(完整)2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何(一)

1.如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，

PD=AB=2，点E,F,G分别为PC,PD,BC的中点.

(1)求证：PAEF；

(2)求二面角D-FG-E的余弦值.

2.如图所示，该几何体是由一个直角三棱柱ADE-BCF和一个正四棱锥P-ABCD组合而成，ADAF，AE=AD=2. (1)证明：平面PAD平面ABFE；

(2)求正四棱锥P-ABCD的高h，使得二面角C-AF-P的余弦值是22. 3

1

3.四棱锥PABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是面积为23的菱形，ADC为锐角，M为PB的中点． P（Ⅰ）求证：PD∥面ACM． （Ⅱ）求证：PACD．

（Ⅲ）求三棱锥PABCD的体积．

4.如图，四棱锥SABCD满足SA面ABCD，AD2a．

（Ⅰ）求证：面SAB面SAD． （Ⅱ）求证：CD面SAC．

SADBC

2

MCBDADABABC90．SAABBCa，

5.在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，测棱PD底面ABCD，PDDC，点E是

BC的中点，作EFPB交PB于F． （Ⅰ）求证：平面PCD平面PBC． （Ⅱ）求证：PB平面EFD．

6.在直棱柱ABCA1B1C1中，已知ABAC，设AB1中点为D，（Ⅰ）求证：DE∥平面BCC1B1． （Ⅱ）求证：平面ABB1A1平面ACC1A1．

ABDCE

BA11C1

3

PEFDCABA1C中点为E． 7.在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，AB//CD，ABAD，PAPB，

AB:AD:CD2:2:1.

（1）证明BDPC；

（2）求二面角APCD的余弦值；

（3）设点Q为线段PD上一点，且直线AQ平面PAC所成角的正弦值为

8.在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且D1E＝λEO. （1）若λ=1，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值； （2）若λ=2，求证：平面CDE⊥平面CD1O.

2PQ，求的值. 3PD

4

9.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD135，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP90，ABACPA2，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上．

（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC．

P（Ⅱ）若M为PD的中点，求证：ME∥平面PAB． M（Ⅲ）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与AF平面ABCD所在的角相等，求PMPD的值． BEC

10.如图，在三棱柱ABCA1B1C1，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，ACABAA1，分别是棱BC，A1A的中点，G为棱CC1上的一点，且

C1F∥平面AEG． C1A1（1）求

CGCC的值． 1GB1F（2）求证：EG⊥AC1． （3）求二面角A1AGE的余弦值． CA EB

5

DE，F

11.如图，在四棱锥PABCD中，PB⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AD∥BC，

AD⊥AB，且PBABAD3，BC1．

1（Ⅰ）若点F为PD上一点且PFPD，证明：CF∥平面PAB．

3（Ⅱ）求二面角BPDA的大小． （Ⅲ）在线段PD上是否存在一点M，使得

CM⊥PA？若存在，求出PM的长；若不存在，说明

PFAD理由．

12.如图，在四棱锥EABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，CD∥AB，BC⊥CD，

BCEA⊥ED，AB4，BCCDEAED2．

Ⅰ证明：BD⊥AE．

Ⅱ求平面ADE和平面CDE所成角（锐角）的余弦值．

EDABC

6

13.己知四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面

PFABECDABCD是菱形，且PAAB2．ABC60，BC、

PD的中点分别为E，F．

（Ⅰ）求证BCPE．

（Ⅱ）求二面角FACD的余弦值．

（Ⅲ）在线段AB上是否存在一点G，使得AF平行于

平面PCG？若存在，指出G在AB上的位置并给予证明，若不存在，请说明理由．

14.如图，ABCD是边长为3的正方形，DE平面ABCD，

EAF∥DE，DE3AF，BE与平面ABCD所成角为60．

（Ⅰ）求证：AC平面BDE． （Ⅱ）求二面角FBED的余弦值．

（Ⅲ）设点M线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．

ABFDC 7

15.如图，PA面ABC，ABBC，

CDBMPABPA2BC2，M为PB的中点． （Ⅰ）求证：AM平面PBC． （Ⅱ）求二面角APCB的余弦值． （Ⅲ）在线段PC上是否存在点D，使得

ABDAC，若存在，求出

PD的值，若不存在，说明理由． PC16.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面PAD,AB//CD,E是PB的中点,

PD2,PA5,ABAD3,（1）证明：PH⊥平面ABCD；

AH2 . HD（2）若F是CD上的点，且FC2FD3，求二面角BEFC的正弦值.

