湖北省襄阳市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)

湖北省襄阳市2018-2019学年高一上学期期末考试

数学试题

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知集合𝑃={𝑥∈𝑁|1≤𝑥≤10}，集合𝑄={𝑥∈𝑅|𝑥2+𝑥−6=0}，则𝑃∩𝑄=( )

A. {1,2，3}

【答案】D

B. {2,3} C. {1,2} D. {2}

3，4，5，6，7，8，9，∵𝑃={𝑥∈𝑁|1≤𝑥≤10}={1,2，10}，【解析】解：集合𝑄={𝑥∈𝑅|𝑥2+𝑥−6=0}={2,−3}， ∴𝑃∩𝑄={2}， 故选：D．

求出集合PQ的等价条件，结合集合交集的定义进行求解即可．

本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．

2. 若扇形的面积为8、半径为1，则扇形的圆心角为( )

3𝜋

A. 2 【答案】B

3𝜋

B. 4 3𝜋

C. 8

3𝜋

D. 16 3𝜋

【解析】解：设扇形的圆心角为𝛼，则 ∵扇形的面积为8、半径为1， ∴

3𝜋8

3𝜋

=2𝛼⋅12，

3𝜋4

1

∴𝛼=

，

故选：B．

利用扇形的面积公式，即可求得结论．

本题考查扇形的面积公式，考查学生的计算能力，属于基础题．

3. 为了求函数𝑓(𝑥)=2𝑥+3𝑥−7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数𝑓(𝑥)的部分对应值，如表所

示： x 𝑓(𝑥) 1.25 −0.8716 1.3125 −0.5788 1.375 −0.2813 1.4375 0.2101 1.5 0.32843 1.5625 0.64115

则方程2𝑥+3𝑥=7的近似解(精确到0.1)可取为( )

A. 1.32

【答案】C

B. 1.39 C. 1.4 D. 1.3

【解析】解：由图表可知，函数𝑓(𝑥)=2𝑥+3𝑥−7的零点介于1.375到1.4375之间， 故方程2𝑥+3𝑥=7的近似解也介于1.375到1.4375之间， 由于精确到0.1，结合选项可知1.4符合题意， 故选：C．

由图表可知，函数𝑓(𝑥)=2𝑥+3𝑥−7的零点介于1.375到1.4375之间，方程2𝑥+3𝑥=7的近似解也介于1.375到1.4375之间，结合精确度和选项可得答案．

本题考查二分法求方程的近似解，涉及精确度，属基础题．

4. 下列说法中正确的是( )

A. 第一象限角一定不是负角 C. 钝角一定是第二象限角

【答案】C

B. −831∘是第四象限角

D. 终边与始边均相同的角一定相等

【解析】解：例如−390∘是第一象限的角，它是负角，所以A不正确； −831∘=−3×360∘+249∘所以−831∘是第三象限角，所以B不正确； 钝角一定是第二象限角，正确；

终边与始边均相同的角一定相等，不正确，因为终边相同，角的差值是360∘的整数倍． 故选：C．

通过特例判断A的正误，角所在象限判断B的正误；钝角的范围判断C的正误；角的终边判断D的正误； 本题考查命题的真假的判断，角的坐标与象限以及范围的判断，基本知识的考查．

5. 如图，设𝛼是一个任意角，它的终边与单位圆交于点𝑃(𝑥,𝑦)，我们把𝑥叫做𝛼的正割，记作sec𝛼；把𝑦叫做𝛼的余

割，记作csc𝛼.则

sec

2𝜋32𝜋csc

3

11

=( )

A. √3

【答案】B

B. −√3

3 C. √33 D. −√3

【解析】解：由题意可得sec𝛼=11

cos𝛼，csc𝛼=sin𝛼， 1∴

sec

2𝜋3𝜋

csc

2𝜋=

cos2𝜋13=tan

2𝜋=−√3，

3

sin2𝜋3

=−tan33

故选：B．

由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值． 本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题．

6. 若𝑎sin𝜃+cos𝜃=1，𝑏sin𝜃−cos𝜃=1，则ab的值是( )

