指数函数

　　教学目标 

　　1. 理解指数函数的定义,初步掌握指数函数的图象,性质及其简单应用.

　　2. 通过指数函数的图象和性质的学习,培养学生观察,分析,归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法.

　　3. 通过对指数函数的研究,使学生能把握函数研究的基本方法,激发学生的学习兴趣.

　　教学重点和难点

　　重点是理解指数函数的定义,把握图象和性质.

　　难点是认识底数对函数值影响的认识.

　　教学用具

　　投影仪

　　教学方法

　　启发讨论研究式

　　教学过程 

　　一.    引入新课

　　我们前面学习了指数运算,在此基础上,今天我们要来研究一类新的常见函数-------指数函数.

　　1.6.指数函数(板书)

　　这类函数之所以重点介绍的原因就是它是实际生活中的一种需要.比如我们看下面的问题:

　　问题1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂 次后,得到的细胞分裂的个数 与 之间,构成一个函数关系,能写出 与 之间的函数关系式吗?

　　由学生回答: 与 之间的关系式,可以表示为 .

　　问题2:有一根1米长的绳子,第一次剪去绳长一半,第二次再剪去剩余绳子的一半,……剪了 次后绳子剩余的长度为 米,试写出 与 之间的函数关系.

　　由学生回答: .

　　在以上两个实例中我们可以看到这两个函数与我们前面研究的函数有所区别,从形式上幂的形式,且自变量 均在指数的位置上,那么就把形如这样的函数称为指数函数.

　　一.    指数函数的概念(板书)

　　1.定义:形如 的函数称为指数函数.(板书)

　　教师在给出定义之后再对定义作几点说明.

　　2.几点说明 (板书)

　　(1) 关于对 的规定:

　　教师首先提出问题:为什么要规定底数大于0且不等于1呢?(若学生感到有困难,可将问题分解为若 会有什么问题?如 ,此时 , 等在实数范围内相应的函数值不存在.

　　若 对于 都无意义,若 则 无论 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.为了避免上述各种情况的发生,所以规定 且 .

　　(2)关于指数函数的定义域 (板书)

　　教师引导学生回顾指数范围,发现指数可以取有理数.此时教师可指出,其实当指数为无理数时, 也是一个确定的实数,对于无理指数幂,学过的有理指数幂的性质和运算法则它都适用,所以将指数范围扩充为实数范围,所以指数函数的定义域为 .扩充的另一个原因是因为使她它更具代表更有应用价值.

　　(3)关于是否是指数函数的判断(板书)

　　刚才分别认识了指数函数中底数,指数的要求,下面我们从整体的角度来认识一下,根据定义我们知道什么样的函数是指数函数,请看下面函数是否是指数函数.

　　(1) ,  (2) ,   (3)

　　(4) ,   (5) .

　　学生回答并说明理由,教师根据情况作点评,指出只有(1)和(3)是指数函数,其中(3) 可以写成 ,也是指数图象.

　　最后提醒学生指数函数的定义是形式定义,就必须在形式上一摸一样才行,然后把问题引向深入,有了定义域和初步研究的函数的性质,此时研究的关键在于画出它的图象,再细致归纳性质.

　　3.归纳性质

　　作图的用什么方法.用列表描点发现,教师准备明确性质,再由学生回答.

　　函数

　　1.定义域 :

　　2.值域:

　　3.奇偶性 :既不是奇函数也不是偶函数

　　4.截距:在 轴上没有,在 轴上为1.

　　对于性质1和2可以两条合在一起说,并追问起什么作用.(确定图象存在的大致位置)对第3条还应会证明.对于单调性,我建议找一些特殊点.,先看一看,再下定论.对最后一条也是指导函数图象画图的依据.(图象位于 轴上方,且与 轴不相交.)

　　在此基础上,教师可指导学生列表,描点了.取点时还要提醒学生由于不具备对称性,故 的值应有正有负,且由于单调性不清,所取点的个数不能太少.