8

17.如图，DC⊥平面ABC，EB//DC，

ACBCEB2DC2，ACB120，Q

为AB的中点．

（Ⅰ）证明：CQ⊥平面ABE； （Ⅱ）求多面体ACED的体积； （Ⅲ）求二面角A-DE-B的正切值．

18.如图1 ,在△ABC中，AB=BC=2, ∠B=90°,D为BC边上一点，以边AC为对角线做平行四边形ADCE，沿AC将△ACE折起，使得平面ACE ⊥平面ABC,如图2.

(1)在图 2中，设M为AC的中点，求证:BM丄AE； (2)在图2中，当DE最小时，求二面角A -DE-C的平面角.

9

19.如图所示，在已知三棱柱ABF-DCE中，

ADE90，ABC60，

ABAD2AF，平面ABCD⊥平面ADEF，点M

在线段BE上，点G是线段AD的中点．

（1）试确定点M的位置，使得AF∥平面GMC； （2）求直线BG与平面GCE所成角的正弦值．

20.已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，AC=AB，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点.

（Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；

（Ⅱ）若AB2AP2，求平面PAD与平面PCE所成锐二面角的余弦值.

10

21.如图，五面体PABCD中，CD⊥平面PAD，ABCD为直

角

梯

形

，

BCD2,PDBCCD1AD,APPD. 2（1）若E为AP的中点，求证：BE∥平面PCD； （2）求二面角P-AB-C的余弦值.

22.如图（1）所示，已知四边形SBCD是由Rt△SAB和直角梯形ABCD拼接而成的，其中

SABSDC90.且点A为线段SD的中点，AD2DC1，AB2.现将△SAB

沿AB进行翻折，使得二面角S-AB-C的大小为90°，得到图形如图（2）所示，连接SC，点E，F分别在线段SB，SC上. （Ⅰ）证明：BDAF；

（Ⅱ）若三棱锥B-AEC的体积为四棱锥S-ABCD体积的

2，求点E到平面ABCD的距离. 5

11

23.四棱锥

S-ABCD

中，

AD∥BC，

，

BCCD,SDASDC600ADDC11BCSD，E为SD的中点. 22（1）求证：平面AEC⊥平面ABCD； （2）求BC与平面CDE所成角的余弦值.

24.已知三棱锥P-ABC，底面ABC是以B为直角顶的等腰直角三角形，PA⊥AC，BA=BC=PA=2，二角P-AC-B的大小为120°.

（1）求直线PC与平面ABC所成角的大小； （2）求二面角P-BC-A的正切值.

点面

12

25.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，ABCBCD900，PAPDDCCB（Ⅰ）求证：EC∥平面APD；

（Ⅱ）求BP与平面ABCD所成的角的正切值； （Ⅲ）求二面角P-AB-D的余弦值.

26.四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为边长为2的正方形，PA=2，PB=PD=22，E，F，G，H分别为棱PA，PB，AD，CD的中点．

（1）求CD与平面CFG所成角的正弦值；

（2）探究棱PD上是否存在点M，使得平面CFG⊥平面MEH，若存在，求出若不存在，请说明理由．

1AB，E是PB的中点， 2PM的值；PD 13

试卷答案

1

以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则

D(0,0,0)，A(0,2,0)，C(-2,0,0)，P(0,0,2)，E(-1,0,1)，F(0,0,1)，G(-2,1,0). uuuruuur(1)∵PA=(0,2,-2)，EF=(1,0,0)，

uuuruuur则PA?EF0，∴PA^EF.

uuuruuur(2)易知DF=(0,0,1)，FG=(-2,1-1)， ur设平面DFG的法向量m=(x1,y1,z1)，

uruuurììïz1=0ïm?DF0则íu，即í， ruuur-2x+y-z=0ïïî111îm?FG0令x1=1，则m=(1,2,0)是平面DFG的一个法向量， r同理可得n=(0,1,1)是平面EFG的一个法向量，

urrurrm×n210∴cos=u， =rr=55´2m×n由图可知二面角D-FG-E为钝角， ∴二面角D-FG-E的余弦值为-

2.(1)证明：直三棱柱ADE-BCF中，AB^平面ADE， 所以：AB^AD，又AD^AF，

所以：AD^平面ABFE，ADÌ平面PAD， 所以：平面PAD^平面ABFE.

