转化成平行四边形来求）那
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么平行四边形的面积计算公式又是怎样得到的呢？（转化成长方形）那么我们能否把圆也转化成学过的图形来得出它的面积公式呢？
【设计说明：由于学生的年龄小，可能不能很快和以前的平面图形建立联系，这就需要教师的引导，通过这一环节，很好地渗透了“转化”这一重要的数学思想。使学生明白：新的问题可以转化成旧的知识，利用旧知识解决新问题。】
2、操作体验：（1）课件出示例8，演示把圆平均分成16份，并拼成一个近似的平行四边形。
（2）师：现在请大家拿出自己准备的分成16等份的圆，也像屏幕上这样来拼一拼，看看：拼成的图形像个什么图形？
（3）指名说
追问：为什么说它像一个平行四边形？（拼成的图形上下的边不够直）。 3、初步想像：如果把圆平均分成32份，也用类似的方法拼一拼，想一想：拼成的图形与前面的图形相比将会有怎样的变化？
（1）学生动手拿出准备的材料拼一拼。 （2）指名说：你发现了什么？
（拼成的图形上下边比分成16份时更直了） （3）课件演示，验证。
4、进一步想像：如果将圆继续平均分成64份、128份……也用类似的方法拼一拼，随着份数的增加，拼成的图形会有什么变化？
指名说：随着平均分的份数越多，拼成的图形会越来越接近长方形。 课件演示：箭头、省略号、长方形虚线框。
师：那么拼成的长方形与原来的圆有什么联系呢？
小组讨论交流（提示：可以从外形、面积、长、宽等方面考虑）。 师：各小组派个代表说说你们有什么发现？
生：长方形的宽就是圆的半径，长方形的长是圆周长的一半…… 师：如果圆的半径是r，长方形的长和宽各应怎样表示？ 指名说：长等于圆周长的一半，即长= 2 πr÷2 = πr 宽等于圆的半径 宽=r
师：真不简单，一下子就找出了拼成的长方形的长与宽和原来圆的关系，还有什么发现吗？
指名说：形状变了（由圆形变成长方形）；面积不变（长方形面积就等于原来的圆的面积）
引导得出：只要能算出这个长方形的面积，就能得到圆的面积。 师：根据长方形面积的计算方法、怎样来计算圆的面积？ 指名说，课件演示： 长方形面积=长×宽 圆的面积=πr×r
=πr²
用字母表示为：S=πr²
师：事实证明。我们一开始的猜想是正确的，圆的面积确实跟圆的半径有关，而且圆的面积是半径平方的多少倍？（π倍）
【设计说明：考虑学生的现实认知水平，采取先操作、再想象的思路。先引导学生回忆平行四边形、三角形、梯形的面积公式的推导，顺其自然地想到把圆转化成已学过的图形，再介绍分割圆的方法，展示由“曲”变“直”的过程，
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有机地渗透极限和转化思想。并通过小组讨论、师生对话、示范板书，重点理解变化前后圆的半径与长方形长与宽的关系，展示了从长方形面积公式推导圆面积公式的思维全过程，突出了用πr替代长方形的长，r替代长方形的宽，以及把πr×r改写成πr2这三个关键点，确保收到良好的教学效果。并借机培养学生动手操作，口头表达和逻辑思维的能力。】
师：那么有了这样一个公式，知道圆的什么条件，就可以计算圆的面积了？ 6、课件出示“练一练”，师：现在就请大家利用刚得到的圆面积公式来求2个圆的面积。
（1）学生计算
（2）核对答案，引导比较两题的不同之处。 四、学习例9 师：在日常生活中经常会遇到与圆面积计算有关的实际问题，请看大屏幕。 （1）课件出示例9
师：有没有见过自动旋转喷水器？想象一下，自动旋转喷水器旋转一周后喷灌的地方形成什么图形？这个圆的半径是什么？（是喷水的最远距离）。
（2）学生独立尝试解答。 （3）反馈交流
（4）师：现在，对于刚才的羊吃草问题你有把握解决吗？需要知道什么条件？
五、巩固练习
1、把一个圆形纸片等分成若干等份，然后把它剪开，拼成一个近似的长方形。这个长方形的长相当于圆的（ ），宽相当于圆的
（ ）。因为长方形面积=（ ）×（ ），所以圆的面积=（ ）×（ ）=（ ）。
2、圆的周长是（ ）的π倍，圆的面积是（ ）的π倍。
3、一个圆形钢板，半径3厘米，面积是多少平方厘米？
4、一种时钟的分针长8厘米，它旋转一周，针尖走过的路程是多少厘米？针尖扫过的面积是多少平方厘米？
5、开放探索：
右图中正方形的面积是8平方厘米，涂色部分的面积是多少平方厘米？
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【设计说明： 安排了坡度适当、由易到难的练习题，使学生由浅入深地理解、运用了知识，形成技能。同时，还能培养学生逻辑推理的能力】
六、全课总结
今天这节课，你有什么收获？
师：其实我们今天把圆转化成长方形来推导出圆的面积公式的方法源于伟大的天文学家、数学家开普勒“化圆为方”的伟大构想。除此以外，我们还可以把圆转化为梯形，转化为三角形分别推导出圆的面积公式，真是神奇而有趣，想知道吗？那就课后再去剪一剪、拼一拼或是查阅资料，大开眼界吧！
【资料链接】：
圆面积的探究历史，可以追溯到公元前约225年，阿基米德在欧多克索斯穷竭法的理论基础上，采用双重归谬的间接验证法证明了欧几里德的《几何原本》的命题XII.2：两个圆的面积之比等于两圆直径的平方比。我国魏晋时期刘徽的“割圆术”是中国数学史上的重要成就之一，其中包含着中国数学家对无限问题的独特认识和致用的处理方式，使用了数列极限的“夹逼准则”和不可分量可积的预设。德国天文学家开普勒将圆等分成若干个全等的等腰三角形，再拼成近似的平行四边形推导出圆的面积计算公式是s=πr2，这就是很多现行教材采用的推导方法。数学史研究发现：化圆为方、等积变形、极限思想和合情推理是圆面积计算公式推导最上位的指导思想。
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