高中立体几何定理及性质

一、公理及其推论

文字语言 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 我们说：直线在平面内 或：平面经过直线 公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。 （那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线） 公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 简单的说，不共线的三点，确定一个平面 符号语言 图像语言 作用 ①用来验证直线在平面内； ② 用来说明平面是无限延展的 ③可以用来判定点在平面内 AlBlABABlPPl PlPl ① 用来证明两个平面是相交关系； ② 用来证明多点共线。 A,B,C不共线A,B,C确定一个平面 C直线AB存在唯一的平面,可以用来确定一个平面 用来证明多点共面，多线共面 A使得BC 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面 A直线a存在唯一的平面,A使得a

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推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 abP 有且只有一个平面， 使a,ba∥b 有且只有一个平面， 使a,b 用来证明线线平行 公理4 （平行公理） a∥b平行于同一条直线a∥c b∥c的两条直线平行

二、平行关系

文字语言 （1）公理4 （平行公理） 平行于同一条直线的两条直线平行 （2）线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 （3）线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 （4）面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行. 符号语言 图像语言 作用 a∥ba∥c b∥c a∥baa∥ b 线线平行推线面平行 ba∥b ab∥ 线面平行推线线平行 a∥b∥abO∥ ab 线面平行推面面平行

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（5）面面平行的判定 如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。 （6）面面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 （7）面面平行的性质 如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。 （8）面面平行的性质 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。 （9）面面平行的性质 平行于同一个平面的两个平面平行。 三、垂直关系 文字语言 OO∥ OO 线面垂直推面面平行 ∥aa∥b b 面面平行推线线平行 ∥a∥ a 面面平行推线面平行 ∥l l∥∥ ∥ 符号语言 PA图像语言 作用 （10）三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 （11）三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直. POO aPOaAOa  POOaAOaPOaPA

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（12）线面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 （13）线面垂直的判定 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面 （14）线面垂直的性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。 （15）线面垂直的性质 如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线 （16）面面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 （17）面面垂直的性质定理 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 lmlnmnBl mn 线线垂直推线面垂直 a∥bb a 线线平行推线面垂直 aa∥b b 线面垂直推线线垂直、平行 l⊥l⊥aa AB AB l线面垂直推线线垂直  a线面垂直推面面垂直 CDABCDAB AB 面面垂直推线面垂直 

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其他定理

文字语言 等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等 最小角定理 斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线 所成的一切角中最小的角，且有符号语言 图像语言 作用 AB∥A'B'AC∥A'C'BACB'A'C' C''B'A'C判定两个角相等（或互补）的依据 BA coscos1cos2 （其中,1,2如图中所示）

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