(2)由(1)AD^平面ABFE，以A为原点，AB,AE,AD方向为x,y,z轴建立空间直角坐标系

10. 5 14

A-xyz，设正四棱锥P-ABCD的高h，AE=AD=2，

则A(0,0,0)，F(2,2,0)，C(2,0,2)，P(1,-h,1). uuuruuuruuurAF=(2,2,0)，AC=(2,0,2)，AP=(1,-h,1). ur设平面ACF的一个法向量m=(x1,y1,z1)，

uruuurìurm?AF2x1+2y1=0ï则：íruuu，取x1=1，则y1=z1=-1，所以：m=(1,-1,-1). rïîn?AC2x1+2z1=0ruuurìrïn?AF2x2+2y2=0设平面AFP的一个法向量n=(x2,y2,z2)，则íruuu， rïîn?APx2-hy2+z2=0r取x2=1，则y2=-1，z2=-1-h，所以：n=(1,-1,-1-h)，

urrurrm?n11+1+h22二面角C-AF-P的余弦值是，所以：cos=urr=3mn32+h+1()2=22， 3解得：h=1.

3.

PMCEDOA

（Ⅰ）证明：连结AC交BD于O，则O是BD中点， ∵在△PBD中，O是BD的中点，M是PB的中点， ∴PD∥MO，

又PD平面ACM，MO平面ACM，

B 15

∴PD∥平面ACM．

（Ⅱ）证明：作PE⊥CD，则E为CD中点，连结AE， ∵底面ABCD是菱形，边长为2，面积为23，

11∴SADDCsinADC222sinADC223，

22∴sinADC3，ADC60， 2∴△ACD是等边三角形， ∴CD⊥AE， 又∵CD⊥PE， ∴CD⊥平面PAE， ∴CD⊥PA．

11（Ⅲ）VPABCDSABCDPE2332．

33 4.

SAEDBC

（1）证明：∵SA⊥平面ABCD，AB平面ABCD， ∴AB⊥SA， 又∵BAD90， ∴AB⊥AD， ∵SAIADA， ∴AB⊥平面SAD， 又AB平面SAB， ∴平面SAB⊥平面SAD． （Ⅱ）证明：取AD中点为E，

∵DABABC90，AD2a，BCa，E是AD中点， ∴ABCE是矩形，CEABa，DEa，

16

∴CD2a，

在△ACD中，AC2a，CD2a，AD2a， ∴AC2CD2AD2， 即CD⊥AC，

又∵SA⊥平面ABCD，CD平面ABCD， ∴CD⊥SA， ∴CD⊥平面PAC． 5.

PFDABE

C（Ⅰ）证明：∵PD底面ABCD，BC平面ABCD， ∴PDBC，

又∵底面ABCD为矩形， ∴BCCD， ∴BC平面PCD， ∵BC平面PBC， ∴平面PCD平面PBC．

（Ⅱ）证明：∵PDDC，E是PC中点， ∴DEPC，

又平面PCD平面PBC，平面PCDI平面PBCPC， ∴DE平面PBC， ∴DEPB，

又∵EFPB，EFIDEE， ∴PB平面EFD．

17

6.

ABDB1A1EC1C

（Ⅰ）证明：连结A1B， ∵D是AB1的中点， ∴D是A1B的中点，

∵在△A1BC中，D是A1B的中点，E是A1C的中点， ∴DE∥BC，

又DE平面BCC1B1，BC平面BCC1B1， ∴DE∥平面BCC1B1．

（Ⅱ）证明：∵ABCA1B1C1是直棱柱， ∴AA1平面ABC， ∴AA1AB， 又ABAC， ∴AB平面ACC1A1， ∵AB平面ABB1A1， ∴平面ABB1A1平面ACC1A1．

7.以A为坐标原点，建立空间直角坐标系B(2,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，

C(1,2,0)

uuuruuur（1）BD(2,2,0)，PC(1,2,2)， uuuruuur∵BD•PC0∴BDPC

uuuruuurur（2）AC(1,2,0)，AP(0,0,2)，平面PAC的法向量为m(2,1,0) uuuruuurrDP(0,2,2)，AP(1,0,0)，平面DPC的法向量为n(0,2,1).

urrurr2m•n2cosm,nu，二面角BPCD的余弦值为. rr33m•n 18

uuuruuuruuuruuuruuur（3）∵AQAPPQAPtPD，t0,1 uuur∴AQ(0,0,2)t(0,2,2)(0,2t,22t)

设为直线AQ与平面PAC所成的角

uuururuuururAQ•m2sincosAQ,muuu rur3AQ•m2t32t2(22t)2所以，

223t26t28t4，解得t2（舍）或. 33PQ2即为所求. PD38.解:(1)不妨设正方体的棱长为1，以DA,DC,DD1 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz． 10，D1(0，0，1)， 则A(1，0，0)，O1，1，0，C0，，22E1，1，1， 442于是由cos

＝

，

＝

. .

