排列组合教案

排列组合教案 知识与技能：了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。 过程与方法：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题 情感、态度与价值观：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题. 教学重点：排列、排列数的概念 教学难点：排列数公式的推导 过程： 一、复习引入： 1分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法那么完成这件事共有 Nm1m2mn种不同的方法 2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有Nm1m2mn 种不同的方法 分类加法计数原理和分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题,区别在于:分类加法计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,每一种方法只属于某一类,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤,只有各个步骤都完成才算做完这件事 应用两种原理解题:1.分清要完成的事情是什么；2.是分类完成还是分步完成,“类”间互相独立，“步”间互相联系；3.有无特殊条件的限制 二、讲解新课： 1问题： 问题1．从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？ 分析：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，共有6种不同的排法：甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙，其中被取的对象叫做元素 解决这一问题可分两个步骤：第 1 步，确定参加上午活动的同学，从 3 人中任选 1 人，有 3 种方法；第 2 步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的 2 人中去选，于是有 2 种方法．根据分步乘法计数原理，在 3 名同学中选出 2 名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有 3×2=6 种，如图 1.2一1 所示． 图 1.2一1 把上面问题中被取的对象叫做元素，于是问题可叙述为：从3个不同的元素 a , b ，。中任取 2 个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？所有不同的排列是 ab,ac,ba,bc,ca, cb,共有 3×2=6 种． 问题2．从1,2,3,4这 4 个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？ 分析：解决这个问题分三个步骤：第一步先确定左边的数，在4个字母中任取1个，有4种方法；第二步确定中间的数，从余下的3个数中取，有3种方法；第三步确定右边的数，从余下的2个数中取，有2种方法 由分步计数原理共有：4×3×2=24种不同的方法，用树型图排出，并写出所有的排列由此可写出所有的排法 显然，从 4 个数字中，每次取出 3 个，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，就得到一个三位数．因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数．可以分三个步骤来解决这个问题： 第 1 步，确定百位上的数字，在 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个数字中任取 1 个，有 4 种方法； 第 2 步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的 3 个数字中去取，有 3 种方法； 第 3 步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的 2 个数字中去取，有 2 种方法． 根据分步乘法计数原理，从 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个不同的数字中，每次取出 3 个数字，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，共有 4×3×2=24 种不同的排法， 因而共可得到24个不同的三位数，如图1. 2一2 所示． 由此可写出所有的三位数： 123，124, 132, 134, 142, 143， 213，214, 231, 234, 241, 243， 312，314, 321, 324, 341, 342， 412，413, 421, 423, 431, 432 。 同样，问题 2 可以归结为： 从4个不同的元素a, b, c，d中任取 3 个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？所有不同排列是 abc, abd, acb, acd, adb, adc, bac, bad, bca, bcd, bda, bdc, cab, cad, cba, cbd, cda, cdb, dab, dac, dba, dbc, dca, dcb. 共有4×3×2=24种. 树形图如下 a b ｃ ｄ ｂ ｃ ｄ ａ ｃ ｄ ａ ｂ ｄ ａ ｂ ｃ 2．排列的概念： 从n个不同元素中，任取m（mn）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．．．．．．．．． 说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列； （2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同 3．排列数的定义： 从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号Anm表示 注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中，．．．．．任取m（mn）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号Anm只表示排列数，而不表示具体的排列 4．排列数公式及其推导： 由An2的意义：假定有排好顺序的2个空位，从n个元素a1,a2,an中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数An2．