A. 0

B. 1 C. −1 D. √2

【答案】B

【解析】解：∵𝑎sin𝜃+cos𝜃=1，𝑏sin𝜃−cos𝜃=1， ∴𝑎=

1−cos𝜃sin𝜃

，𝑏=1+cos𝜃sin𝜃

，

∴𝑎𝑏=

1−cos𝜃⋅

1+cos𝜃1−cos2𝜃

sin𝜃

sin𝜃

=sin𝜃⋅sin𝜃=1，

故选：B． 依题意，可求得𝑎=

1−cos𝜃1+cos𝜃sin𝜃

，𝑏=

sin𝜃

，利用同角三角函数基本关系可得答案．

本题考查同角三角函数基本关系的运用，求得𝑎=1−cos𝜃sin𝜃

，𝑏=

1+cos𝜃sin𝜃

是关键，属于基础题．

7. 如图，在圆C中，C是圆心，点A，B在圆上，⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵⋅⃗⃗𝐴𝐶

⃗⃗⃗ 的值( ) A. 只与圆C的半径有关

B. 只与弦AB的长度有关

C. 既与圆C的半径有关，又与弦AB的长度有关 D. 是与圆C的半径和弦AB的长度均无关的定值

【答案】B

【解析】解：设⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵与⃗⃗𝐴𝐶⃗⃗⃗ 的夹角为A， 1

∴⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵⋅⃗⃗𝐴𝐶⃗⃗⃗ =|⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵||⃗⃗𝐴𝐶⃗⃗⃗ |cos𝐴═|⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵||⃗⃗𝐴𝐶⃗⃗⃗ |⋅2

|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |1

|𝐴𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗ |=2

|⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵|2，

∴⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵⋅⃗⃗𝐴𝐶⃗⃗⃗ 的值只与弦AB的长度有关， 故选：B．

由题意设⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵与⃗⃗𝐴𝐶⃗⃗⃗ 的夹角为A，表示出⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ═1

2

|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |2，得到结论． 本题主要考查了向量的运算，以及三角函数中，角与边的关系，属于基础题．

8. 设1

1

1

2<(2)𝑏<(𝑎2)<1，那么( )

A. 𝑎𝑎<𝑎𝑏<𝑏𝑎 B. 𝑎𝑎<𝑏𝑎<𝑎𝑏 C. 𝑎𝑏<𝑎𝑎<𝑏𝑎

D. 𝑎𝑏<𝑏𝑎<𝑎𝑎

【答案】C

【解析】解：∵2<(2)𝑏<(2)𝑎<1且𝑦=(2)𝑥在R上是减函数．

∴0<𝑎<𝑏<1

∴指数函数𝑦=𝑎𝑥在R上是减函数

∴𝑎𝑏<𝑎𝑎

∴幂函数𝑦=𝑥𝑎在R上是增函数

∴𝑎𝑎<𝑏𝑎 ∴𝑎𝑏<𝑎𝑎<𝑏𝑎

故选：C．

先由条件结合指数函数的单调性，得到0<𝑎<𝑏<1，再由问题抽象出指数函数和幂函数利用其单调性求解． 本题主要考查指数函数、幂函数的图象及其单调性．

9. 已知函数𝑓(𝑥)=2sin(2𝑥+𝜑)(0<𝜑<𝜋)，若将函数𝑓(𝑥)的图象向右平移6个单位后关于y轴对称，则下列结

论中不正确的是( )

𝜋

1

1

1

1

A. 𝜑=

𝜋

5𝜋6

B. (12,0)是𝑓(𝑥)图象的一个对称中心 C. 𝑓(𝜑)=−2

D. 𝑥=−6是𝑓(𝑥)图象的一条对称轴

【答案】C

【解析】解：由题意可知𝜑=故𝑓(𝑥)=2sin(2𝑥+𝑓(𝜑)=2sin(故选：C．

直接利用正弦型函数的解析式求出结果． 本题考查三角函数的图象及性质．

10. 已知定义在R上的函数𝑦=𝑓(𝑥)满足以下三个条件：

①对于任意的𝑥∈𝑅，都有𝑓(𝑥+4)=𝑓(𝑥)；

②对于任意的𝑥1，𝑥2∈𝑅，且0≤𝑥1<𝑥2≤2，都有𝑓(𝑥1)<𝑓(𝑥2)； ③函数𝑦=𝑓(𝑥+2)的图象关于y轴对称 则下列结论中正确的是( )