3. 6uuuuruuurCD1＝0 CO＝0，m·（2）设平面CD1O的向量为m=(x1，y1，z1)，由m·

所以异面直线AE与CD1所成角的余弦值为得 取x1＝1，得y1＝z1＝1，即m=(1，1，1) .

由D1E＝λEO，则E ，.

又设平面CDE的法向量为n＝(x2，y2，z2)，由n·DE＝0. CD＝0，n·得

取x2=2，得z2＝－λ，即n＝(－2，0，λ) .

因为平面CDE⊥平面CD1F，所以m·n＝0，得λ＝2．

19

9.（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD中， ∵ABAC，∠BCD135，∠ABC45， ∴AB⊥AC，∵E，F分别为BC，AD的中点， ∴EF∥AB，∴EF⊥AC，

∵侧面PAB⊥底面ABCD，且∠BAP90， ∴PA⊥底面ABCD，∴PA⊥EF，

又∵PAIACA，PA平面PAC，AC平面PAC， ∴EF⊥平面PAC．

（Ⅱ）证明：∵M为PD的中点，F为AD的中点， ∴MF∥PA，又∵MF平面PAB，PA平面PAB， ∴MF∥平面PAB，同理，得EF∥平面PAB，

又∵MFIEFF，MF平面MEF，EF平面MEF， ∴平面MEF∥平面PAB，又∵ME平面MEF， ∴ME∥平面PAB．

（Ⅲ）解：∵PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，

∴AP，AB，AC两两垂直，故以AB，AC，AP分别为x轴，y轴和z轴建立如图空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，D(2,2,0)，E(1,1,0)，

uuuruuuruuurPB(2,0,2)PD(2,2,2)BC(2,2,0)， 所以，，uuuurPM([0,1])，则PM(2,2,2)， PDuuur∴M(2,2,22)，ME(12,12,22)，

ur易得平面ABCD的法向量m(0,0,1)，

r设平面PBC的法向量为n(x,y,z)，则： ruuurrnBC02x2y0ruuur，即，令x1，得n(1,1,1)， 2x2z0nPB0设

∴直线ME与平面PBC所成的角和此直线与平面ABCD所成的角相等，

uuuururuuuurruuururuuurr|MEm||MEn|ruuurr， ∴|cosME,m||cosME,n|，即uuuru|ME||m||ME||n|∴|21|23，解得3333或（舍去），

22故

PM33． PD2 20

zPMAxB

10.（1）∵C1F∥平面AEG，又C1F平面ACC1A1，平面ACC1A1I平面AEGAG， ∴C1F∥AG，

∵F为AA1的点，且侧面ACC1A1为平行四边形， ∴G为CC1中点， ∴

CG1． CC12FC yDE

（2）证明：∵AA1⊥底面ABC，AA1⊥AB，AA1⊥AC， 又AB⊥AC，如图，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，

设AB2，则由ABACAA1可得C(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(2,0,2)，A1(0,0,2)， ∵E，G分别是BC，CC1的中点，∴E(1,1,0)，G(2,0,1)， uuuruuur∴EGCA1(1,1,1)(2,0,2)0， uuuruuur∴EG⊥CA1， ∴EG⊥AC． 1r（3）设平面AEG的法向量为n(x,y,z)，则：

ruuurxy0nAE0r，即，令x1，则y1，z2， ruuu2xz0nAG0r∴n(1,1,2)，

ur由已知可得平面A1AG的法向量m(0,1,0)，

rurrurnm6r∴cosn,mru，

6|n||m|由题意知二面角A1AGE为钝角， ∴二面角A1AGE的余弦值为6． 6 21

C1GxCE y

zA1B1FAB

11.（Ⅰ）证明：过点F作FH∥AD， 交PA于H，连结BH，如图所示，

1∵PFPD，

31∴HFADBC，

3又FH∥AD，AD∥BC，HF∥BC， ∴四边形BCFH为平行四边形， ∴CF∥BH，

又BH平面PAB，CF平面PAB， ∴CF∥平面PAB．

zPHF yABCxD

（Ⅱ）解：∵梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB， ∴BC⊥AB， ∵PB⊥平面ABCD， ∴PB⊥AB，PB⊥BC，

