北京市西城区2020届九年级模拟测试数学试题 (二模)(含答案)

北 京 市 西 城 区 九 年 级 模拟 测 试

数学试卷 2020.6

1. 本试卷共8页，共三道大题，28道小题。满分100分。考试时间120分钟。 考2. 在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。 生3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 须知 4. 在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5. 考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。 一、选择题（本题共16分，每小题2分）

第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.下列各组图形中，能将其中一个图形经过平移变换得到另一个图形的是

（A）（B）（C）（D）

2.中国国家航天局2020年4月24日在“中国航天日”之际宣布，将中国行星探测任务命名为“天问”，将中国首次火星探测任务命名为“天问一号”.火星具有与地球十分相近的环境，与地球最近的时候距离约5500万千米，将5500用科学记数法表示为 （A）0.55104（B）5.5103（C）5.5102（D）55102 3.图1是某个几何体的平面展开图，该几何体是

（A）（B）（C）（D）

图1

4.下列运算中，正确的是

（A）aa2=a3（B）a6a2=a3（C）2a2−a2=2（D）3a2

()2=6a4

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5.如图，实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是

（A）a3

（B）−1−b0

（C）a−b（D）a+b0

6.如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，OC＝2，则BC的长为 （A）2 （C）23 （B）22 （D）4

AOBC7.某人开车从家出发去植物园游玩，设汽车行驶的路程为S（千米），所用时间为t（分）， S与t之间的函数关系如图所示．若他早上8点从家出发， 汽车在途中停车加油一次，则下列描述中，不正确的是 ．．．（A）汽车行驶到一半路程时，停车加油用时10分钟 （B）汽车一共行驶了60千米的路程，上午9点5分

到达植物园

（C）加油后汽车行驶的速度为60千米/时

（D）加油后汽车行驶的速度比加油前汽车行驶的速度快

8.张老师将自己2019年10月至2020年5月的通话时长（单位：分钟）的有关数据整理如下： ① 2019年10月至2020年3月通话时长统计表

时间 时长（单位：分钟） 10月 520 11月 530 12月 550 1月 610 2月 650 3月 660 300S (千米)60ABC253565t (分)② 2020年4月与2020年5月，这两个月通话时长的总和为1100分钟 根据以上信息，推断张老师这八个月的通话时长的中位数可能的最大值为 （A）550

（B）580

（C）610

（D）630

二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9.若代数式

1在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． x−210.因式分解：a3−a＝_______．

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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根 11.如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，若△ADE的面积为1，则△ABC的 面积等于______． A

DECyADBEABCBOxF第11题图第12题图第13题图 12.如图，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠E，点F在AB的延长线上，则∠CBF的度数是__． 13.如图，双曲线y=坐标为_______． 14.如图，用10个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个宽 为50cm的大矩形，设每个小矩形的长为xcm，宽为ycm， 则可以列出的方程组是______． 15.某调查机构对某地互联网行业从业情况进行调查统计，得到当地互联网行业从业人员年龄分布统计图和当地90后从事互联网行业岗位分布统计图：

互联网行业从业人员年龄分布统计图 90后从事互联网行业岗位分布图

k与直线y＝mx交于A，B两点，若点A的坐标为（2，3），则点B的 x 80后41%90后56%80前技术运营市场产品设计其它41%19%15%12%8%5%对于以下四种说法，你认为正确的是 (写出全部正确说法的序号)． ①在当地互联网行业从业人员中，90后人数占总人数的一半以上 ②在当地互联网行业从业人员中，80前人数占总人数的13%

③在当地互联网行业中，从事技术岗位的90后人数超过总人数的20% ④在当地互联网行业中，从事设计岗位的90后人数比80前人数少

16.一个袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中

任

意取出两个球，如果先放入甲盒的球是红球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球 是黑球，则另一个球放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中. （1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色

是.

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（2）若乙盒中最终有5个红球，则袋中原来最少有个球.

三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27， 28题，每小题7分）

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17.计算：12+(−2020)0−3tan30o+18.解方程：

3−1.

x2x． +1=x−13x−319.已知关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+2k=0.