5𝜋3

5𝜋6

5𝜋6

𝜋

，

)，

5𝜋2

+

5𝜋6

)=2sin=2．

A. f (4.5)<𝑓 (7)<𝑓 (6.5) C. f (7)<𝑓 (6.5)<𝑓 (4.5)

【答案】A

B. f (7)<𝑓 (4.5)<𝑓 (6.5) D. f (4.5)<𝑓 (6.5)<𝑓 (7)

【解析】解：定义在R上的函数𝑦=𝑓(𝑥)满足以下三个条件：

由①对于任意的𝑥∈𝑅，都有𝑓(𝑥+4)=𝑓(𝑥)，可知函数𝑓(𝑥)是周期𝑇=4的周期函数；

②对于任意的𝑥1，𝑥2∈𝑅，且0≤𝑥1<𝑥2≤2，都有𝑓(𝑥1)<𝑓(𝑥2)，可得函数𝑓(𝑥)在[0,2]上单调递增； ③函数𝑦=𝑓(𝑥+2)的图象关于y轴对称，可得函数𝑓(𝑥)的图象关于直线𝑥=2对称． ∴𝑓(4.5)=𝑓(0.5)，𝑓(7)=𝑓(3)=𝑓(1)，𝑓(6.5)=𝑓(2.5)=𝑓(1.5)． ∵𝑓(0.5)<𝑓(1)<𝑓(1.5)， ∴𝑓(4.5)<𝑓(7)<𝑓(6.5)． 故选：A．

由①可知函数𝑓(𝑥)是周期𝑇=4的周期函数；由②可得函数𝑓(𝑥)在[0,2]上单调递增；由③可得函数𝑓(𝑥)的图象关于直线𝑥=2对称.于是𝑓(4.5)=𝑓(0.5)，𝑓(7)=𝑓(3)=𝑓(1)，𝑓(6.5)=𝑓(2.5)=𝑓(1.5).即可得出． 本题考查了函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

11. 已知函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象与函数𝑦=𝑎𝑥(𝑎>0且𝑎≠1)的图象关于直线𝑦=𝑥对称，记𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)[𝑓(𝑥)+

𝑓(2)−1].若𝑦=𝑔(𝑥)在区间[2,2]上是增函数，则实数a的取值范围是( )

1

A. [2,+∞)

【答案】D

B. (0,1)∪(1,2)

C. [2,1)

1

D. (0,2]

1

【解析】解：已知函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象与函数𝑦=𝑎𝑥(𝑎>0且𝑎≠1)的图象关于直线𝑦=𝑥对称， 则𝑓(𝑥)=log𝑎𝑥，记𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)[𝑓(𝑥)+𝑓(2)−1]=(log𝑎𝑥)2+(log𝑎2−1)log𝑎𝑥. 当𝑎>1时，

若𝑦=𝑔(𝑥)在区间[2,2]上是增函数，𝑦=log𝑎𝑥为增函数， 令𝑡=log𝑎𝑥，𝑡∈[log𝑎2,log𝑎2]，要求对称轴−

1

1

log𝑎2−1

2

1

≤log𝑎2，矛盾；

1

当0<𝑎<1时，若𝑦=𝑔(𝑥)在区间[2,2]上是增函数，𝑦=log𝑎𝑥为减函数， 令𝑡=log𝑎𝑥，𝑡∈[log𝑎2,log𝑎2]，要求对称轴−解得𝑎≤2，

所以实数a的取值范围是(0,2], 故选：D．

先表述出函数𝑓(𝑥)的解析式然后代入将函数𝑔(𝑥)表述出来，然后对底数a进行讨论即可得到答案．

本题主要考查指数函数与对数函数互为反函数.这里注意指数函数和对数函数的增减性与底数的大小有关，即当底数大于1时单调递增，当底数大于0小于1时单调递减．

𝑓(𝑥)=2(|𝑥−𝑎2|+|𝑥−3𝑎2|−4𝑎2)，𝑓(𝑥−12. 已知函数𝑓(𝑥)是定义在R上的奇函数，当𝑥≥0时，若对任意𝑥∈𝑅，

1)≤𝑓(𝑥+1)，则实数a的取值范围为( )

1

1

1

1

log𝑎2−1

2

≥log𝑎2，

1

A. [−2,6]

11

6√6B. [−√,] 66

C. [−2,2]

11

2√2D. [−√,] 22

【答案】C

【解析】解：∵当𝑥>0时，𝑓(𝑥)=2(|𝑥−𝑎2|+|𝑥−3𝑎2|−4𝑎2)

