三角形中的数学思想

学习数学知识,掌握蕴含在其中的数学思想方法是重中之重，现举例说明本部分知识中的数学思想，以期对同学们有所帮助.

一、 方程思想

例1 如图1，在△ABC中，∠B=70°，∠BAC：∠BCA=3：2，CD⊥AD于D，且∠ACD=35°，求∠BAE的度数.

B 图１

C

E

A

D

分析：因∠BAE不是三角形的内角，但∠BAD与其互为补角，为此欲求出∠BAE，可先求出∠BAD，即先求出∠BAC和∠CAD，∠BAC是△BAC的内角，且∠B=70°，∠BAC：∠BCA=3：2，根据三角形的内角和为180°，可求出∠BAC，而∠CAD是△ACD的内角，根据CD⊥AD，∠ACD=35°，由直角三角形的两个锐角互余可求∠CAD，则问题可解.

解：在△ABC中，因为∠B=70°，∠BAC：∠BCA=3：2 所以可设∠BAC=3x°，则∠BCA=2x° 因为∠B+∠BAC+∠BCA=180° 所以70+3x+2x=180 所以x=22

所以∠BAC=3×22°=66° 又因为CD⊥AD， 所以∠D=90°

所以∠CAD+∠ACD=90°

所以∠CAD=90°-∠ACD=90°-35°=55° 因为∠DAE是平角

所以∠BAE=180°-∠BAC-∠CAD=180°-66°-55°=59°

评注：运用代数列方程的方法解决几何问题，是解几何题的基本方法之一，要学

会并熟练运用这一方法.

二、 分类讨论思想

例2 有四条线段，分别是x-3，x，x+1，x+2（x＞3），则以其中的三条为边，能不能组成三角形？

分析：四条线段由三条组成一组，共有四种情况，可一一列出再用三角形三边关系判断.

解：可组合的情况为：①x-3，x，x+1；②x-3，x，x+2；③x-3，x+1，x+2；④x，x+1，x+2

①中x-3+x=2x-3与x+1相比较，已知x＞3，则①不一定能构成三角形，因为2x-3有可能等于x+1，如x=4．

②中x-3+x=2x-3与x+2相比较，因为当x=5时，2x-3=x+2=7，则也可能组不成三角形.

③中x-3+x+1=2x-2与x+2相比较，不保证2x-2＞x+2，则不一定构成三角形. ④中x+x+1=2x+1与x+2相比较，因为x＞3，所以x+x+1-（x+2）＞0，则可以组成三角形.

评注：由于x为大于3的数，则可先将各数排序后再讨论，分类讨论思想能提高同学们解题思路的严谨性.