定积分基本公式

定积分是高等数学中一个重要的基本概念，在几何、物理、经济学等各个领域中都有广泛的应用.本章将由典型实例引入定积分概念，讨论定积分性质和计算方法，举例说明定积分在实际问题中的具体运用等.

第二节 微积分基本公式

一、变上限的定积分

f(x)dxf(x)[a,b][a,b]ax设函数在[] 上连续,，于是积分是一

x个定数，这种写法有一个不方便之处，就是

x既表示积分上限，又

表示积分变量.为避免混淆，我们把积分变量改写成 t，于是这个积y 分就写成了xy=f(x) f(t)dta . φ(x) x b x a 当x在 [a,b]上变动时，对应于每一个 x值,积分 xaf(t)dt就有一个

确定的值，因此xxaf(t)dt是变上限 x的一个函数，记作

Φ(x)=af(t)dt（ a ≤x≤ b）通常称函数 Φ(x)为变上限积分函数

或变上限积分，其几何意义如图所示.

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定理1 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则变上限积分

Φ(x)=af(t)dt在[a,b]上可导，且其导数

x是

Φ(x)dxf(t)dtf(x)adx（ a ≤x≤ b）.

x推论 连续函数的原函数一定存在. 且函数Φ(x)=a为其原函数.

πsintdt例1 计算Φ(x)=0在x=0 ,2处的导数.

x2f(t)dt即

dx2sintdt20解 因为dx=sinx,故

ππ2)sin242.

2 Φ(0)sin00；

Φ(例2 求下列函数的导数：

Φ(x)exa(1)

lntdt(a0)t；

x解 这里Φ(x)是x的复合函数，其中中间变量ue，所以按复

dΦdulntd(ex)lnexx(dt)xexatdxe合函数求导法则，有 dxdu.

sin(2)

Φ(x)1x2d(x0).

(x2)dΦdx2sinsinddx1解 dxx2sinx2sinx2xx2x.

二、牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式

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定理2 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，又 F(x)是f(x)的任一个原函数，则有baf(x)dxF(b)F(a).

x证 由定理1知，变上限积分

Φ(x)f(t)dta也是f(x)的一个原

函数，于是知Φ(x)F(x)C0, C0为一常数, 即

xaf(t)dtF(x)C0.

我们来确定常数 C0的值，为此，令 xa，有

aaf(t)dtF(a)C0，得C0F(a).

因此有 axf(t)dtF(x)F(a).

b再令xb，得所求积分为 af(t)dtF(b)F(a).

因此积分值与积分变量的记号无关，仍用x表示积分变量，即得

baf(x)dxF(b)F(a),其中F(x)f(x).

上式称为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式.为计算方便，该公式常采用下面的格式：

baf(x)dxF(x)baF(b)F(a).

例1 求定积分：

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(1)211(xx)dx；（2）

22312dxx(1x)；（3）131x2dx.

解 （1）

23122115x2112(2x)4(xx)dx1(x2x2)dx3x16.

22（2）

dxx(1x)2312111x.xdx2231211(x)2d(x)

2arcsinx23122(arcsin21arcsin)0.3398.32

2xx在[1,1]上写成分段函数的形式

（3）x,1x0,f(x)x,0x1,

于是11x20x21xdx(x)dxxdx2120110.

201例2 计算x0limcosx1edtt2x2.

0解 因为 x0时,cosx1,故本题属 0 型未定式,可以用

洛必达法则来求.这里1cosxedtt2是 x的复合函数,其中ucosx,所以

dcosxt2cos2xcos2xedte(cosx)'sinxe dx1,于是

有

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limx0cosx1etdt2x2sinxecoslimx02x2xsinxcos2x11limee1x02x22e.

思考题

f(x)sint2dtxx21.若

，f(x)?

2.在牛顿-莱布尼茨公式中，要求被积函数f(x)在积分区间[a,b]上连续. 问当f(x)在[a,b]区间上有第一类间断点时，还能否用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分？并计算

x2,2x1,x1,10,f(x)2x,1x0,22f(x)dx, 其中 2x1,0x2.

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