∴当0<𝑥≤𝑎2时，𝑓(𝑥)=2(𝑎2−𝑥+3𝑎2−𝑥−4𝑎2)=

12

1

1

(−2𝑥)=−𝑥；

1

当𝑎2<𝑥≤3𝑎2时，𝑓(𝑥)=2(𝑥−𝑎2+3𝑎2−𝑥−4𝑎2)=

12

(−2𝑎2)=−𝑎2．

1

1

当𝑥>3𝑎2时，𝑓(𝑥)=2(𝑥−𝑎2+𝑥−3𝑎2−4𝑎2)=2(2𝑥−8𝑎2)=𝑥−4𝑎2， 𝑥+4𝑎2, 2 𝑎,

即𝑓(𝑥)=−𝑥,

−𝑎2,

{𝑥−4𝑎2,画出其图象如下，

要使对任意𝑥∈𝑅，𝑓(𝑥−1)≤𝑓(𝑥+1)，

则将𝑓(𝑥)向右平移一个单位得到的𝑓(𝑥−1)的图象， 将𝑓(𝑥)向左平移一个单位得到的𝑓(𝑥+1)的图象， 此时𝑓(𝑥−1)的图象都在𝑓(𝑥+1)的图象的下方，

𝑥<−3𝑎2

−3𝑎2≤𝑥≤−𝑎2

−𝑎2<𝑥<𝑎2， 𝑎2≤𝑥≤3𝑎2𝑥>3𝑎2

此时只需要A点在B点的左侧即可，

A点的横坐标为4𝑎2−1，B点的横坐标为−4𝑎2+1， 即4𝑎2−1≤−4𝑎2+1， 即8𝑎2≤2，即𝑎2≤4， 得−2≤𝑎≤2，

即实数a的取值范围是[−2,2]， 故选：C．

根据绝对值的意义将函数转化为分段函数，作出函数的图象，利用函数平移关系，寻找对应的条件进行求解即可． 本题主要考查不等式恒成立问题，根据绝对值的意义转化为分段函数，作出图象，利用恒成立转化为图象位置关系

11

1

1

1

是解决本题的关键．

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 设𝑔(𝑥)={ln𝑥,𝑥>0，则𝑔(𝑔(2))=______． 【答案】2 【解析】解：∵𝑔(𝑥)={ln𝑥,𝑥>0， ∴𝑔()=ln=−ln2<0，

2

2

1

1

𝑒𝑥,𝑥≤0

1

𝑒𝑥,𝑥≤0

1

1

∴𝑔(𝑔())=𝑔(−ln2)

2=𝑒−ln2 =𝑒ln2 =2−1

=2． 故答案为：2．

根据分段函数的解析式，先求出𝑔(2)的值，再求𝑔(𝑔(2))的值．

本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．

5⃗ −⃗ 𝑏)⊥(𝑎⃗ +⃗ 𝑏)，则𝑎⃗ |=2，|⃗ ⃗ 与⃗ 14. 已知向量𝑎⃗ ,⃗ 𝑏，满足|𝑎𝑏|=1，且(𝑎𝑏的夹角𝜃为______． 2

1

1

1

1

−1

【答案】3 535352

【解析】解：由题意可得(𝑎⃗ −⃗ 𝑏)⋅(𝑎⃗ +⃗ 𝑏)=𝑎⃗ −𝑎⃗ ⋅⃗ 𝑏−⃗ 𝑏=4−𝑎⃗ ⋅⃗ 𝑏−=0，

2

2

2

2

2

1解得𝑎⃗ ⋅⃗ 𝑏=1，∴2×1×cos𝜃=1，∴cos𝜃=2，求得𝜃=3，

𝜋

2

𝜋

故答案为：3．

⃗ 与⃗ 由条件利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义求得cos𝜃的值，可得𝑎𝑏的夹角𝜃的值． 本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于基础题．

𝑓(𝑥)在区间[0,2]上单调递减，15. 设定义在[−2,2]上的偶函数，若𝑓(1−𝑚)<(𝑚)，则实数m的取值范围是______． 【答案】−1≤𝑚<2 【解析】解：∵函数是偶函数， ∴𝑓(1−𝑚)=𝑓(|1−𝑚|)， 𝑓(𝑚)=𝑓(|𝑚|)， ∵定义在[−2,2]上的偶函数 𝑓(𝑥)在区间[0,2]上单调递减，

1

𝜋

𝑓(1−𝑚)<𝑓(𝑚)， ∴0≤|𝑚|<|1−𝑚|≤2， 得−1≤𝑚<2． 故答案为：−1≤𝑚<2．

由题条件知函数在[0,2]上是减函数，在[−2,0]上是增函数，其规律是自变量的绝对值越小，其函数值越大，由此可直接将𝑓(1−𝑚)<𝑓(𝑚)转化成一般不等式，再结合其定义域可以解出m的取值范围

