函数极限教学中的疑难解析

第２８卷　第６期　２０１０年１２月　青海大学学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｑｉｎｇｈａｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒｅ　Ｓｃｉｅｎｃｅ）　Ｖｏ１．２８　ＮＯ．６　Ｄｅｅ．２０ｌ０　函数极限教学中的疑难解析　赵元吉　（青海大学基础部，青海两宁８１００ｌ６）　摘要：极限理论是高等数学教学中的重难点之一。文中通过实例对极限教学的难点给予了释　疑，将对大学生深刻理解和掌握该部分理论具有一定的参考价值。　关键词：极限；疑难解析；转化　中图分类号：Ｇ６４２．Ｏ　文献标志码：Ｃ　文章编号：１００６—８９９６（２０１０）０６—００７９—０３　Ｋｎｏｔｔｙ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｌｉｍｉｔ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｔｅａｃｈｉｎｇ　ＺＨＡＯ　Ｙｕａｎｊｉ　（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｂａｓｉｃ　Ｒｅｓｅａｒｃｈ，Ｑｉｎｇｈａｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉｎｉｎｇ　８　１　００　１　６，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　１ｉｍｉｔ　ｉｓ　ａｎ　ｉｍｐｏｒｔａｎｔ　ｐａｒｔ　ｏｆ　Ａｄｖａｎｃｅｄ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ａｎｄ　ｉｔ　ｉｓ　ａｌｓｏ　ｏｎｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｄｉｆｆｉｃｕｌｔ　ｐｏｉｎｔｓ　ｏｆ　ｔｅａｃｈｉｎｇ　ｒｅｓｅａｒｃｈ．Ｔｅａｃｈｉｎｇ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ｌｉｍｉｔ　ｉｓ　ａｎａｌｙｚｅｄ　ｂｙ　ｐｒｏｖｉｄｉｎｇ　ｒｅａｌ　ｅｘａｍ—　ｐｌｅｓ．Ｉｔ　ｈｅｌｐｓ　ｔｏ　ｃｏｌｌｅｇｅ　ｔｏ　ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ　ａｎｄ　ｍａｓｔｅｒ　ｔｈｉｓ　ｐａｒｔ　ｏｆ　ｔｈｅｏｒｙ　ｂｅｔｔｅｒ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｌｉｍｉｔ；ｋｎｏｔｔｙ　ａｎａｌｙｓｉｓ；ｔｒａｎｓｆｏｒｍ　极限是《高等数学》的一个中心概念。由于学生对极限的概念、法则、公式、定理等理解模糊肤浅，　做题时凭想象乱用定义，乱套公式，盲目求解，导致很多错误的结果。针对这种情况，教师在教学中，应　加强定义教学，将知识不能简单的传送给学生，应将知识转化后再将信息传授给学生，这样学生易懂，也　易理解，本文从几个实例加以阐述，供教学、学习时参考。　