一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知全集𝑈＝{1，2，3，4，5}，集合𝑀＝{1，2}，𝑁＝{3，4}，则𝑈(𝑀∪𝑁)＝( ) A．{5}
B．{1，2}
C．{3，4}
D．{1，2，3，4}
2．设𝑖𝑧＝4＋3𝑖，则𝑧＝( ) A．−3−4𝑖
B．−3＋4𝑖
C．3−4𝑖
D．3＋4𝑖
3．已知命题𝑝：∃𝑥∈𝐑，sin𝑥<1；命题𝑞：∀𝑥∈𝐑，𝑒|𝑥|⩾1，则下列命题中为真命题的是( ) A．𝑝∧𝑞
𝑥
B．¬𝑝∧𝑞
𝑥
C．𝑝∧¬𝑞 D．¬(𝑝∨𝑞)
4．函数𝑓(𝑥)＝sin3＋cos3的最小正周期和最大值分别是( ) A．3𝜋和√2 B．3𝜋和2 𝑥＋𝑦⩾4，
5．若𝑥，𝑦满足约束条件{𝑥−𝑦⩽2，则𝑧＝3𝑥＋𝑦的最小值为( )
𝑦⩽3，
A．18
𝜋
5𝜋
C．6𝜋和√2 D．6𝜋和2
B．10 C．6 D．4
6．cos212−cos212＝( ) A．
2
12
1
B．
√33
C．
12
√22
D．
√32
7．在区间(0，)随机取1个数，则取到的数小于的概率为( ) A．
43
B． 3
2
C． 3
1
D． 6
1
8．下列函数中最小值为4的是( ) A．𝑦＝𝑥2＋2𝑥＋4 B．𝑦＝|sin𝑥|＋9．设函数𝑓(𝑥)＝
1−𝑥1＋𝑥
4|sin𝑥|
C．𝑦＝2𝑥＋22𝑥
D．𝑦＝ln𝑥＋
4ln𝑥
，则下列函数中为奇函数的是( ) B．𝑓(𝑥−1)＋1
𝜋
A．𝑓(𝑥−1)−1
𝜋
C．𝑓(𝑥＋1)−1
𝜋
D．𝑓(𝑥＋1)＋1
𝜋
10．在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝑃为𝐵1𝐷1的中点，则直线𝑃𝐵与𝐴𝐷1所成的角为( ) A．2 11．设𝐵是尼圆𝐶：A．2
5
𝑥25
B．3 C．4 D．6
＋𝑦2＝1的上顶点，点𝑃在𝐶上，则|𝑃𝐵|的最大值为( ) B．√6
C．√5
D．2
12．设𝑎≠0，若𝑥＝𝑎为函数𝑓(𝑥)＝𝑎(𝑥−𝑎)2(𝑥−𝑏)的极大值点，则( ) A．𝑎<𝑏
B．𝑎>𝑏
C．𝑎𝑏<𝑎2
D．𝑎𝑏>𝑎2
1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
⃗⃗＝(𝜆，4)，若a⃗⃗，则𝜆＝________． 13．已知向量𝑎⃗＝(2，5)，𝑏⃗⃗∥b14．曲线
𝑥24
−
𝑦25
＝1的右焦点到直线𝑥＋2𝑦−8＝0的距离为________．
15．记△𝐴𝐵𝐶的内角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别为𝑎，𝑏，𝑐，面积为√3，𝐵＝60∘，𝑎2＋𝑐2＝3𝑎𝑐，则𝑏＝________．
16．以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和附视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和
俯视图的编号依次为_____________(写出符合求的一组答案即可)．
2图①2图②2图③2图④2图⑤
三、解答题
17．某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备
各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备 新设备
9.8 10.1
10.3 10.4
10.0 10.1
10.2 10.0
9.9 10.1
9.8 10.3
10.0 10.6
10.1 10.5
10.2 10.4
9.7 10.5
22
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为𝑥‾和𝑦‾，样本方差分别记为𝑠1和𝑠2． 22(1)求𝑥‾，𝑦‾，𝑠1，𝑠2；
𝑠＋𝑠(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果𝑦‾−𝑥‾⩾2√12，则认为新设备生产产10
2
2
品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．
2
18．如图，四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷的底面是矩形，𝑃𝐷⊥底面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝑀为𝐵𝐶的中点，且𝑃𝐵⊥𝐴𝑀．
(1)证明：平面𝑃𝐴𝑀⊥平面𝑃𝐵𝐷；
(2)若𝑃𝐷＝𝐷𝐶＝1，求四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷的体积．
PDCMAB
𝑛𝑎𝑛3
19．设{𝑎𝑛}是首项为1的等比数列，数列{𝑏𝑛}满足𝑏𝑛＝
(1)求{𝑎𝑛}和{𝑏𝑛}的通项公式；
．已知𝑎1，3𝑎2，9𝑎3成等差数列．
(2)记𝑆𝑛和𝑇𝑛分别为{𝑎𝑛}和{𝑏𝑛}的前𝑛项和．证明：𝑇𝑛<
𝑆𝑛2
．
20．已知抛物线C：𝑦2＝2𝑝𝑥(𝑝>0)的焦点𝐹到准线的距离为2．
(1)求C的方程；
⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝9𝑄𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗，求直线OQ斜率的最大值． (2)已知О为坐标原点，点P在C上，点Q满足𝑃𝑄
21．已知函数𝑓(𝑥)＝𝑥3−𝑥2＋𝑎𝑥＋1．
(1)讨论𝑓(𝑥)的单调性；
(2)求曲线𝑦＝𝑓(𝑥)过坐标原点的切线与曲线𝑦＝𝑓(𝑥)的公共点的坐标．
(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系𝑥Oy中，⊙𝐶的圆心为𝐶(2，1)，半径为1．
(1)写出⊙𝐶的一个参数方程；
(2)过点F(4，1)作⊙C的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．
23．[选修4－5：不等式选讲]已知函数𝑓(𝑥)＝|𝑥−𝑎|＋|𝑥＋3|．
(1)当𝑎＝1时，求不等式𝑓(𝑥)⩾6的解集； (2)若𝑓(𝑥)>−𝑎，求𝑎的取值范围．
3
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