由分步计数原理完成上述填空共有n(n1)种填法，∴An2=n(n1) 33由此，求An可以按依次填3个空位来考虑，∴An=n(n1)(n2)， mn(n1)(n2)求Anm以按依次填m个空位来考虑An(nm1)， 排列数公式： mAnn(n1)(n2)(nm1) （m,nN,mn） 说明：（1）公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个 少1，最后一个因数是nm1，共有m个因数； （2）全排列：当nm时即n个不同元素全部取出的一个排列 nn(n1)(n2)全排列数：An21n!（叫做n的阶乘） 另外，我们规定 0! =1 . 451813A13例1．计算： (1）A10； (2）A18; (3）A18. 51813A18A13由（ 2 ) ( 3 ）我们看到，A18．那么，这个结果有没有一般性呢？即 nAnn!. AnmAnm(nm)!mn排列数的另一个计算公式： mAnn(n1)(n2)(nm1) nn(n1)(n2)(nm1)(nm)321n!n!An=nm.即 Anm= (nm)(nm1)321(nm)!Anm(nm)! 32Ax216Ax2． 例2．解方程：3Ax解：由排列数公式得：3x(x1)(x2)2(x1)x6x(x1)， ∵x3，∴ 3(x1)(x2)2(x1)6(x1)，即3x217x100， 2，∵x3，且xN，∴原方程的解为x5． 3例3．某年全国足球甲级（A组）联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？ 解：任意两队间进行1次主场比赛与 1 次客场比赛，对应于从14个元素中解得 x5或x2任取2个元素的一个排列．因此，比赛的总场次是A14=14×13=182. 例4．(1）从5本不同的书中选 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不同的送法？ (2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ 解：(1）从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取 3 个元素的一个排列，因此不同送法的种数是A53=5×4×3=60. (2）由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有 5 种不同的选购方法，因此送给 3 名同学每人各 1 本书的不同方法种数是5×5×5=125. 例 8 中两个问题的区别在于： ( 1 ）是从 5 本不同的书中选出 3 本分送 3 名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而（ 2 ）中，由于不同的人得到的书可能相同，因此不符合使用排列数公式的条件，只能用分步乘法计数原理进行计算． 例5．用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？分析：在本问题的。到 9 这 10 个数字中，因为。不能排在百位上，而其他数可以排在任意位置上，因此。是一个特殊的元素．一般的，我们可以从特殊元素的排列位置人手来考虑问题 解法 1 ：由于在没有重复数字的三位数中，百位上的数字不能是O，因此可以分两步完成排列．第1步，排百位上的数字，可以从1到9 这1九个数字中任选 1 个，有A9种选法；第2步，排十位和个位上的数字，可以从余下的9个数字中任选2个，有A92种选法（图1.2一 5) ．根据分步乘法计数原理，所求的三位数有 1A9A92=9×9×8=648（个） . 解法 2 ：如图1.2 一6 所示，符合条件的三位数可分成 3 类．每一位数字都不是位数有 A 母个，个位数字是 O 的三位数有揭个，十位数字是 0 的三位数有揭个．根据分类加法计数原理，符合条件的三位数有 3A9A92A92=648个． 3解法 3 ：从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为A10，其中 O 在百位上的排列数是A92，它们的差就是用这10个数字组成的没有重复数字的三位3数的个数，即所求的三位数的个数是A10-A92=10×9×8-9×8=648. 对于例9 这类计数问题，可用适当的方法将问题分解，而且思考的角度不同，就可以有不同的解题方法．解法 1 根据百位数字不能是。的要求，分步完成选 3 个数组成没有重复数字的三位数这件事，依据的是分步乘法计数原理；解法 2 以 O 是否出现以及出现的位置为标准，分类完成这件事情，依据的是分类加法计数原理；解法 3 是一种逆向思考方法：先求出从10个不同数字中选3个不重复数字的排列数，然后从中减去百位是。的排列数（即不是三位数的个数），就得到没有重复数字的三位数的个数．从上述问题的解答过程可以看到，引进排列的概念，以及推导求排列数的公式，可以更加简便、快捷地求解“从n个不同元素中取出 m (m≤n）个元素的所有排列的个数”这类特殊的计数问题． 1.1节中的例 9 是否也是这类计数问题？你能用排列的知识解决它吗？ 三、课堂练习： n! 1．若x，则x （ ） 3!33 (B)Ann3 (C)A3n (D)An(A)An3 3A77不等的是 （ ） 2．与A101099 (B)81A88 (C)10A9 (D)A10 (A)A10532Am3．若Am，则m的值为 （ ） (A)5 (B)3 (C)6 (D)7 4．一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1列火车）？ 5．一部纪录影片在4个单位轮映，每一单位放映1场，有多少种轮映次序？ 答案：1. B 2. B 3. A 4. 1680 5. 24 教学反思： 排列的特征：一个是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列” ,“一定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志。根据排列的定义，两个排列相同，且仅当两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也相同. 了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。 对于较复杂的问题，一般都有两个方向的列式途径，一个是“正面凑”，一个是“反过来剔”．前者指，按照要求，一点点选出符合要求的方案；后者指，先按全局性的要求，选出方案，再把不符合其他要求的方案剔出去．了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。