本题考点是奇偶性与单调性的综合，考查利用抽象函数的单调性解抽象不等式，解决此类题的关键是将函数的性质进行正确的转化，将抽象不等式转化为一般不等式求解.本题在求解中有一点易疏漏，即忘记根据定义域为[−2,2]来限制参数的范围.做题一定要严谨，转化要注意验证是否等价．

⃗⃗⃗ =𝜆⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ (𝜆,𝜇∈𝑅)，16. 已知点G是△𝐴𝐵𝐶的重心，点P是△𝐺𝐵𝐶内一点，若⃗⃗则𝜆+𝜇的取值范围是______． 𝐴𝑃𝐴𝐵+𝜇⃗⃗𝐴𝐶【答案】

1

1

【解析】解：因为点P是△𝐺𝐵𝐶内一点，则𝜆+𝜇<1，当且仅当点P在线段BC上时，𝜆+𝜇取最大值1，

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗ =𝜆⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ =𝐴𝐵当P与G重合时，𝜆+𝜇最小，此时，⃗⃗， 𝐴𝑃𝐴𝐵+𝜇⃗⃗𝐴𝐶

3

所以𝜆=𝜇=3，所以𝜆+𝜇=3， 故3<𝜆+𝜇<1， 故答案为：(3,1)

由平面向量基本定理及三点共线的充要条件可得：点P是△𝐺𝐵𝐶内一点，则𝜆+𝜇<1，当且仅当点P在线段BC上

⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵

⃗⃗⃗ =𝜆⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ =⃗时，𝜆+𝜇取最大值1，当P与G重合时，𝜆+𝜇最小，此时，⃗⃗，计算可得解． 𝐴𝑃𝐴𝐵+𝜇⃗⃗𝐴𝐶

3

2

2

12

本题考查了平面向量基本定理及三点共线的充要条件，属中档题．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 计算与化简：

4

(Ⅰ)2×(3√2×√3)6+(√2√2)3−4×(49)−2−√2×80.25+(−1024)0；

4

16

1

(Ⅱ)log2.56.25+1𝑔100+ln(𝑒√𝑒)+log2(log216)； (Ⅲ)sin(−𝛼−180∘)cos(−180∘−𝛼)cos(270∘−𝛼)．

4

【答案】解：(Ⅰ)2×(3√2×√3)6+(√2√2)3−4×(49)−2−√2×80.25+(−1024)0

4

1

cos(180∘+𝛼)sin(90∘+𝛼)tan(𝛼+360∘)

16

1

=

1

2(231×32)6

+

34(24)3137

4−4×−2×24+1 4=2×22×33+2−7−2+1

=210；

(Ⅱ)log2.56.25+1𝑔100+ln(𝑒√𝑒)+log2(log216)

1

3

=2−2++log24

2=

=2；

(Ⅲ)sin(−𝛼−180∘)cos(−180∘−𝛼)cos(270∘−𝛼) =sin𝛼⋅(−cos𝛼)⋅(−sin𝛼)=−sin𝛼．

【解析】(Ⅰ)直接利用有理指数幂的运算性质化简求值； (Ⅱ)直接利用对数的运算性质化简求值；

(Ⅲ)利用三角函数的诱导公式及同角三角函数的基本关系式化简求值．

本题考查有理指数幂及对数的运算性质，考查三角函数的化简求值，是基础题．

18. 已知函数𝑓(𝑥)=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝐴>0,𝜔>0,0<𝜑<2)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2，

且图象上一个最低点为𝑀(3,−2)． (1)求𝑓(𝑥)的解析式和周期． (2)当𝑥∈[12,2]时，求𝑓(𝑥)的值域． 【答案】解：(1)由题意可得𝑇=

2𝜋

2𝜋𝜔

𝜋

𝜋

2𝜋

𝜋

𝜋

−cos𝛼⋅cos𝛼⋅

sin𝛼cos𝛼

3

+2 2

7

cos(180∘+𝛼)sin(90∘+𝛼)tan(𝛼+360∘)