∴如图，以B为原点，BC，BA，BP 所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则C(1,0,0)，D(3,0,0)，A(0,3,0)，P(0,0,3)，

22

r设平面BPD的一个法向量为n(x,y,z)， ur平面APD的一个法向量为m(a,b,c)，

uuuruuur∵PD(3,3,3)，BP(0,0,3)，

uuurr3x3y3z0PDn0∴uuurr，即，

3z0BPn0rur令x1得n(1,1,0)，同理可得m(0,1,1)，

rurrurnm1r， ∴cosn,mru2|n||m|∵二面角BPDA为锐角， ∴二面角BPDA为

π． 3uuuuruuur（Ⅲ）假设存在点M满足题意，设PMPD(3,3,3)， uuuuruuuruuur∴CMCPPD(13,3,33)，

uuuruuuruuuur1∵PA(0,3,3)，∴PACM93(33)0，解得，

2∴PD上存在点M使得CM⊥PA，且PM

133． PD2212.Ⅰ∵BC⊥CD，BCCD2，∴BD22， 同理EA⊥ED，EAED2，∴AD22，

又∵AB4，∴由勾股定理可知BD2AD2AB2，BD⊥AD，

又∵平面EAD⊥平面ABCD，平面EADI平面ABCDAD，BD平面ABCD， ∴BD⊥平面AED， 又∵AE平面AED， ∴BD⊥AE．

Ⅱ解：取AD的中点O，连结OE，则OE⊥AD，

∵平面EAD⊥平面ABCD，平面EADI平面ABCDAD， ∴OE⊥平面ABCD，

取AB的中点F，连结DF∥BD，

以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，

uuuruuur则D(2,0,0)，C(22,2,0)，E(0,0,2)，DC(2,2,0)，DE(2,0,2)，

r设平面CDE的法向量为n(x,y,z)，

23

uuurrDCn0xz0rr则uuu即，令x1，则z1，y1，

xy0DEn0r∴平面CDE的法向量n(1,1,1)，

r又平面ADE的一个法向量为n1(0,1,0)，

设平面ADE和平面CDE所成角（锐角）为，

rrrrnn13则cos|cosn,n1|rr，

|n||n1|3∴平面ADE和平面CDE所成角（锐角）的余弦值为3． 3zCDx 13.

AOF yBzPFAD yC

B

Ex（1）证明：连结AE，PE．

∵PA平面ABCD，BC平面ABCD， ∴PABC．

又∵底面ABCD是菱形，ABBC，ABC60， ∴△ABC是正三角形． ∵E是BC的中点， ∴AEBC．

24

又∵PAIAEA，PA平面PAE，PE平面PAE， ∴BC平面PAE， ∴BCPE．

（2）由（1）得AEBC，由BC∥AD可得AEAD． 又∵PA底面ABCD，∴PAAE，PAAD．

∴以A为原点，分别以AE，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，如图所示，则A(0,0,0)，E(3,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，B(3,1,0)，C(3,1,0)，F(0,1,1)．

∵PA平面ABCD，

∴平面ABCD的法向量为uAPuur(0,0,2)． 又∵uACuur(3,1,0)，uAFuur(0,1,1)．

设平面ACF的一个法向量rn(x,y,z)，则：

uACuurrn03xy0uuurr，即AFn0y+z0，令x1，则y3，z3， ∴rn(1,3,3)．

uuurr∴cosuAPuur,rnAP|uAPuurn||rn|217．

∵二面角FACD是锐角，

∴二面角FACD的余弦值为217． （3）G是线段AB上的一点，设uAGuurtuABuur(0≤t≤1)． ∵uABuur(3,1,0)，∴G(3t,t,0)．

又∵uPCuur(3,1,2)，uPGuur(3t,t,2)．

设平面PCG的一个法向量为rn(x,y,z)，则：

uPCuuruuurunrur100，即3x1+y12z10，∴unr1(t+1,3(t1),3t)，

PGn13tx1ty12z10∵AF∥平面PCG，∴uAFuurrn，uAFuurrn0，即3(t1)+3t0，

解得t12． 故线段AB上存在一点G，使得AF平行于平面PCG，G是AB中点．

25

14.（1）证明：∵DE平面ABCD，AC平面ABCD， ∴DEAC． ∵ABCD是正方形， ∴ACBD． 又DEIBDD， ∴AC平面BDE．

（2）∵DA，DC，DE两两重叠，∴建立空间直角坐标系Dxyz如图所示．

zE

FAxDC yB∵BE与平面ABCD所成角为60，即DBE60， ∴

ED3． DB由AD3，可知DZ316，AF6，则A(3,0,0)，F(3,0,6)，E(0,0,36)，B(3,3,0)，C(0,3,0)． uuuruuur∴BF(0,3,6)，EF(3,0,26)，

