专题2-1 数列重难点、易错点突破

（建议用时：120分钟） 1 求数列通项的四大法宝

1.公式法

S1，n＝1，

题设中有an与Sn的关系式时，常用公式an＝来求解.

Sn－Sn－1，n≥2

例1 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n－2，求其通项公式an. 2.累加法

若数列{an}满足an－an－1＝f(n－1)(n≥2)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)可求，则可用累加法求通项. 例2 已知数列{an}满足a1＝1，an＝3n1＋an－1(n≥2)，求其通项公式an. 3.叠乘法

an

若数列{an}满足＝f(n－1)(n≥2)，其中f(1)·f(2)·…·f(n－1)可求，则可用叠乘法求通项.

an－13n－4

例3 已知数列{an}中，a1＝3，an＝a－(a≠0，n≥2)，求其通项公式an.

3n－1n1n 4.构造法

当题中出现an＋1＝pan＋q(pq≠0且p≠1)的形式时，把an＋1＝pan＋q变形为an＋1＋λ＝p(an＋λ)，即an＋1＝pan＋λ(p－1)，令λ(p－1)＝q，解得λ＝

q

，从而构造出等比数列{an＋λ}. p－1

－

1

例4 数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋3(n∈N*)，求其通项公式an.

4

1

2 提高运算速度七妙招

数列问题的灵活性、技巧性较强，因此，在解数列问题时必须研究技巧与策略，以求做到：选择捷径、合理解题，本文归纳了七种常见策略. 第一招 活用概念

数列的概念是求解数列问题的基础，灵活运用数列的概念，往往能出奇制胜.

例1 已知{an}是公差为2的等差数列，若a1＋a4＋a7＋…＋a97＝100，那么a2＋a5＋a8＋…＋a98等于( ) A.166 B.66 C.34 D.100

第二招 巧用性质

数列的性质是数列的升华，巧妙运用数列的性质，往往可以使问题简单明了，解题更快捷方便. 例2 各项均为正数的等比数列{an}中，若a7a8＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a14等于( ) A.12 B.14 C.10 D.10＋log32

第三招 灵用变式

在求解数列问题过程中，可以利用等差或等比数列的变形公式来处理有关问题. 例3 已知等差数列{an}中，a3＝3，a10＝388，则该数列的通项an＝________. 第四招 整体考虑

通过研究问题的整体形式、整体结构，避免局部运算的困扰，达到简捷解决问题的目的. 例4 设Sn表示等差数列{an}的前n项和，且S9＝18，Sn＝240，若an－4＝30，试求n的值.

第五招 数形结合

数列是一类特殊的函数，所以可以借助函数的图象，通过数形结合解数列问题. 例5 在公差d<0的等差数列{an}中，已知S8＝S18，则此数列的前多少项的和最大？

第六招 分解重组

在处理数列求和问题时，若数列的通项公式可分解为几个容易求和的部分，则对数列的前n项和进行重新分解，分别求和.

2

5191例6 在数列{an}中，已知a1＝，a2＝，且{bn}是公差为－1的等差数列，bn＝log2an1an，{cn}636311

是公比为的等比数列，cn＝an＋1－an，求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn.

32

第七招 合理化归

化归意识是把待解决的问题转化为已有知识范围内问题的一种数学意识，包括将复杂式子化简、为达某一目的对数学表达式进行变形、从目标入手进行分析等. 例7 数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝列.

3 盘点数列中的易错问题

1.对数列的概念理解不准而致错

例1 已知数列{an}是递增数列，且对于任意的n∈N*，an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是________. 2.忽视数列与函数的区别而致错

3－ax－3，x≤7，

例2 设函数f(x)＝x－6数列{an}满足an＝f(n)，n∈N*，且数列{an}是递增数列，则实数a

a，x>7，

n＋2SSn(n＝1,2,3，…)，证明：数列n是等比数nn

的取值范围是________.

3.公式使用条件考虑不周全而致错

例3 已知数列{an}的前n项和为Sn＝3n＋2n＋1，求an.

3

4.审题不细心，忽略细节而致错

例4 首项为9的等差数列，从第7项起开始为负数，求公差d的取值范围.