1

=2×2，∴𝜔=2．

2𝜋3

𝜋

根据图象上一个最低点为𝑀(3,−2)，可得𝐴=2，2sin(2⋅

𝜋

𝜋

2𝜋

+𝜑)=−2，0<𝜑<2，

𝜋

可得𝜑=6，∴𝑓(𝑥)=2sin(2𝑥+6)，故它的周期为2=𝜋． (2)当𝑥∈[12,2]时，2𝑥+6∈[3,

𝜋

𝜋𝜋

𝜋

𝜋

𝜋7𝜋

]，故当2𝑥+=66

𝜋7𝜋6

时，函数取得最小值为−1；

当2𝑥+6=2时，函数取得最大值为2，故函数的值域为[−1,2]．

【解析】(1)由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出𝜔，由特殊点的坐标求出𝜑的值，可得函数的解析式，从而求得它的周期

(2)当𝑥∈[12,2]时，利用正弦函数的定义域和值域，求得当𝑥∈[12,2]时，𝑓(𝑥)的值域．

本题主要考查由函数𝑦=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出𝜔，由特殊点的坐标求出𝜑的值，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．

19. 国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国

家标准，新标准规定，车辆驾驶人血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升、小于80毫克/百毫升的行为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车.，经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液内的变化规律“散点图”如下：

该函数模型如下，

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

44.21sin(3𝑥)+0.21,0≤𝑥<2

𝑓(𝑥)={．

54.27𝑒−0.3𝑥+10.18,𝑥≥2

根据上述条件，回答以下问题：

(1)试计算喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？

(2)试计算喝1瓶啤酒后多少小时才可以驾车？(时间以整小时计算)(参考数据：ln9.82≈2.28，ln10.18≈2.32，ln54.27≈3.99)

𝜋

【答案】解：(1)由图可知，当函数𝑓(𝑥)取得最大值时，0<𝑥<2． 此时𝑓(𝑥)=44.21sin(3𝑥)+0.21．

当3𝑥=2时，即𝑥=2时，函数𝑓(𝑥)取得最大值为𝑦𝑚𝑎𝑥=44.21+0.21=44.42， 故喝一瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精达到最大值，最大值是44.42毫克/百毫升， (2)由题意知当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/100毫升可以驾车，此时𝑥>2， 由54.27𝑒−0.3𝑥+10.18<20，得𝑒−0.3𝑥<54.27， 两边取自然对数得ln𝑒−0.3𝑥

2.28−3.99−0.3

9.82

9.82

𝜋

𝜋

3𝜋

=5.7，

故喝一瓶啤酒后6小时才可以驾车．

【解析】(1)由图可知，当函数𝑓(𝑥)取得最大值时，0<𝑥<2，此时𝑓(𝑥)=44.21sin(3𝑥)+0.21，根据正弦函数的性质即可求出，

(2)由题意可得54.27𝑒−0.3𝑥+10.18<20，两边取对数，解得即可求出．

本题主要考查了分段函数求解析式，以及求函数的最值，同时考查了分析问题的能力和运算求解的能力，属于中档题．

⃗⃗⃗⃗⃗ 与𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角20. 如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，已知𝐵𝐶=𝑎，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问𝑃𝑄

⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅⃗⃗⃗⃗⃗ 𝜃取何值时𝐵𝑃𝐶𝑄的值最大？并求出这个最大值．

𝜋

【答案】解：如下图所示：

⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =0． 解法一：∵𝐴𝐵

⃗⃗⃗ =−⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ −⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ， ∵⃗⃗𝐴𝑃𝐴𝑄,⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝑃=⃗⃗𝐴𝑃𝐴𝐵,⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝑄=⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑄−⃗⃗𝐴𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗ −⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ −⃗⃗⃗⃗⃗ ) ∴⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝑃⋅⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝑄=(𝐴𝑃𝐴𝐵)⋅(𝐴𝑄𝐴𝐶

⃗⃗⃗ ⋅⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⋅⃗⃗⃗⃗⃗ −⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ =⃗⃗𝐴𝑃𝐴𝑄−⃗⃗𝐴𝑃𝐴𝐶𝐴𝐵⋅⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑄+⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵⋅⃗⃗𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ =−𝑎2−𝐴𝑃1=−𝑎2+⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄⋅⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐶

2

=−𝑎2+𝑎2cos𝜃．

⃗⃗⃗⃗⃗ 与𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同)时，𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ 最大.其最大值为0． ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐶𝑄故当cos𝜃=1，即𝜃=0(𝑃𝑄

解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系． 设|𝐴𝐵|=𝑐|𝐴𝐶|=𝑏，则𝐴(0,0)，𝐵(𝑐,0)，𝐶(0,𝑏)， 且|𝑃𝑄|=2𝑎，|𝐵𝐶|=𝑎．

