反常积分的研究文献综述

毕业论文文献综述

数学与应用数学

反常积分的研究

一、前言部分

通过数学分析等课程的学习，知道了反常积分作为变限积分函数的极限，其许多性质与定积分类似。反常积分与数项级数之间有密切联系，反常积分的许多敛散性判别法与数项级数的敛散性判别法是平行的，同时反常积分也有特殊的性质.

本文的写作目的就是在之前学习的基础之上,通过查阅有关文献资料,研究反常积分敛散性的判别法及计算，研究反常积分的特殊性质，讨论反常二重积分的简单问题.

首先来介绍几个基本概念. 定义1 设函数 可积,如果存在极限

[1]

定义在无穷区间 [a,)上,且在任何有限区间 [a,u] 上

ualimuf(x)dxJ

1

则称此极限J为函数 在

上的无穷限反常积分（简称无穷积分）,记作

Jaf(x)dx,并称



af(x)dx收敛.

如果极限1不存在,为方便起见,亦称

af(x)dx 发散.

定义2 设函数f定义在 (a,b]上,在点 的任一右邻域内无界,但在任何内闭区间 [u,b](a,b]上有界且可积,如果存在极限limua[1]buf(x)dxJ,则称此极限为无

界函数f (a,b]上的反常积分,记作 J如果极限不存在,这时也说反常积分

baf(x)dx,并称反常积分



baf(x)dx收敛,

baf(x)dx发散.

定义3 设D为 R2中的一无界区域（例如,全平面、半平面、角域、带形区域、任一有界区域的外部等等）,函数 f(x,y)在D中有定义且有界.用任意一条光滑曲线L在D中画出（可求面积）有界区域都D..设f(x,y)的二重积分

[2]f(x,y)dxdy存

D0在,当曲线L连续变动,使自坐标原点到L上的点的最小距离 时,所划出的区域D..无限扩展而趋于（或笼罩）区域D,记为 D0D,此时称

DD0limf(x,y)dxdy

D0为函数 f(x,y)在无界区域D上的广义积分,记为

f(x,y)dxdy=limf(x,y)dxdy 2

D0DD0D0如果不论曲线

的形状如何,也不论 D0的扩展过程如何,

D0f(x,y)dxdy=

DD0limf(x,y)dxdyD0

2

2式右端有惟一的有限极限值I存在,则称广义二重积分f(x,y)dxdy收敛,极

D0限值I称为广义二重积分值.此时也称f(x,y)在D上广义可积,简称可积.若2式右端的极限不存在,或者极限值依赖于曲线L的形状及区域 D0的扩展过程,则称广义二重积分发散,也称f(x,y)在D上不可积.

定义4[2] 设 DR为有界区域,点 M0(x0,y0)D,函数 f(x,y)在 D

MM02上（可除去点 M0）有定义. M(x0,y0)D,且 MM0.若 limf(x,y),则称点M0为函数f(x,y)在区域D上的一个瑕点.

以点M0为中心,以 0为半径作一小圆 B(M0,r),设f(x,y)在B内可积,此时称

f(x,y)dxdylimf(x,y)dxdy 3

D0DB为 f(x,y)在D中的含瑕点的广义二重积分.若式3右端有惟一的有限极限存在,则称含瑕点的广义二重积分收敛,极限值称为函数f(x,y)的含瑕点的广义二重积分值.若式3右端的极限不存在,则称函数f(x,y)的含瑕点的广义二重积分发散.

二、主题部分 前面一部分简单介绍了一下本论文的写作目的，写作背景和所要介绍的一些基本概念.

现在中西方的不少著作中都是将反常积分放在微积分的积分部分中进行介绍的，当然也有一些著作是单独对反常积分的某一性质或者是在某种情况下的反常积分进行研究的.下面就对我所翻阅的有关反常积分的文献进行一下简单介绍.

文献[3] 全面介绍了反常积分.书中首先以第二宇宙速度和圆柱形桶漏水两个例子引出反常积分.进而对无穷反常积分和瑕积分给出了定义.此外还分别给出了无穷积分和瑕积分的性质和收敛判别.介绍了数项级数的相关知识.其中的一些性质和判别法与无穷反常积分类似.

文献[4]通过把目前求反常积分各种离散的方法进行梳理、整合，进而形成了一套求解反常积分理论系统．突破了反常积分的一般求解方法的局限；运用拉普拉斯变换，伽马函数，数值积分方法，留数定理等方法求反常积分，打破了传统的求解模式，开拓了大家的思维，使得反常积分的求解操作性更强，使得求解反常积分更加系统化、理论化、深入化；同时，可以根据各种求解方法之间的相互关系进一步地了解反常积分.

文献[5] 对一道反常积分习题提供了一个简洁的证明，所采用的方法是反常积分的定

义，而后将这道习题作为定理，用其解答了五个例子，这五个例子涉及到正项级数，二重积分，三重积分等．

文献[6] 对华东师范大学出版的《数学分析》中的一些有关反常的题目给出了正确的解答.