5.忽略概念中的隐含条件而致错

例5 一个凸n边形的各内角度数成等差数列，其最小角为120°，公差为5°，求凸n边形的边数.

6.忽视等差数列前n项和公式的基本特征而致错

Sn5n＋3a9

例6 已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且对一切正整数n都有＝，试求

Tn2n＋7b9的值.

7.等差数列的特点考虑不周全而致错

例7 在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn有最大值，并求出它的最大值.

4

8.忽略题目中的隐含条件而致错

a2－a1

例8 已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，求的值.

b2

9.求和时项数不清而致错

例9 已知点(1,2)是函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象上一点，数列{an}的前n项和Sn＝f(n)－1.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝logaan＋1，求数列{anbn}的前n项和Tn.

10.利用等比数列求和公式忽视q＝1的情形而致错

例10 已知等比数列{an}中，a3＝4，S3＝12，求数列{an}的通项公式.

5

专题2-1 数列重难点、易错点突破参考答案

1 求数列通项的四大法宝

例1 解 当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－2－(3n1－2)＝3n－3n1＝2×3n1， 又a1

－

＝1≠2×311，所以数列{a

－

－

－

1，n＝1，}的通项公式a＝ nnn－12×3，n≥2.

－

例2 解 由已知，得an－an－1＝3n1(n≥2)，

所以a2－a1＝3，a3－a2＝32，a4－a3＝33，…，an－an－1＝3n1， 以上各式左右两边分别相加，得an－a1＝3＋32＋33＋…＋3n1， 31－3n13n－1

所以an＝＋1＝(n≥2)，

21－3

31－13n－1

又n＝1时，a1＝1＝，所以an＝(n∈N*).

223n－4an3n－4

例3 解 由a1＝3，an＝an－1，得＝，

3n－1an－13n－1

a22a35a48a511an3n－4

所以＝，＝，＝，＝，…，＝(n≥2)，以上各式左右两边分别相乘，

a15a28a311a414an－13n－1an26得＝，所以an＝(n≥2)， a13n－13n－166又a1＝3＝，所以an＝(n∈N*).

3×1－13n－1113

例4 解 设an＋1＋t＝(an＋t)，则an＋1＝an－t，

444

31

与已知比较，得－t＝3，所以t＝－4，故an＋1－4＝(an－4)，

44

1

又a1－4＝1－4＝－3≠0，故数列{an－4}是首项为－3，公比为的等比数列，

4

－

－－

1因此an－4＝－3×4

n11，即an＝4－3×4n1(n∈N*).

2 提高运算速度七妙招

例1 解析 若先求出a1，再求和，运算较为繁琐.注意到两个和式中的项数相等，且均是等差数列.由于(a2＋a5＋a8＋…＋a98)－(a1＋a4＋a7＋…＋a97)＝(a2－a1)＋(a5－a4)＋(a8－a7)＋…＋(a98－a97)＝33d＝66，所以a2＋a5＋a8＋…＋a98＝100＋66＝166，故选A. 答案 A

6

点评 活用等差、等比数列的概念，沟通有关元素间的内在联系，使运算得以简化.

例2 解析 若设出a1和q，利用基本量法求解，显然运算量较大.若利用性质a1a14＝a2a13＝…＝a7a8＝9，则a1a2…a14＝(a7a8)7＝97，所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a14＝log397＝14，故选B. 答案 B

点评 数列的性质是对数列内涵的揭示与显化，是求解数列问题的有力武器.

例3 解析 利用等差数列的变形公式求得公差，再结合等差数列的变形公式求得通项.设等差数列{an}的a10－a3388－3

公差为d，则d＝＝＝55，an＝a3＋(n－3)d＝3＋(n－3)×55＝55n－162.

710－3答案 55n－162

点评 常规方法是联立方程组，求出首项与公差，再由数列的通项公式求解.而利用变形公式可以回避求解数列的首项，直接求解公差，再结合变形公式求得通项.

例4 分析 常规解法是设出基本量a1，d，列方程组求解，但较繁琐；若能利用整体思维，则可少走弯路，使计算合理又迅速.

