精品高三复习练习题：基本不等式

2tA.3

答案:D

B.5 C.3 D.5

(2t2)215当t2即t=2时取得等号.

2t2t2t2.若a>0,b>0,a,b的等差中项是1且a1b1则的最小值为( )

2ab解析:由已知得|OP|(t2)21A.2

答案:D

解析:因为a+b=1,

B.3 C.4

D.5

所以a1b111111+b1a5

ababab故选D.

3.已知0x3则函数y=5x(3-4x)的最大值为 .

4答案:45

16解析:因为0x3所以3x0

44所以y=5x(34x)20x(3x)

4x3x420()245 216当且仅当x3x即x3时等号成立.

484.如下图,某药店有一架不准确的天平(其两臂长不相等)和一个10克的砝码,一个患者想要买20

克的中药,售货员先将砝码放在左盘上,放置药品于右盘上,待平衡后交给患者;然后又将砝码放在右盘上,放置药品于左盘上,待平衡后再交给患者.设患者此次实际购买的药量为m(克),则m 20克.(请选择填”>““<“或”=”)

答案:>

解析:设两次售货员分别在盘中放置m1、m2克药品,

10am1b则 10bm2a

mmm12前两个式子相乘,得100abm1m2ab 得m1m2100因为m1m2

所以mm1m22m1m220所以填”>“.

题组一 利用基本不等式证明不等式

21.设a>b>0,则a1ab1的最小值是 ( ) a(ab)A.1

答案:D

B.2 C.3 D.4

解析:ab0a211

aba(ab)2222aaaa 22ab(aab)(abaab)22a244.

a22.已知a、b、c(0)且a+b+c=1,求证:(11)(11)(11)8.

abc证明:∵a、b、c(0)且a+b+c=1, ∴(11)(11)(11)

abc(1a)(1b)(1c) abc(bc)(ac)(ab) abc2bc2ac2ab8.

abc当且仅当abc1时取等号.

3题组二 利用基本不等式求最值 3.设x、y均为正实数,且

331则xy的最小值为( ) 2x2yA.4 B.43 C.9 D.16 答案:D 解析:由

331可得xy=8+x+y. 2x2y∵x,y均为正实数,

∴xy8xy82xy(当且仅当x=y=4时等号成立), 即xy2xy80

可解得xy4即xy16故xy的最小值为16.

y4.已知xyR且满足x1则xy的最大值为 .

34答案:3

yy解析:因为x>0,y>0,所以x2x343424t1t5.已知t>0,则函数y的最小值为 .

t答案:-2

xyxy即1解得xy3所以其最大值为3. 3324t1tt142(∵t>0),当且仅当t=1时ymin2. 解析:yttx16.若直线ax-by+2=0(a>0,b>0)和函数f(x)a1(a0且a1)的图象恒过同一个定点,则当

11取最小值时,函数f(x)的解析式是 . abx1答案:f(x)(222)1

解析:函数

f(x)ax11的图象恒过(-1,2),故

1ab111(1ab)(11)3ba32.当且仅当b2a时取等号,2ab2ab2a2b222a代入1ab1得a222故f(x)(222)x11.

将b22题组三 基本不等式的实际应用

7.某人要买房,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高,当住第n层楼时,上下楼造成的不满意度为n,但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随楼层升高,环境不满意度降低,设住第n层楼时不满意度为8则此人应选( )

nA.1楼 答案:C

B.2楼 C.3楼 D.4楼

解析:应是不满意度之和最小,即n8最小.当n8最小时,有n8n222.828,而n

nnn为整数,故取n=3.选C.

8.某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比,如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元,那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站 千米处. 答案:5

解析:设仓库建在离车站d千米处,

k由已知y121得k120∴y120

d1044y28k210得k25∴y25d

∴y1y2204d2204d8

d5d5当且仅当204d即d=5时,费用之和最小.

d59.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池,池的深度一定(平面图如图所示),如果池四周围墙建造单价为400元/米,中间两道隔墙建造单价为248元/米,池底建造单价为80元/米水池所有墙的厚度忽略不计.

2试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价. 解:设污水处理池的宽为x米,则长为162米.

x则总造价f(x)400(2x2162)2482x801621 296x129610012 960

xx=1 296(x100)12 960

x1 2962x10012 960=38 880(元),

x当且仅当x100(x0)

x即x=10时取等号.

∴当长为16.2米,宽为10米时总造价最低,最低总造价为38 880元. 题组四 基本不等式的综合应用

10.若a是2b与2b的等比中项,则A.2 B.1 C.答案:B

2ab的最大值为( ) ab2 D.2 42解析:∵a是2b与2b的等比中项,

22∴a2b即ab2.

222b22ab2aba根据基本不等式知1.

abab2当且仅当a=b=1或a=b=-1时等号成立. 即

2ab的最大值为1.

ab11.某单位用2 160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用购地总费用) 建筑总面积42000x10800.

x解:设将楼房建为x层,则每平方米的平均购地费用为216010∴每平方米的平均综合费用

y56048x1080056048(x225).

xx∵x>0,

∴x2252x22530

xx当且仅当x225即x=15时,等号成立.

x所以当x=15时,y有最小值为2 000元.

因此该楼房建为15层时,每平方米的平均综合费用最小.