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若该方程有一个根大于2，求k的取值范围．

20.下面是小明设计的“在已知三角形的一边上取一点，使得这点到这个三角形的另外两边的

距离相等”的尺规作图过程： 已知：△ABC.

ABC求作：点D，使得点D在BC边上，且到AB，AC边的距离相等. 作法：如图，

作∠BAC的平分线，交BC于点D.

则点D即为所求.

根据小明设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形 (保留作图痕迹)； （2）完成下面的证明.

证明：作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，

∵AD平分∠BAC，

∴=( ) (填推理的依据) .

21.如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90，D为AB的中点，AE∥DC，CE∥DA． （1）求证：四边形ADCE是菱形； （2）连接DE，若AC =23，BC =2，

求证：△ADE是等边三角形．

ECADB4 / 16

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22.某医院医生为了研究该院某种疾病的诊断情况，需要调查来院就诊的病人的两个生理指标

x，y，于是他分别在这种疾病的患者和非患者中，各随机选取20人作为调查对象，将

收集到的数据整理后，绘制统计图如下：

指标y1.21.00.80.60.40.200.10.20.30.40.50.60.7指标x注“●”表示患者，“▲”表示非患者.

根据以上信息，回答下列问题： （1）在这40名被调查者中，

①指标y低于0.4的有人；

②将20名患者的指标x的平均数记作x1，方差记作s12，20名非患者的指标x的 平均数记作x2，方差记作s22，则

x1x2，s12s22 (填“>”，“=”或“<”)；

（2）来该院就诊的500名未患这种疾病的人中，估计指标x低于0.3的大约有人； （3）若将“指标x低于0.3，且指标y低于0.8”作为判断是否患有这种疾病的依据，则

发生漏判的概率是.

»=CB»，连接OC，BD，OD. 23.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，且CD（1）求证：OC垂直平分BD；

（2）过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，

连接AD，CD. ①依题意补全图形； ②若AD=6，sinAEC=AOBDC3，求CD的长. 55 / 16

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24.如图，在△ABC中，AE平分∠BAC交BC于点E，D是AB边上一动点，连接CD交AE

于点P，连接BP．已知AB =6cm，设B，D两点间的距离为xcm，B，P两点间的距离为

y1cm，A，P两点间的距离为y2cm.

小明根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.

下面是小明的探究过程，请补充完整:

（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，

分别得到了y1，y2与x的几组对应值：

x/cm 0 2.49 4.59 1 2.64 4.24 2 2.88 3.80 3 3.25 3.25 4 3.80 2.51 5 4.65 6 6.00 0.00 y1/cm y2/cm （2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x，y1)，

(x，y2)，并画出函数y1，y2的图象；

（3）结合函数图象，回答下列问题：

①当AP=2BD时，AP的长度约为cm； ②当BP平分∠ABC时，BD的长度约为cm.

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25.在平面直角坐标系xOy中，函数y=m（x0）的图象G与直线l：y=kx−4k+1交于x点A（4，1），点B（1，n）（n≥4，n为整数）在直线l上． （1）求m的值；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G与直线l围成的区域（不含边界）为W．

①当n=5时，求k的值，并写出区域W内的整点个数； ②若区域W内恰有5个整点，结合函数图象，求k的取值范围．

26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B（A在B的左侧），

抛物线的对称轴与x轴交于点D，且OB=2OD. （1）当b=2时，

①写出抛物线的对称轴； ②求抛物线的表达式；

（2）存在垂直于x轴的直线分别与直线l：y=x+b+2和抛物线交于点P，Q，且点P， 2Q均在x轴下方，结合函数图象，求b的取值范围.

27.在正方形ABCD中，E是CD边上一点（CE>DE），AE，BD交于点F.

（1）如图1，过点F作GH⊥AE，分别交边AD，BC于点G，H.

求证：∠EAB=∠GHC；

（2）AE的垂直平分线分别与AD，AE，BD交于点P，M，N，连接CN.