9a1＋a9

解 由S9＝18，即＝18，则a1＋a9＝4＝2a5，故a5＝2，

2na1＋anna5＋an－4n2＋30

又Sn＝＝＝＝240，所以n＝15.

222

点评 本题解法不在a1，d上做文章，而是将Sn变形整理用a5＋an－4表示，使解题过程大大简化. 例5 分析 用数形结合法解等差数列问题应抓住两个方面：①通项an联系一次函数，对于等差数列的有关问题通过构造点共线模型，可简化解题过程；②前n项和Sn联系二次函数，利用二次函数的对称性及最值.

xx－1d2d

解 设f(x)＝xa1＋d＝x＋a1－2x， 22

则(n，Sn)在该二次函数的图象上，由于S8＝S18，d<0， 所以y＝f(x)的对称轴是x＝

8＋18

＝13，且开口向下，故当n＝13时，Sn取得最大值， 2

故数列{an}的前13项的和最大.

点评 从直观性角度研究数列问题，可使问题变得生动形象，易于求解.

例6 分析 由已知条件，事先无法估计an解析式的结构，因此不能用待定系数法求an.但是利用等差数列{bn}和等比

数列{cn}可以得出关于an＋1和an的两个等式，消去an＋1，即可得an.再根据an求解对应的前n项和. 1915519

解 因为a1＝，a2＝，所以b1＝log236－3×6＝－2， 636c1＝

19151

－×＝，又{bn}是公差为－1的等差数列， 362632

1

{cn}是公比为的等比数列，

3

7

b＝－n－1，n

所以1n＋1，c＝n3



即a

1

an＋1－an＝－n－1，log2311n＋1，n＋1－an＝32

a

则a

n＋1－

11an＝n＋1，32

11n＋1－an＝n＋1，23

1111132131

＋2＋…＋n－2·＋2＋…＋n＝2－n＋n. 解得an＝n－n，所以Sn＝3·2222332333

点评 通项虽不是等比数列，但可拆为两个等比数列的和的形式，再分别利用等比数列的求和公式求和. 例7 分析 要证明数列义加以证明.

n＋2

证明 由于an＋1＝S，an＋1＝Sn＋1－Sn，

nn

则(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，整理得nSn＋1＝2(n＋1)Sn，即又Sn≠0，所以数列Sn＋12Sn

＝， n＋1n

SnSn是等比数列，必须把问题化成与n这个整体有关的问题，通过等比数列的定nSn是以1为首项，2为公比的等比数列. n点评 将数列中的复杂问题进行转化，关键是找准方向，再利用已知等差或等比数列的相关知识求解.

3 盘点数列中的易错问题

λ

例1 [错解] 因为an＝n2＋λn是关于n的二次函数，且n≥1，所以－≤1，解得λ≥－2.

2[点拨] 数列是以正整数N*(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数，因图象只是一些孤立的点.

[正解1] 设f(x)＝x2＋λx，则其图象的对称轴

λ

为x＝－，因为an＝n2＋λn，所以点(n，an)在f(x)的图象上，由数列{an}是递增

2λ

知，若－≤1，得λ≥－2；

2

λλ

－>－－1，即λ>－3时，数列{an}也是单调递增的. 如图所示，当2－22故λ的取值范围为(－3，＋∞).

[正解2] 因为数列{an}是递增数列，所以an＋1－an>0 (n∈N*)恒成立.

又an＝n2＋λn (n∈N*)，所以(n＋1)2＋λ(n＋1)－(n2＋λn)>0恒成立，即2n＋1＋λ>0. 所以λ>－(2n＋1) (n∈N*)恒成立.

而n∈N*时，－(2n＋1)的最大值为－3(n＝1时)，所以λ的取值范围是(－3，＋∞).