r设平面BEF的法向量为n(x,y,z)，则

ruuurrnBF03y6z0r，即，令z6，则n(4,2,6)． ruuunEF03x26z0∵AC平面BDE，

uuuruuur∴CA为平面BDE的一个法向量，CA(3,3,0)，

ruuurruuurnCA613ur∴cosn,CAruuu． |n||CA|322613∵二面角FBED为锐角， ∴二面角FBED的余弦值为13． 13uuuur（3）点M线段BD上一个动点，设M(t,t,0)，则AM(t3,t,0)．

26

uuuurr∵AM∥平面BEF，∴AMn0，即4(t3)2t0，解得t2，

1此时，点M坐标为(2,2,0)，BMBD，符合题意．

3 15.

zCDAMPx（1）证明：∵PA平面ABC，BC平面ABC， ∴PABC．

∵BCAB，PAIABA， ∴BC平面PAB． 又AM平面PAB， ∴AMBC．

∵PAAB，M为PB的中点， ∴AMPB． 又∵PBIBCB， ∴AM平面PBC．

（2）如图，在平面ABC内作AZ∥BC，则AP，AB，AZ两两垂直，建立空间直角坐标系Axyz．则A(0,0,0)，P(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,2,1)，M(1,1,0)． uuuruuuruuuurAP(2,0,0)，AC(0,2,1)，AM(1,1,0)．

r设平面APC的法向量为n(x,y,z)，则：

B yruuurnAP0x0r，即，令y1，则z2． ruuu2yz0nAC0r∴n(0,1,2)．

uuuur由（1）可知AM(1,1,0)为平面PBC的一个法向量，

27

uuuurrruuuurAMn110rr∴cosnAMuuuu． |AM||n|5210∵二面角APCB为锐角， ∴二面角APCB的余弦值为10． 10uuuruuur（3）证明：设D(,v,w)是线段PC上一点，且PDPC，(0≤≤1)，

即(2,v,w)(2,2,1)， ∴22，v2，w． uuur∴BD(22,22,)． uuuruuur4由BDAC0，得[0,1]，

5∴线段PC上存在点D，使得BDAC，此时

PD4． PC516.解：（1）证明：因为AB平面PAD，所以PHAB， 因为AD3,AH2，所以AH2,HD1， HD设PHx，由余弦定可得，

x2HD2PH2x21x2HA2PH2x21cosPHD cosPHA

2xHD2x2xHA4x因为cosPHDcosPHA，故PHx1，

所以PHAD，因为ADIABA，故PH平面ABCD.

（2）以H为原点，以HA,HP,HP所在的直线分别为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，

31392222uuuruuurrr331uuu1uuu所以可得，BF(3,,0),BE(1,,),EF(2,0,),FC(0,3,0)，

2222r设平面BEF的法向量n(x,y,z)，

则B(2,3,0),P(0,0,1),E(1,,),F(1,,0),C(1,,0)，

3uuurr3xy0rBFn02n(1,2,4)， 则有：uuurr3zBEn0xy022ur设平面EFC的法向量m(x,y,z)，

28

uuururzrEFm02x0um(1,0,4)， 则有：uuurur2FCm03y0rurrurnm1717故cosn,mru, r211721nm设二面角BEFC的平面角为 ，则sin

17.解（Ⅰ）证明：∵DC平面ABC，BE//DC ∴BE平面ABC ∴CQBE ①

又∵ACBC2，点Q为AB边中点 ∴CQAB ②

221. 21ABIBEB

故由①②得CQ平面ABE

（Ⅱ）过点A作AMBC交BC延长线于点M ∵AMBC,AMBE ∴AM平面BEDC ∴VACED1SCDEgAM 3AMACgsin∴VACED13，SCDE121 321313 33（Ⅲ）延长ED交BC延长线于S，过点M作MQES于Q，连结AQ 由（Ⅱ）可得：AQM为ADEB的平面角 ∵CD//1BC 2∴SCCB2 ∴SEBE2SB225 MCMS1