设点P的坐标为(𝑥,𝑦)，则𝑄(−𝑥,−𝑦)． ∴⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝑃=(𝑥−𝑐,𝑦),⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝑄=(−𝑥,−𝑦−𝑏)，

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐶=(−𝑐,𝑏),⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄=(−2𝑥,−2𝑦)． ∴⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝑃⋅⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝑄=(𝑥−𝑐)(−𝑥)+𝑦(−𝑦−𝑏) =−(𝑥2+𝑦2)+𝑐𝑥−𝑏𝑦． ∵cos𝜃=|𝑃𝑄=⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ |

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄

𝑐𝑥−𝑏𝑦𝑎2

．

∴𝑐𝑥−𝑏𝑦=𝑎2cos𝜃． ⃗⃗⃗⃗⃗ =−𝑎2+𝑎2cos𝜃． ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐶𝑄∴𝐵𝑃

故当cos𝜃=1，

⃗⃗⃗⃗⃗ 与⃗⃗⃗⃗⃗ 即𝜃=0(𝑃𝑄𝐵𝐶方向相同)时，

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐶⋅⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝑄最大，其最大值为0．

⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角𝜃取何值时𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ 的值最大，我们有两种思路： ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐶𝑄【解析】要求⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄与𝐵𝐶

⃗⃗⃗ 、⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ 、⃗⃗⃗⃗⃗ 法一：是将向量⃗⃗⃗⃗⃗ 进行分析，分解成用向量⃗⃗𝑃𝑄与⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐶根据向量加减法的三角形法则，𝐴𝑃𝐴𝑄、⃗⃗𝐴𝐶𝐴𝐵表示的形式，⃗⃗⃗ |=|⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⊥⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⋅⃗⃗⃗⃗⃗ 然后根据|⃗⃗𝐴𝑃𝐴𝑄|=𝑎，⃗⃗𝐴𝐶𝐴𝐵即⃗⃗𝐴𝐶𝐴𝐵=0，构造一个关于cos𝜃的式子，然后根据cos𝜃的取值范围，分析

出⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝑃⋅⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝑄的最大值； 法二：是以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系.求出各顶点的坐标后，进而给出向量⃗⃗⃗⃗⃗ 然后利用平面向量的数量值运算公式，构造一个关于cos𝜃的式子，然后根据cos𝜃𝐵𝑃与⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝑄的坐标，的取值范围，分析出⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝑃⋅⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝑄的最大值．

本小题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力．

21. 若函数𝑓(𝑥)在𝑥∈[𝑎,𝑏]时，函数值y的取值区间恰为[𝑏,𝑎]，就称区间[𝑎,𝑏]为𝑓(𝑥)的一个“倒域区间”.定义在

[−2,2]上的奇函数𝑔(𝑥)，当𝑥∈[0,2]时，𝑔(𝑥)=−𝑥2+2𝑥． (1)求𝑔(𝑥)的解析式；

(2)求函数𝑔(𝑥)在[1,2]内的“倒域区间”；

(3)若函数𝑔(𝑥)在定义域内所有“倒域区间”上的图象作为函数𝑦=ℎ(𝑥)的图象，是否存在实数m，使集合{(𝑥,𝑦)|𝑦=ℎ(𝑥)}∩{(𝑥,𝑦)|𝑦=𝑥2+𝑚}恰含有2个元素．

11

【答案】解：(1)当𝑥∈[−2,0)时，

𝑔(𝑥)=−𝑔(−𝑥)=−[−(−𝑥)2+2(−𝑥)]=𝑥2+2𝑥 𝑔(𝑥)={𝑥2+2𝑥,𝑥∈[−2,0)

(2)设1≤𝑎<𝑏≤2， ∵𝑔(𝑥)在𝑥∈[1,2]上递减，

1

=𝑔(𝑏)=−𝑏2+2𝑏∴{𝑏 1

=𝑔(𝑎)=−𝑎2+2𝑎𝑎整理得{(𝑏

𝑎=1

1+√5． 解得{𝑏=

2

(𝑎−1)(𝑎2−𝑎−1)=0−1)(𝑏2−𝑏−1)

−𝑥2+2𝑥,𝑥∈[0,2]

=0，

∴𝑔(𝑥)在[1,2]内的“倒域区间”为[1,1+√5].