温馨点评 利用函数观点研究数列性质时，一定要注意数列定义域是{1，2，3，4，…，n，…}或其子集这一特殊性，防止因扩大定义域而出错. 例2 [错解] 因为数列{an}是递增数列，且点(n，an)在函数f(x)的图象上，所以分段函数f(x)是递增函数，

数列可此它的

8

3－a>0，

故实数a满足不等式组a>1，

73－a－39

解得4

[点拨] 上述解法把数列单调递增完全等同于所在的函数单调递增，忽视了二者的区别，事实上，数列是递增数列时，所在函数不一定单调递增. [正解] 由题意，得点(n，an)分布在分段函数

3－ax－3，x≤7，f(x)＝x－6的图象上.

a，x>7

因此当3－a>0时，a11时，a80，

故实数a满足条件a>1，

f7例3 [错解] an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n1＋2(n－1)＋1]＝2·3n1＋2.

S1，n＝1，

[点拨] 公式an＝是分段的，因为n＝1时，Sn－1无意义.在上述解答中，应加上限制条件

S－S，n≥2nn－1

－

－

解得2n≥2，然后验证n＝1时的值是否适合n≥2时的表达式. [正解] a1＝S1＝6；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3＋2(n－1)＋1]＝2·3n1＋2.

6，n＝1，

由于a1不适合此式，故an＝n－1

2·3＋2，n≥2.

n－1

－

温馨点评 因为数列{an}中，a0，S0这样的符号是没有任何意义的，因此an＝Sn－Sn－1仅适用于n≥2时求an，第一项a1要利用a1＝S1单独求解，若能统一要统一，否则要分段写出. 3

例4 [错解] a7＝a1＋6d＝9＋6d<0，∴d<－.

2

[点拨] 忽略了“开始”一词的含义，题目强调了第7项是该等差数列中的第一个负项，应有a6≥0. [正解] 设an＝9＋(n－1)d，

a6＝9＋5d≥0，93由得－≤d<－.

52a7＝9＋6d<0，

温馨点评 审题时要细心，包括问题的细节，有时细节决定解题的成败. 例5 [错解] 一方面凸n边形的内角和为Sn，Sn＝120°n＋另一方面，凸n边形内角和为(n－2)×180°.

nn－1

×5°. 2

9

nn－1

所以120n＋×5＝(n－2)×180.

2

化简整理得n2－25n＋144＝0，所以n＝9或n＝16. 即凸n边形的边数为9或16.

[点拨] 凸n边形的每个内角都小于180°.当n＝16时，最大内角为120°＋15×5°＝195°>180°应该舍掉. [正解] 凸n边形内角和为(n－2)×180°，所以120n＋解得n＝9或n＝16.

当n＝9时，最大内角为120°＋8×5°＝160°<180°； 当n＝16时，最大内角为120°＋15×5°＝195°>180°舍去. 所以凸n边形的边数为9.

温馨点评 凸n边形是一个明确的几何概念，是本题中容易忽略的一个条件.利用数列知识解实际问题时，一定要注意所得结果的实际含义，必要时作出取舍. 例6[错解] 设Sn＝(5n＋3)k，Tn＝(2n＋7)k，k≠0，

则a9＝S9－S8＝(5×9＋3)k－(5×8＋3)k＝5k，b9＝T9－T8＝(2×9＋7)k－(2×8＋7)k＝2k， a95所以＝.

b92

Sn5n＋3

[点拨] 此解答错在根据条件＝，

Tn2n＋7设Sn＝(5n＋3)k，Tn＝(2n＋7)k，

这是把等差数列前n项和误认为是关于n的一次函数，没有准确把握前n项和公式的特点. [正解] 因为{an}和{bn}是公差不为0的等差数列， 故设Sn＝n(5n＋3)k，Tn＝n(2n＋7)k，k≠0，则 a9＝S9－S8＝9×(5×9＋3)k－8×(5×8＋3)k＝88k， b9＝T9－T8＝9×(2×9＋7)k－8×(2×8＋7)k＝41k， a988所以＝.

b941

dddd

a1－n，当d≠0时，点(n，Sn)在二次函数f(x)＝x2＋a1－x温馨点评 等差数列的前n项和Sn＝n2＋2222Snna1a1Sn5n＋3否则＝＝与＝矛盾的图象上.当d＝0时，Sn＝na1，但是本题不属于这种情况. Tnnb1b1Tn2n＋7例7 [错解] 设公差为d，

10×915×14

∵S10＝S15，∴10×20＋d＝15×20＋d，

225

得120d＝－200，即d＝－，

35

∴an＝20－(n－1)·，

3

5

当an>0时，20－(n－1)·>0，∴n<13.