∵SQM∽SBE

29

∴

QMSM BESE5QM1即QM 5225∴

∴tanAQMAMQM315 55

18.（1）证明：∵在∴当为∵平面∴∵∴

平面平面

，

的方向为，轴的正方向，建立空间直角坐标系

的中点时，平面

，中，

平面

，平面

平面

，

（2）如图，分别以射线

设∵∴∴

，则，

，，，平面

，平面

时，

最小，此时

，

当且仅当

30

设，平面，则，即

∴

令∴

，可得，，则有

的平面角

∴观察可得二面角

19.（1）取FE的中点P，连接CP交BE于点M，M点即为所求的点． 连接PG，∵G是AD的中点，P是FE的中点，∴PG//AF， 又PG平面MGC，AF平面MGC，所以直线AF//平面MGC， ∵PE//AD，AD//BC，∴PE//BC，∴故点M为线段BE上靠近点E的三等分点． （2）不妨设AD2，由（1）知PGAD，

又平面ADEF平面ABCD，平面ADEFI平面ABCDAD，

BMBC2， MEPEPG平面ADEF，∴PG平面ABCD．

故PGGD，PGGC，以G为坐标原点，GC，GD，GP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Gxyz，

∵ABC60，ABAD2AF，∴ADC为正三角形，GC3，

uuuruuur∴G(0,0,0)，C(3,0,0)，D(0,1,0)，E(0,1,1)，∴GE(0,1,1)，GC(3,0,0)，

ururuuururuuuryz0,设平面CEG的一个法向量n1(x,y,z)，则由n1GE0，n1GC0可得3x0,ur令y1，则n1(0,1,1)， uuuruuuruuur∵CD(3,1,0)BA，且A(0,1,0)，故B(3,2,0)，故BG(3,2,0)，

uruuur|n1BG|14ruuur故直线BG与平面GCE所成角的正弦值为sinu．

7|n1||BG|

31

20.（Ⅰ）取PC中点H，连接EH、FH.∵E为AB的中点，ABCD是菱形，∴AE//CD，且AE且FH1CD，又F为PD的中点，H为PC的中点，∴FH//CD，21CD，∴AE//FH，且AEFH，则四边形AEHF是平行四边形，2∴AF//EH.又AF平面PCE，EH面PCE，∴AF//平面PCE.

（Ⅱ）取BC的中点为O，∵ABCD是菱形，ACAB，∴AOBC，以A为原点，

AO,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系Axyz，则

B3,1,0,C3,1,0,D0,2,0，O313,0,0,P0,0,1,E2,2,0，

uuur∴PCruuur33uuu3,1,1,EC2,2,0，AO3,0,0，设平面的法向量为

uuur3xyz0nPC01n1x,y,z，则uuu，即3，令y1，则x3,z2，r3xy0n1EC022∴平面PCE的一个法向量为n13,1,2，又平面PAD的一个法向量为

n21,0,0.∴cosn1,n2n1n236.即平面PAD与平面|n1||n2|43146. 4PCE所成锐二面角的余弦值为 32

21.解：（1）证明：取PD的中点F，连接EF,CF， 因为E,F分别是PA,PD的中点，所以EF//AD且EF因为BC1AD， 21AB,BC//AD，所以EF//BC且EFBC，所以BE//CF, 2又BE平面PCD,CF平面PCD，所以BE//平面PCD.

（2）以P为坐标原点，PD,PA所在直线分别为x轴和y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

不妨设BC1，

则P(0,0,0),A(0,3,0),D(1,0,0),C(1,0,1),B(,13,1)， 22uuuruuuruuur13PA(0,3,0),AB(,1),AD(1,3,0),

22ruuur3y0rnPA01设平面PAB的一个法向量为n(x,y,z)，则ruuu， r3yz0nAB0x22r令x2，得n(2,0,1)，

同理可求平面ABD的一个法向量为

33

rururrurnm615m(3,3,0)cosn,mru， r5512nm平面ABD和平面ABC为同一个平面， 所以二面角PABC的余弦值为

22.解：（Ⅰ）证明：因为二面角SABC的大小为90°，则SAAD， 又SAAB，故SA平面ABCD，又BD平面ABCD，所以SABD； 在直角梯形ABCD中，BADADC90，AD2CD1，AB2， 所以tanABDtanCAD15. 51，又DACBAC90， 2所以ABDBAC90，即ACBD； 又ACISAA，故BD平面SAC， 因为AF平面SAC，故BDAF.

（Ⅱ）设点E到平面ABCD的距离为h，因为VBABCVEABC，且

VEABC2，

VSABCD5故

VSABCDVEABC51121S梯形ABCDSA523，

11SABCh21h232故h

11，做点E到平面ABCD的距离为. 2223.（1）QE为SD的中点，ADDC1SD,SDASDC600 2EDECADDC.