①依题意补全图形；

②用等式表示线段AE与CN之间的数量关系，并证明．

AGFDAFDEEB HCB C图1 备用图

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28. 对于平面直角坐标系xOy中的定点P和图形F，给出如下定义：若在图形F上存在一点

N，使得点Q，点P关于直线ON对称，则称点Q是点P关于图形F的定向对称点. （1）如图，A(1，0)，B(1，1)，P(0，2)，

①点P关于点B的定向对称点的坐标是；

②在点C(0，−2)，D(1，−1)中，是点P关于线段AB的 −3)，E(2，定向对称点.

（2）直线l：y=30)为圆心，x+b分别与x轴，y轴交于点G，H，⊙M是以点M(2，3r(r0)为半径的圆.

①当r=1时，若⊙M上存在点K，使得它关于线段GH的定向对称点在线段GH上，

求b的取值范围；

②对于b0，当r=3时，若线段GH上存在点J，使得它关于⊙M的定向对称点在

⊙M上，直接写出b的取值范围.

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数学试卷答案及评分标准2020.6

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

题号 答案 1 A 2 B 3 D 4 A 5 C 6 B 7 D 8 B 8 / 16

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二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．x210.a(a−1)(a+1)11.4 12．7213.（-2，-3）14.x+y=50,

x=4y（1）红（2）20． 15．①③16．

28题，每小题7分）

17．解：12+(−2020)0−3tan30o+

三、解答题（本题共68分，第17－22题，每小题5分，第23－26题，每小题6分，第27，

3−1

=23+1−33+3−1 3=23． ··············································································································· 5分

18．解：方程两边乘以3(x−1)，得3x+3(x−1)=2x．

解得x=3. 43时，3(x−1)0． 43所以，原分式方程的解为x=.

4检验：当x= ······························································································································ 5分

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12k． 19．解：（1）依题意，得△=[-(2k+1)]-4创2=(2k-1)．

∵(2k-1)≥0， ∴ 方程总有两个实数根． （2）解：由求根公式，得x=∴ x1=2k，x2=1．

∵ 该方程有一个根大于2，

∴ 2k>2． ∴k>1．

∴ k的取值范围是k>1． ····································································· 5分

20．解：（1）如图.

（2）DE，DF，角平分线上的点到角两边的距离相等.

··························································································································· 5分

21．证明：（1）∵ AE∥DC，CE∥DA，

∴ 四边形ADCE是平行四边形．

(2k+1)?222(2k1)2，

ABDCE∵ 在Rt△ABC中， D为AB的中点， ∴ AD= BD=CD=

C1AB． 2∴ 四边形ADCE是菱形．

（2）在Rt△ABC中，AC =23，BC =2，

ADB∴ tanCAB=BC3． =AC310 / 16

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∴ ∠CAB=30．

∵ 四边形ADCE是菱形． ∴ AE = AD，∠EAD=2∠CAB=60．

∴ △ADE是等边三角形． ······································································· 5分

22．解：（1）① 9.

②<，>. （2）100. （3）0.25.

······················································································ 5分

»=CB» 23．（1）证明：∵CD∴∠COD =∠COB．

∵OD = OB， ∴OC垂直平分BD．

（2）解：①补全图形，如图所示.

②∵CE是⊙O切线，切点为C，

∴OC⊥CE于点C．

DFAOCBE记OC与BD交于点F，由（1）可知OC垂直BD， ∴∠OCE=∠OFB=90°． ∴DB∥CE． ∴∠AEC=∠ABD．

3在Rt△ABD中，AD=6，sinAEC=sinABD=，

5∴BD=8，AB=10． ∴OA= OB=OC=5．

由（1）可知OC平分BD，即DF= BF， ∴BF=DF=4． ∴OF=1AD=3． 2∴CF=2．

在Rt△CFD中，CD=CF2+DF2=25．

··················································································· 6分

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24．解：（1） x/cm 0 1 2 3 4 5 1.50 6 y1/cm y2/cm （2）画出函数y1的图象；

