数的运算

　　指对数的运算

　　一、反思数学符号：   “ ”“ ”出现的背景

　　1.数学总是在不断的发明创造中去解决所遇到的问题。

　　2.方程 的根是多少？;

　　①.这样的数 存在却无法写出来？怎么办呢？你怎样向别人介绍一个人？     描述出来。

　　②..那么这个写不出来的数是一个什么样的数呢？ 怎样描述呢？

　　①我们发明了新的公认符号 “ ”作为这样数的“标志”  的形式.即 是一个平方等于三的数.

　　②推广: 则 .

　　③后又常用另一种形式分数指数幂形式

　　3.方程　 的根又是多少？① 也存在却无法写出来？？同样也发明了新的公认符号 “ ”专门作为这样数的标志，  的形式.　

　　即 是一个2为底结果等于3的数.        

　　② 推广: 则 .

　　二、指对数运算法则及性质：

　　1.幂的有关概念:

　　(1)正整数指数幂: =       ( ).                       (2)零指数幂:          ).

　　(3)负整数指数幂:       (4)正分数指数幂:         

　　(5)负分数指数幂:         ( 6 )0的正分数指数幂等于0,负分指数幂没意义.

　　2.根式:

　　(1)如果一个数的n次方等于a, 那么这个数叫做a的n次方根.如果 ,那么x叫做a的次方根,则x=   (2)0的任何次方根都是0,记作 .  (3) 式子 叫做根式,n叫做根指数,a叫做被开方数.

　　(4)                . (5)当n为奇数时, =         .   (6)当n为偶数时,  =         =          .

　　3.指数幂的运算法则:

　　(1) =    . (2) =    . 3) =     .4) =      .

　　二.对数

　　1.对数的定义:如果 ,那么数b叫做以a为底n的对数,记作        ,其中a叫做      ,      叫做真数.

　　2.特殊对数:

　　(1) =         ;        (2) =          .   (其中

　　3.对数的换底公式及对数恒等式

　　(1) =       (对数恒等式). (2) ;  (3) ;  (4)            .

　　(5) =     (6) =       .(7) =      .(8) =       ; (9)  =       

　　(10)  

　　三、经典体验：

　　1.化简根式: ；       ；         ；         

　　2.解方程： ;       ;        ；      ；

　　3.化简求值:                                      

　　；                 

　　4.【徐州六县一区09-10高一期中】16. 求函数 的定义域。

　　四、经典例题

　　例：1画出函数草图: .

　　练习：1. “等式log3x2=2成立”是“等式log3x=1成立”的     ▲      .必要不充分条件

　　例：2. 若 则       ▲      .

　　练习：1. 已知函数 求 的值      ▲      ..

　　例3：函数f(x)=lg( )是         （奇、偶）函数。

　　点拨：

　　为奇函数。

　　练习：已知 则             .

　　练习：已知 则 的值等于　　　　.

　　练习：已知定义域为r的函数 在 是增函数，满足 且 ，求不等式  的解集。

　　例：4解方程 .

　　解：设 ，则 ，代入原方程，解得 ，或 （舍去）.由 ，得 .经检验知， 为原方程的解.

　　练习：解方程 .

　　练习：解方程 .

　　练习：解方程： .

　　练习：设 ，求实数 、 的值。

　　解：原方程等价于 ，显然 ，我们考虑函数 ，显然 ，即 是原方程的根.又 和 都是减函数，故 也是减函数.

　　当 时， ；当 时， ，因此，原方程只有一个解 .分析：注意到 ， ，故倒数换元可求解.

　　解：原方程两边同除以 ，得 .设 ，原方程化为 ，化简整理，得 . ， ，即 . .

　　解析：令 ，则 ，∴原方程变形为 ，解得 ， 。由 得 ，∴ ，

　　即 ，∴ ，∴ 。由 得 ，∴ ，∵ ，∴此方程无实根。故原方程的解为 。评注：将指数方程转化为基本型求解，是解决该类问题的关键。

　　解析：由题意可得， ， ，原方程可化为 ，即 。

　　∴ ，∴ 。

　　∴由非负数的性质得 ，且 ，∴ ， 。

　　评注：通过拆项配方，使问题巧妙获解。

　　例5：已知关于 的方程 有实数解，求 的取值范围。

　　已知关于 的方程 的实数解在区间 ，求 的取值范围。

　　反思提炼：1.常见的四种指数方程的一般解法

　　（1） 方程 的解法：                         

　　（2） 方程 的解法：                         

　　（3） 方程 的解法：                         

　　（4） 方程 的解法：                        

　　2.常见的三种对数方程的一般解法

　　（1）方程 的解法：                         

　　（2）方程 的解法：                         

　　（3）方程 的解法：                        

　　3.方程与函数之间的转化。

　　4.通过数形结合解决方程有无根的问题。

　　课后作业：

　　1.对正整数n，设曲线 在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为 ，则数列 的前n项和的公式是　　

　　[答案]　2n＋1－2

　　[解析]　∵y＝xn(1－x)，∴y′＝(xn)′(1－x)＋(1－x)′•xn＝n•xn－1(1－x)－xn.

　　f ′(2)＝－n•2n－1－2n＝(－n－2)•2n－1.

　　在点x＝2处点的纵坐标为y＝－2n.

　　∴切线方程为y＋2n＝(－n－2)•2n－1(x－2).

　　令x＝0得，y＝(n＋1)•2n，

　　∴an＝(n＋1)•2n，

　　∴数列ann＋1的前n项和为2(2n－1)2－1＝2n＋1－2.

　　2.在平面直角坐标系 中，已知点p是函数 的图象上的动点，该图象在p处的切线 交y轴于点m，过点p作 的垂线交y轴于点n，设线段mn的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_____________

　　解析：设 则 ，过点p作 的垂线

　　，所以，t在 上单调增，在 单调减， 。