设O为AC的中点，连接EO,DO则EOAC

QAD//BC,BCCD ADBC.

又ODOAOC

EOCEOD 从而EOOD

QACABCD DO面ABCD ACIDO0 EO面ABCD QEO面AEC

34

面EAC面ABCD………………6分

（2）设F为CD的中点,连接OF、EF,则OF平行且等于

1AD 2QAD∥BC EF∥BC

不难得出CD面OEF（QEOCD FOCD）

面ECD面OEF

OF在面ECD射影为EF，EFO的大小为BC与面ECD改成角的大小

设ADa，则OF3aa EF22cosEFOOF3 EF33.（亦可以建系完成） ………………12分 3即BC与ECD改成角的余弦值为

24.解（Ⅰ）过点P作PO⊥底面ABC，垂足为O， 连接AO、CO，则∠PCO为所求线面角，

QACPA,ACPO,且PAPOP，

AC平面PAO.则∠PAO为二面角P-AC-B平面角的补角

PO=3，sinPCO∴∠PAO60，又QPA2，PO1 CO2PCO300，直线PC与面ABC所成角的大小为30°.

（Ⅱ）过O作OEBC于点E,连接PE，则PEO为二面角P-BC-A的平面角，

QAC平面PAO,ACOAAOE450,

设OE与CA相交于FOEEFFO22, 2 35

在PEO中，tanPEOPOEO3222436 7则二面角P-BC-A的正切值为

436. 725.解：（Ⅰ）如图，取PA中点F，连接EF,FD，

E是BP的中点，

EF//AB且EF11AB，又DC//AB,DCAB 22EF//DC四边形EFDC是平行四边形，故得EC//FD

又EC平面PAD,FD平面PAD

EC//平面ADE

（Ⅱ）取AD中点H,连接PH,因为PAPD，所以PHAD

 平面PAD平面ABCD于AD，

PH面ABCD，

HB是PB在平面ABCD内的射影 PBH是PB与平面ABCD所成角

 四边形ABCD中，ABCBCD900 四边形ABCD是直角梯形

DCCB1AB 22a

2a

设AB2a，则BD0在ABD中，易得DBA45,AD 36

12PHPD2DH2a2a2a.

22又BDAD4aAB

2222ABD是等腰直角三角形，ADB900

HBDH2DB21210a2a2a 222aPH5 在RtPHB中，tanPBH2

HB510a2（Ⅲ）在平面ABCD内过点H作AB的垂线交AB于G点，连接PG,则HG是PG在平面ABCD上的射影，故PGAB，所以PGH是二面角PABD的平面角， 由AB2a,HA21a，又HAB450HGa 222aPH22 在RtPHG中，tanPGH1HGa2 二面角PABD的余弦值大小为

26.（1）∵四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为边长为2的正方形，PA=2，PB=PD=2∴PA2+AB2=PB2，PA2+AD2=PD2， ∴PA⊥AB，PA⊥AD，

∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴， 建立空间直角坐标系，

∵E，F，G，H分别为棱PA，PB，AD，CD的中点． ∴C（2，2，0），D（0，2，0），B（2，0，0）， P（0，0，2），F（1，0，1），G（0，1，0）， =（﹣2，0，0），=（﹣2，﹣1，0），

设平面CFG的法向量=（x，y，z）， 则

，取x=1，得=（1，﹣2，﹣3）， =（﹣1，﹣2，1），

，

3. 3 37

设CD与平面CFG所成角为θ， 则sinθ=|cos＜

＞|=

=

=．

，（0≤λ≤1），使得平面

．

∴CD与平面CFG所成角的正弦值为

（2）假设棱PD上是否存在点M（a，b，c），且CFG⊥平面MEH，

则（a，b，c﹣2）=（0，2λ，﹣2λ），∴a=0，b=2λ，c=2﹣2λ，即M（0，2λ，2﹣2λ）， E（0，0，1），H（1，2，0），

=（1，2，﹣1），

=（0，2λ，1﹣2λ），

设平面MEH的法向量=（x，y，z）， 则

，取y=1，得=（

，1，

），

平面CFG的法向量=（1，﹣2，﹣3）， ∵平面CFG⊥平面MEH， ∴解得

=

﹣2﹣∈[0，1]．

=．

=0，

∴棱PD上存在点M，使得平面CFG⊥平面MEH，此时

38