１　极限定义应用　例１“对任意的６＞０，总存在　＞０，当０＜ｉ　—Ｘ０　Ｉ＜６时，恒有『厂（　）一Ａ　ｊ＜占”是“ｌｉｍｆ（　）＝Ａ”　的充分必要条件，对吗？　分析：ｌｉｍｆ（　）＝Ａ的定义是“任意的　＞０，总存在６＞０，当０＜Ｊ　—Ｘ０　Ｊ＜６时，恒有　一∞　Ｉ厂（　）一Ａ　ｉ＜　”¨　。举例说明上题的条件和结论不能互相推得。如：厂（　）＝ｔａｎｘ，　。＝０，Ａ＝０时成　．立，若取６＝　＂ＩＴ时，则不存在任意的　＞０，使得当０＜ｉ　一０　ｆ＜　Ｔｆ时，恒有ｌ厂（　）一０『＜　成立　。。　又如：厂（　）＝１，　＝０，Ａ＝０时也不成立，对６＞０，取　：２即可。　例２设非负函数　）在［０，＋ＯＯ］上连续，且ｌｉｍｆ（　）＝０，则．厂（Ｘ）在［０，＋Ｏ０］取得最大值。　分析：区间［０．＋∞）不是有界区间，故不能直接应用最大值、最小值定理。有条件ｌｉｍｆ（　）＝０　可知，当　充分大后，　）将非常接近于零。考虑到厂（　）在［０，＋。。］上非负、连续的假设，可知－厂（　）　若有大于零的最大值，则该最大值必在闭区间［０．　］上达到（其中　为某一充分大的正数）。若在　［０，十００］上，厂（　）恒等于零，则可任取一点　。∈［０，＋ｏ０］，使　。）＝０。若存在　。∈［０，＋００］，使　＿厂（　。）＞０．则由于ｌｉｍｆ（　）＝０，故对任意的　＝＿厂（　。）＞０，存在　＞０，当　＞Ｘ时，恒有ｌ厂（　）＝　ｉ厂（　）一０　ｆ＜　＝ｌ厂（　。）．于是取闭区间［０，Ｘ］，显然　。∈［０，Ｘ］。由于ｌ厂（　）在［０，Ｘ］上连续，故　收稿日期：２０１０—１１—０３　作者简介：赵元吉（１９６８一），男，青海乐都人，副教授。　８０　青海大学学报　第２８卷　／【　）在ｌ０，　Ｊ上必取得最大值Ｍ。此时Ｍ　／（　。）。　例３证明ｉｍ　＝士　证明　注意当ｎ＞８时，！　一号ｌ　＝　１，故对任意的　＞０，且ｎ＞８时即可。取　Ｎ＝ｍａｘ（［÷】，８），当ｎ＞ｍ　Ｎ，－ｊ－，ｆ　／１　，２　－ｉｆ．　Ｓ　ｈ＋６　～　１　ｆ＜ｓ恒成立。根据“　一Ⅳ”定义，可知：　］ｉｍ　本题中放大｛　手　一　１　ｊ，是在　＞８的条件下进行的，注意到　可　１＝　。能小于８，故　应取决于（或等于）　又大于８的自然数。另外，数列极限与它的前有限项无关，因此有　时Ⅳ也可取得大一些。　通过以上实例，对“占一＿￣”给出一些释义：　（１）定义从数量关系上表达了“当ｎ—ｏ。时，ａ　一Ａ”的含义。　（２）“　”州来刻画ａ，　与Ａ的接近程度。　（３）“　”具有双重性，　既是任意的又是给定的。　（４）“Ⅳ用来刻　项数ｎ应大到什么程度时，ｌ　ｏ　一４　ｉ＜　才能成立”。　（５）定义巾的自然数Ｎ的取值只与　有关，但并没有唯一确定的Ⅳ和８对应。故Ⅳ不是ｓ的函数　。　（６）数列中去到或增加有限项时，极限值不会改变。　２无穷小量应用　例４幂指函数的极限ｌｉ　ｍｆ（　）　’时，能否用等价无穷小量替换Ｉ厂（　）中的广大ｊ子？ｇ（　）中的因子？　分析：可用等价尤穷小量替换ｇ（　）中的广大１子，但一般情况下不能替换＿厂（　）中的闪子。Ｎ￣ｘ，ｆ　ｌｉｍｆ　（　）　，可采川对数转化为极限ｅ　州　，从中可以看出ｇ（　）的因子也是ｇ（　）１　）的阗子，所以　可以替换，例如．＿ｌｉ　ｍ　…“，但是　）中的因子一般不是ｇ（　）ｉｎｆ（　）ｆｌ＇Ｊ，Ｎ－￣，故不能贸然替换。