　　此处教师可利用计算机列表描点,给出十组数据,而学生自己列表描点,至少六组数据.连点成线时,一定提醒学生图象的变化趋势(当 越小,图象越靠近 轴, 越大,图象上升的越快),并连出光滑曲线.

　　二.图象与性质(板书)

　　1.图象的画法:性质指导下的列表描点法.

　　2.草图:

　　当画完第一个图象之后,可问学生是否需要再画第二个?它是否具有代表性?(教师可提示底数的条件是 且 ,取值可分为两段)让学生明白需再画第二个,不妨取 为例.

　　此时画它的图象的方法应让学生来选择,应让学生意识到列表描点不是唯一的方法,而图象变换的方法更为简单.即 = 与 图象之间关于 轴对称,而此时 的图象已经有了,具备了变换的条件.让学生自己做对称,教师借助计算机画图,在同一坐标系下得到 的图象.

　　最后问学生是否需要再画.(可能有两种可能性,若学生认为无需再画,则追问其原因并要求其说出性质,若认为还需画,则教师可利用计算机再画出如 的图象一起比较,再找共性)

　　由于图象是形的特征,所以先从几何角度看它们有什么特征.教师可列一个表,如下:

　　以上内容学生说不齐的,教师可适当提出观察角度让学生去描述,然后再让学生将几何的特征,翻译为函数的性质,即从代数角度的描述,将表中另一部分填满.

　　填好后,让学生仿照此例再列一个 的表,将相应的内容填好.为进一步整理性质,教师可提出从另一个角度来分类,整理函数的性质.

　　3.性质.

　　(1)无论 为何值,指数函数 都有定义域为 ,值域为 ,都过点 .

　　(2) 时, 在定义域内为增函数, 时, 为减函数.

　　(3) 时, ,      时, .

　　总结之后,特别提醒学生记住函数的图象,有了图,从图中就可以能读出性质.

　　三.简单应用    (板书)

　　1.利用指数函数单调性比大小.  (板书)

　　一类函数研究完它的概念,图象和性质后,最重要的是利用它解决一些简单的问题.首先我们来看下面的问题.

　　例1. 比较下列各组数的大小

　　(1) 与 ;  (2) 与 ;   

　　(3) 与1 .(板书)

　　首先让学生观察两个数的特点,有什么相同?由学生指出它们底数相同,指数不同.再追问根据这个特点,用什么方法来比较它们的大小呢?让学生联想指数函数,提出构造函数的方法,即把这两个数看作某个函数的函数值,利用它的单调性比较大小.然后以第(1)题为例,给出解答过程.

　　解: 在 上是增函数,且

　　< .(板书)

　　教师最后再强调过程必须写清三句话:

　　(1) 构造函数并指明函数的单调区间及相应的单调性.

　　(2) 自变量的大小比较.

　　(3) 函数值的大小比较.

　　后两个题的过程略.要求学生仿照第(1)题叙述过程.

　　例2.比较下列各组数的大小

　　(1) 与 ;  (2) 与   ;  

　　(3) 与 .(板书)

　　先让学生观察例2中各组数与例1中的区别,再思考解决的方法.引导学生发现对(1)来说 可以写成 ,这样就可以转化成同底的问题,再用例1的方法解决,对(2)来说 可以写成 ,也可转化成同底的,而(3)前面的方法就不适用了,考虑新的转化方法,由学生思考解决.(教师可提示学生指数函数的函数值与1有关,可以用1来起桥梁作用)

　　最后由学生说出 >1, <1, > .

　　解决后由教师小结比较大小的方法

　　(1) 构造函数的方法: 数的特征是同底不同指(包括可转化为同底的)

　　(2) 搭桥比较法: 用特殊的数1或0.

　　三.巩固练习

　　练习:比较下列各组数的大小(板书)

　　(1) 与      (2) 与 ; 

　　(3) 与 ; (4) 与 .解答过程略

　　四.小结

　　1.指数函数的概念

　　2.指数函数的图象和性质

　　3.简单应用

　　五 .板书设计