2

(3)∵𝑔(𝑥)在𝑥∈[𝑎,𝑏]时，函数值y的取值区间恰为[𝑏,𝑎]，其中𝑎≠𝑏，a、𝑏≠0， 𝑎<𝑏∴{1<1， 𝑏𝑎

∴𝑎、b同号.只考虑0<𝑎<𝑏≤2或−2≤𝑎<𝑏<0

当0<𝑎<𝑏≤2时，根据𝑔(𝑥)的图象知，𝑔(𝑥)最大值为1，𝑎≤1，𝑎∈[1,2)， ∴1≤𝑎<𝑏≤2，

由(Ⅱ)知𝑔(𝑥)在[1,2]内的“倒域区间”为[1,

1+√521

1

11

]；

当−2≤𝑎<𝑏<0时间，𝑔(𝑥)最小值为−1，𝑏≥−1，𝑏∈(−2,−1]， ∴−2≤𝑎<𝑏≤−1，

同理知𝑔(𝑥)在[−2,−1]内的“倒域区间”为[−𝑥2+2𝑥,𝑥∈[1,2]ℎ(𝑥)={ 1+√52

𝑥+2𝑥,𝑥∈[−2,−1]

依题意：抛物线与函数ℎ(𝑥)的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限． 因此，m应当使方程𝑥2+𝑚=−𝑥2+2𝑥， 在[1,

1+√52

1+√5−1−√52

,−1]．

]内恰有一个实数根，并且使方程𝑥2+𝑚=𝑥2+2𝑥，在[

1+√52

−1−√52

,−1]内恰有一个实数

由方程2𝑥−2𝑥2=𝑚在[1,]内恰有一根知−2≤𝑚≤0；

,−1]内恰有一根知−1−√5≤𝑚≤−2，

由方程𝑥2+𝑚=𝑥2+2𝑥在[综上：𝑚=−2．

−1−√52

−𝑥2+2𝑥,𝑥∈[0,2]

1

【解析】(1)运用奇偶性得出𝑔(𝑥)={𝑥2+2𝑥,𝑥∈

𝑏

(2){；得出方程组问题1[−2,0)

𝑎

1+√5

=𝑔(𝑏)=−𝑏2+2𝑏=𝑔(𝑎)=−𝑎2+2𝑎

；

−𝑥2+2𝑥,𝑥∈[1,]𝑎<𝑏1+52

(3){1<1，利用方程思想求解ℎ(𝑥)={𝑚应当使方程𝑥2+𝑚=−𝑥2+2𝑥，在[1,√]内恰

1+√52

𝑏𝑎𝑥2+2𝑥,𝑥∈[−2,−1]有一个实数根，并且使方程𝑥2+𝑚=𝑥2+2𝑥，在[

−1−√52

,−1]内恰有一个实数．

本题考查了函数的性质，运用求解数学问题，考查了分类思想，方程的运用，难度大，属于难题．

22. 已知函数ℎ(𝑥)=(𝑚2−5𝑚+1)𝑥𝑚+1为幂函数，且为奇函数．

(1)求m的值；

(2)求函数𝑔(𝑥)=ℎ(𝑥)+√1−2ℎ(𝑥)在𝑥∈[0,2]的值域． 【答案】解：(1)∵函数ℎ(𝑥)=(𝑚2−5𝑚+1)𝑥𝑚+1为幂函数， ∴𝑚2−5𝑚+1=1， ∴𝑚=5或𝑚=0，

当𝑚=5时，ℎ(𝑥)=𝑥6是偶函数，不满足题意， 当𝑚=0时，ℎ(𝑥)=𝑥是奇函数，满足题意； ∴𝑚=0，

(2)∵𝑔(𝑥)=𝑥+√1−2𝑥， ∴𝑔′(𝑥)=1−

1√1−2𝑥1

，

令𝑔′(𝑥)=0，解得𝑥=0，

当𝑔′(𝑥)<0时，即𝑥>0时，函数为减函数， ∴函数𝑔(𝑥)在[0,2]为减函数，

1

∴𝑔()≤𝑔(𝑥)≤𝑔(0)

2

即2≤𝑔(𝑥)≤1

故函数𝑔(𝑥)的值域为[2,1]

【解析】(1)首先根据函数是幂函数，可知𝑚2−5𝑚+1=1，再验证相应函数的奇偶性，即可求得实数m的值， (2)化简𝑔(𝑥)，再求导，根据导数判断𝑔(𝑥)在∈[0,2]的为减函数，故求出值域

本题考查的重点是幂函数的定义，函数奇偶性，以及利用导数判断函数的单调性，属于中档题．

1

1

1

1