又如：　Ｙ～刈＼（　）Ｓｌｎ　，　　＝ｌ　ｉ　ｎｉ（＼戈／÷　ｌ。这是错误的结果，　事实上，　（ｒ　＼　，＿ｔＳａ１ｎｘ　），　　＝］　ｉｎ＋圳。ｌ　１＋　Ｓ　ｌ１ｘ　　，　…　…　。”“　Ｉ　＝ｅ　２　此例说明无穷小的比较及相关概念是微积分中很重要的内容，涉及面广，如果对概念、公式、法则等　理解不深，模糊不清，初学者往往不善使用，甚至用错，将影响整个微积分的学习。　３　导数定义应用　例５　＿厂Ｉ　）　：。处可导与极限ｌｉｍ　厂（　±　十ＬＪ厶凸　存在是否互为充要条件？　分析：如果Ｌ厂（　）存　：。处可导，则厂（。）：ｌｉａｒ　十＿＿　士二　，以一Ａ　代替上式中的　，就有　＿厂（ｎ）＝　盟ｊ　“ｌ　二　／＿ｌ；，ｔｉ－　，将以上两式相加且乘以　Ｚ　，就得．‘厂（ｎ）＝　　ｒ　Ｚ△　因　如果极限ｌｉｍ　　　。。　…　ｊ　此＿厂（　）存　＝ａ处　ｆ导是极限　ｉ　Ｉ／＿（　垒　÷　２△戈　存在的充分条件；反之‘。　一　’　’。　…，±　．）＿存在，并不保证＿厂（　）在　：ｎ处可导。冈为　±　云　的值仅与　厂（　）在点ｎ＋△　与ａ一△　处的值有关，而与厂（　）在　＝ｎ处的值无关，换句话说，即便厂（　）在　：。　第６期　赵元吉：函数极限教学中的疑难解析　８１　处不连续，甚至无定义，Ｊｆ￣　ｌｉ　ａｒ　±垒　二　＝　，也可能存在。如：　）＝｛　＝０可见Ｉ厂（　）在　＝。处不可导。因此，　；有　）在　：。处可导　是极限ｌｉａｒ　±　之÷　存在的充分而非必要条件。　函数在一点的极限与可导性是极限教学的重点，而函数在一点处是否有定义、是否可导是教学的难　点，教学时可以利用分段函数释疑解难。　４运算法则应用　例６　在应用复合函数的极限法则时，如果把条件“　≠　。时，　（　）≠　”去掉，只在条件“　ｌｉｍｆ（ｕ）＝Ａ，ｌｉｍｆ（ｕ）＝ｕ。”下，是否能推得“ｌｉｍｆ［ｕ（　）】＝ｌｉ　厂（ｕ）：Ａ”的结论？　分析：一般情况下不可以。去到条件“　≠　。时，“（　）≠“。”后，结论不一定成立。如：　设ｌ厂（　）＝｛？　；：　三；，ｕ＝ｇ（　）＝　ｓｉｎ÷（　≠。），此时　ｇ（　））当　＝　（ｎ∈ｚ，ｎ≠。）　时，其值为零，而在其它点，其值为１，故在原点的任意邻域内，函数值不断地取得０和１，显然　ｌｉｔ　ｇ（　））不存在。但若在讨论ｌｉｒ　ｇ（　））时，作代换Ｍ＝ｇ（ｘ）而从由ｌｉｍｇ（ｘ）＝０和ｌｉ　Ｍ）＝１　推得　ｉ　ｇ（　））一１　。　极限的代换法则应用十分广泛，教师与学生经常在不自觉地运用，但必须知道，这种代换是有一定　条件的。如果对定义、法则认识肤浅、模糊不清，就会得出错误结果。　根据以上实例解析，在教学与学习中应深刻理解定义、公式、法则等内涵与外延，教师应将知识转化　后再传输、讲授予学生。这样才能得到事半功倍的教学效果。　参考文献：　［１］同济大学应用数学系，武汉科技学院数理系．微积分学习指导书［Ｍ］．北京：高等教育¨１版社，２００１：１０—１５　［２］同济大学数学系．高等数学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００７：５７—６６．　［３１全生寅．高等数学教程［Ｍ］．西安：西安交通大学出版社，２００５：１４—１５　［４　Ｊ李正元李永乐．考研数学［Ｍ］．北京：闰家行政学院ｆ｛｛版社，２００９：５—８．　（责任编辑唐宏伟）