文献[7] 利用比较判别法，给出了无穷积分和瑕积分敛散性的对数判别法；对比无穷积分和无穷级数，同时给出了无穷级数的对数审敛法．

文献[8] 论述了反常积分与积分和之间的关系，指出在某些条件下，反常积分可以由某些特殊形式的“积分和”来逼近，同时给出了某些特殊数列前n项的算术和几何平均比值的极限.

文献[9] 将无穷积分及无界函数积分的被积函数运用无穷小和无穷大比较的方法进行比较,得到了相应的反常积分敛散性极限审敛法的等价定理,并给予证明,从而可运用等价定理灵活的判断反常积分的敛散性.

文献[10] 介绍一种判别无穷限反常积分与正项级数敛散性的判别法.

文献[11] 介绍了计算反常积分时,几种容易出现的错误,并分析了产生错误的原因,目的在于帮助初学者加深对反常积分概念的理解.

文献[12] 是数学分析中的经典著作，一直受到数学界的推崇。作为Rudin的分析学经典著作之一，在西方各国乃至我国均有着广泛而深远的影响。被许多高校用做数学分析课的必选教材。在书中的第六章，作者先以积分的定义和存在性引出话题进而讨论了积分的性质，以及积分与微分的关系，还讨论了可求长曲线，并在章后的习题中通过一些习题引出了反常积分的讨论。紧接着，本书的第七章讨论了函数项级数的一些概念，这也是对之前反常积分的问题的一个延伸。

文献[13] 是Marvin L.Bittinger的经典著作之一，本书系统讲述了微积分的基本概念、方法和应用．主要内容包括：函数、图形和模型，微分法及其应用，指数函数与对数函数，积分及其应用，多元函数。书中提供了大量经挤、商业、生命科学、物理学、社会科学等方面的例题与习题，充分展现了微积分在实际中的应用.本书理论与应用并重，选材精练，例题丰富，注重思维方法的引导，可作为高等院校“高等数学”课程教材、参考书或双语教学的辅助教材.本书系统讲述微积分的基本概念，方法和应用。书中提供了大量经济，商业，生命科学、物理学，社会科学等方面的例题与习题.其中本书的第六章第三节专门介绍了广义积分的应用.

文献[14] 是微积分的一本习题解答，其中有对反常积分的总结和相应的习题求解. 文献[15] 是有关利息方面知识的书，其中在计算年金的知识方面需要用到反常积分的知识.

总的来说，这些文献中既有对基本知识的论述，如文献[1],[2],[3],[14].也有对反常积分更深入一步的研究，如文献[6],[14]，还有是讨论了无穷积分和正项级数的区别与联系.如文献[7],[9],[10].最后还叙述反常积分在生活中的应用.如文献[5],[13],[15].

三、总结部分

本文先介绍了写作目的，接着介绍了反常积分的基本概念.进而又对所参考的文献进行了简单的介绍，从这些文献中可以看到反常积分的背景,并知道为何要引入反常积分.接着,还知道了反常积分的定义和性质及其通常的一般判别方法.另外，文献中还有介绍无穷积分和正项级数的区别与联系.文献还给出了一些反常积分的计算和其收敛性判别的例子,并叙述了现实生活中的反常积分的应用.

反常积分似乎在大学数学中并不太惹人注意.但随着科技的发展,在现实生活中,越来越多的问题需要用到反常积分,相信在不久的将来,反常积分的应用将更加广泛.我们应该对它有更多的关注.

四、参考文献 [1] 韩云端,扈志明. 微积分学习指导[M]. 北京: 清华大学出版社, 2006.

[2] 邝荣雨等. 微积分学讲义(第二版)第三册[M]. 北京:北京师范大学出版社,2006. [3] 华东师范大学数学系. 数学分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社,2003． [4] 吴强,潘安江,李国强. 积分求解方法探究[J]. 内江师范学院学报,2010,7: 99-102. [5] 张国铭.

一道反常积分习题及其应用[J]. 高等数学研究, 2010,13(2): 16-18.

一个反常积分收敛性的剖析[J]. 广西大学学报(自然科学版),2008,33(6):

[6] 李群宏,李春红,方世祖.

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[11] 陈惠禅. 计算反常积分时常见的错误[J]. 高等数学研究,1996,61(4):13-15.

[12] Walter Rudin. Pringcles of Mathmaticle Analysis[M]. Beijing:China Machine Press,2007. [13] Marvin L.Bittinger. Calculus and Its application(Eighth edition)[s].China Machine Press,2005.

[14] 施明存,武海燕.微积分同步辅导[M]. 北京:高等教育出版社,2008. [15] 刘占国.利息理论[M]. 天津:南开大学出版社,2000.