全国二卷理科数学高考真题及答案

理科数学(全国2卷)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 3i1.（） 1iA．12i B．12i C．2i D．2i 2.设集合1,2,4，xx24xm0．若I1，则（）

A．1,3 B．1,0 C．1,3 D．1,5 3.我国古代数学名着《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）

A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏

4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）

A．90 B．63 C．42 D．36

2x3y305.设x，y满足约束条件2x3y30，则z2xy的最小值是（）

y30A．15 B．9 C．1 D．9

6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（） 开始A．12种 B．18种 C．24种 D．36种

输入a7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：

你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看S=0,K=1丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成

否绩．根据以上信息，则（） K≤6A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 是C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成

S=S+a∙K绩

8.执行右面的程序框图，如果输入的a1，则输出的S（） a=aA．2 B．3 C．4 D．5 9.若双曲线C:xy1（a0，b0）的一条渐近线被圆a2b222K=K+1输出Sx22y24所截得的弦长为2，则C的离心率为（）

结束A．2 B．3 C．2 D．

23 310.已知直三棱柱C11C1中，C120o，2，CCC11，则异面直线1与C1所成角的余弦值为（） A．

31510 B． C． 2553 3D．

11.若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1`的极值点，则f(x)的极小值为（）

A.1 B.2e3 C.5e3 D.1

uuuruuuruuur12.已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA(PBPC)的最小值

是（）

34A.2 B. C.  D.1

23二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，表示抽到的二等品件数，则D．

314.函数fxsin2x3cosx（x0,）的最大值是．

4215.等差数列an的前n项和为Sn，a33，S410，则1． k1Skn16.已知F是抛物线C:y28x的焦点，是C上一点，F的延长线交y轴于点．若为F的中点，则F．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。

B17.（12分）ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c ,已知sin(AC)8sin2．

2(1)求cosB (2)若ac6 , ABC面积为2,求b.

18.（12分）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）其频率分布直方图如下：

（1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg, 新

养殖法的箱产量不低于50kg”,估计A的概率；

（2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有

关： 旧养殖法 新养殖法 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg （3） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01） 0.050 0.010 0.001 P（𝐾2≥𝑘） k 3.841 6.635 10.828 19.（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，1ABBCAD,BADABC90o,E是PD的中点.

2（1）证明：直线CE//平面PAB

（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45o，求二面角M-AB-D的余弦值

x220.（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：y21上，过M做x轴的垂线，垂足

2uuuruuuur为N，点P满足NP2NM. (1) 求点P的轨迹方程；

uuuruuur(2) 设点Q在直线x=-3上，且OPPQ1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点

F.

21.（12分）已知函数f(x)ax2axxlnx,且f(x)0. （1）求a；

（2）证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e2f(x0)22.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos4．

（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM||OP|16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程；

（2）设点A的极坐标为(2,)，点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值．

323.[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知a0,b0,a3b32，证明：

（1）(ab)(a5b5)4； （2）ab2．

2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(Ⅱ)试题答案

一、选择题

1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.D 7.D 8.B 9.A 10.C 11.A 12.B 二、填空题

13. 1.96 14. 1 15. 三、解答题 17.解：

（1）由题设及ABC得sinB8sin22n 16. 6 n12，故

上式两边平方，整理得 17cos2B-32cosB+15=0 解得 cosB=1（舍去），cosB=（2）由cosB=15 1715814得sinB，故SABCacsinBac 171721717又SABC=2，则ac

2由余弦定理及ac6得 所以b=2 18.解：

（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于

50kg”

由题意知PAPBCPBPC 旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为 故PB的估计值为0.62

新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为 故PC的估计值为0.66

因此，事件A的概率估计值为0.620.660.4092 （2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表 箱产量50kg 旧养殖法 新养殖法 62 34 箱产量≥50kg 38 66 由于15.7056.635 故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．

（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图面积为

0.0040.0200.04450.340.5，

箱产量低于55kg的直方图面积为 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为

50+0.5-0.34． ≈52.35（kg）0.06819.解：

（1）取PA中点F，连结EF，BF．

因为E为PD的中点，所以EFPAD,EF=AD,由BADABC90得BC∥AD，又

BC1AD 212所以EF∥BC．四边形BCEF为平行四边形，CE∥BF．

又BF平面PAB，CE平面PAB，故CE∥平面PAB （2）

uuuruuur

由已知得BAAD,以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，AB为单位长，建立如图

所示的空间直角坐标系A-xyz,则

1，3)， 则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，uuuruuurPC(1，0，3),AB(1，0，0)则

因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而n(0，0，1)是底面ABCD的法向量，所以

uuuurcosBM,nsin450，z(x1)2y2z22 2即（x-1）2+y2-z2=0

又M在棱PC上，设PMPC,则

uuuuruuur22x=1+x=1-22(舍去)，y=1y=1由①，②得 z6z622所以M1-uuuur2626，从而,1，AM1-,1，

2222设m=x0,y0,z0是平面ABM的法向量，则 所以可取m=（0，-6，2）.于是cosm,n因此二面角M-AB-D的余弦值为20.解

uuuruuuur（1）设P（x,y）,M（x0,y0）,设N（x0,0）, NPxx0,y,NM0,y0

uuur由NPuuuur2NMmgnmn10 510 5得x0=x,y02y 2x2y2因为M（x0,y0）在C上，所以1

22因此点P的轨迹方程为x2y22

（2）由题意知F（-1,0）.设Q（-3，t）,P(m,n),则

uuuruuuruuuruuurOQ3,t,PF1m,n,OQgPF33mtn，

uuuruuurOPgPQ1得-3mm2tnn21，又由（1）知m2+n2=2，故 由

3+3m-tn=0

uuuruuuruuuruuur所以OQgPF0，即OQPF又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的

直线l过C的左焦点F. 21.解：

+ （1）fx的定义域为0，设gx=ax-a-lnx，则fx=xgx,fx0等价于gx0 因为g1=0，gx0,故g'1=0,而g'xa1,g'1=a1,得a1 x若a=1，则g'x=11.当0＜x＜1时，g'x＜0,gx单调递减；当x＞1时，g'x＞0，

xgx单调递增.所以

x=1是gx的极小值点，故gxg1=0

综上，a=1

（2）由（1）知fxx2xxlnx,f'(x)2x2lnx 设hx2x2lnx,则h'(x)211x

1当x0,时，h'x＜0；当x,+时，h'x＞0，所以hx在0,单调递减，在

2221,+单调递增 2111又he2＞0,h＜0,h10，所以hx在0,有唯一零点x0，在,+有唯一零点

22211，

且当x0,x0时，hx＞0；当xx0,1时，hx＜0，当x1,+时，hx＞0. 因为f'xhx，所以x=x0是f(x)的唯一极大值点 由f'x00得lnx02(x01),故fx0=x0(1x0) 由x00,1得f'x0＜

因为x=x0是f(x)在（0,1）的最大值点，由e10,1,f'e10得 所以e2＜fx0＜2-2 22.解：

（1）设P的极坐标为，＞0，M的极坐标为1，1＞0，由题设知 由OMgOP=16得C2的极坐标方程=4cos＞0

2因此C2的直角坐标方程为x2y4x0

214（2）设点B的极坐标为B，B＞0,由题设知

OA=2，B=4cos,于是△OAB面积

当=-12时，S取得最大值2+3

所以△OAB面积的最大值为2+3 23.解： （1）

（2）因为

所以a+b8，因此a+b≤2.

3