3

10

nn－1

×5＝(n－2)×180， 212×115∴n＝12时，Sn最大，S12＝12×20＋×－3＝130.

2∴当n＝12时，Sn有最大值S12＝130.

[点拨] 解中仅解不等式an>0是不正确的，事实上应解an≥0，an＋1≤0.

10×915×14

[正解] 设等差数列{an}的公差为d.由a1＝20，S10＝S15，得10×20＋d＝15×20＋d，解得公差d

225

＝－.

3

∵S10＝S15，∴S15－S10＝a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0， ∵a11＋a15＝a12＋a14＝2a13，∴a13＝0. ∵公差d<0，a1>0，

∴a1，a2，…，a11，a12均为正数， 而a14及以后各项均为负数.

∴当n＝12或13时，Sn有最大值为S12＝S13＝12×20＋

12×115×－3＝130. 2

温馨点评 求等差数列前n项和最值的关键是分清正负项，找准正负项的分界点，尤其是数列中含有零项时，注意答案的全面性. 例8 [错解] ∵－1，a1，a2，－4成等差数列，设公差为d， 1

则a2－a1＝d＝[(－4)－(－1)]＝－1.

3

∵－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，∴b22＝(－1)×(－4)＝4，∴b2＝±2. a2－a1－11当b2＝2时，＝＝－，

b222a2－a1－11

当b2＝－2时，＝＝.

b2－22∴

a2－a11

＝±. b22

[点拨] 注意b2的符号已经确定，且b2<0，忽视了这一隐含条件，就容易产生上面的错误. [正解] ∵－1，a1，a2，－4成等差数列，设公差为d， 1

则a2－a1＝d＝[(－4)－(－1)]＝－1，

3

∵－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，∴b22＝(－1)×(－4)＝4， ∴b2＝±2.

若设公比为q，则b2＝(－1)q2， ∴b2<0.∴b2＝－2， ∴

a2－a1－11

＝＝. b2－22

温馨点评 若设数列－1，b1，b2，b3，－4的公比为q，则b2＝－1q2<0，这是题目中的隐含条件.利用等比中项的概念解题时要注意这一现象. 11

n112例9 [错解] 1＋2＋22＋…＋2n-1＝＝2n-1－1.

12[点拨] 错因在于没有搞清项数，首项为1＝20，末项为2n-1，项数应为n. [正解] (1)把点(1,2)代入函数f(x)＝ax得a＝2，

所以数列{an}的前n项和为Sn＝f(n)－1＝2n－1. 当n＝1时，a1＝S1＝1；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n1＝2n1， 对n＝1时也适合，∴an＝2n1. (2)由a＝2，bn＝logaan＋1得bn＝n， 所以anbn＝n·2n1.

Tn＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n1， ∴ 2Tn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋(n－1)·2n1＋n·2n. ∴ 由∴－∴得：

－Tn＝20＋21＋22＋…＋2n1－n·2n， 所以Tn＝(n－1)2n＋1.

a11－qn温馨点评 数列求和时，弄清项数是关键，等比数列前n项和Sn＝q≠1中的n指1－q的就是数列的项数. 例10 [错解] 设等比数列的公比为q，

a3＝a1q2＝4，111－

－n－3＝－n－5. 则解得q＝－.所以an＝a3qn3＝4·a11－q3222S3＝＝12，1－q

[点拨] 上述解法中忽视了等比数列前n项和公式中q＝1这一特殊情况. [正解] 当q＝1时，a3＝4，a1＝a2＝a3＝4，S3＝a1＋a2＋a3＝12， 所以q＝1符合题意，an＝4.

a3＝a1q2＝4，11n－3－n－53当q≠1时，解得q＝－，a＝aq＝. a11－qn3

22S＝＝12，31－q1

－n－5. 故数列通项公式为an＝4或an＝2温馨点评 利用等比数列前n项和公式时，要注意判断公比q是否等于1，防止漏掉q＝1这种情况.

－

－

－

－

－

－

－

12