（3）答案不唯一，如：

①3.86；

②3． ·························································································· 6分 25．解：（1）∵点A（4，1）在函数y=∴ m= 4．

（2）①y=kx−4k+1，经过点B（1，5）， ∴ k−4k+1=5．

m（x0）的图象G上， xy7654321O1BB4解得k=−．

3此时区域W内有2个整点．

②∵直线ly=kx−4k+1 过定点A（4，1），

A234567x12 / 16

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∵n为整数，

当n =6时，直线y=kx−4k+1，经过点B（1，6），区域W内有4个整点， 当n =7时，直线y=kx−4k+1，经过点B（1，7），区域W内有5个整点， 此时，可得k=−2．

当n≥8时，区域W内的整点个数大于5个． ∴ k的取值范围是k=−2． ······················································· 6分

26．解：（1）当b=2时，y=x2+bx+c化为y=x2+2x+c． ①x=−1．

②∵抛物线的对称轴为直线x=−1， ∴点D的坐标为（-1，0），OD=1．

∵OB=2OD，

∴ OB=2．

∵点A，点B关于直线x=−1对称， ∴点B在点D的右侧．

∴ 点B的坐标为（2，0）． ∵抛物线y=x2+2x+c与x轴交于点B（2，0），

∴ 4+4+c=0． 解得c=−8．

∴抛物线的表达式为y=x2+2x−8．

（2）设直线y=x+∴ E（−b+2与x轴交点为点E， 2b+2，0）． 2b， 2抛物线的对称轴为x=−∴点D的坐标为（−b，0）． 2b①当b0时，OD=．

2∵OB=2OD， ∴ OB=b．

∴ 点A的坐标为（−2b，0），点B的坐标为（b，0）．

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当−2b<−b+2b+2时，存在垂直于x轴的直线分别与直线l：y=x+ 22和抛物线交于点P，Q，且点P，Q均在x轴下方，

解得b2． 3y4321 y 43 2 1 BAED-11 Ox-1 -2 -3 ②当b0时，−b0． ∴ OD=−-1AO-1-2-31EDBxb． 2∵OB=2OD， ∴ OB=-b．

∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B，且A在B的左侧， ∴ 点A的坐标为（0，0），点B的坐标为（-b，0）．

当0<−b+2b+2时，存在垂直于x轴的直线分别与直线l：y=x+ 22和抛物线交于点P，Q，且点P，Q均在x轴下方，

解得b<-2．

综上，b的取值范围是b−2或b

2. ········································· 6分 314 / 16

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27．（1）证明：在正方形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°， A∴∠AGH=∠GHC．

∵GH⊥AE， ∴∠EAB=∠AGH． ∴∠EAB=∠GHC．

（2）①补全图形，如图所示．

②AE=2CN．

GFDEB HPMF4C证明：连接AN，连接EN并延长，交AB边于点Q．

∵四边形ABCD是正方形， ∴点A，点C关于BD对称． ∴NA=NC，∠1=∠2． ∵PN垂直平分AE， ∴NA=NE． ∴NC=NE． ∴∠3=∠4．

A1DEQB N23C在正方形ABCD中，BA∥CE，∠BCD=90°， ∴∠AQE=∠4．

∴∠1+∠AQE=∠2+∠3=90°． ∴∠ANE=∠ANQ=90°．

在Rt△ANE中，

∴AE=2CN． ····························································· 7分

28．解：（1）①(2,0)；

②C，D．

（2）①由题意，b0，

若b0，

当直线l与以点(−2,0)为圆心，1为半径的圆相切时，b=43． 3当直线l经过点(−1,0)时，b=3． 315 / 16

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∴

343≤b≤． 33若b0，

当直线l经过点(1,0)时，b=−3． 3当直线l与以点(0,0)为圆心，3为半径的圆相切时，b=−23．

∴−23≤b≤−3． 33343或≤b≤． 333综上，b的取值范围是−23≤b≤−②

3103≤b≤. ························································· 7分 3316 / 16