一．选择题（共10小题）
1．下列几何图形中，不是中心对称图形的共有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．不透明袋子中有除颜色外完全相同的4个黑球和2个白球，从袋子中随机摸出3个球，下列事件是必然事件的是（ ） A．3个都是黑球 C．2个白球1个黑球
B．2个黑球1个白球 D．至少有1个黑球
3．下列不能判定四边形是平行四边形的条件是（ ）
A．∠A＝∠C，∠B＝∠D C．AB∥CD，AD＝BC
B．AB∥CD，AD∥BC D．AB＝CD，AD＝BC
4．若直线y＝kx+k﹣3经过第二、三、四象限，则k的取值范围是（ ） A．k＜0
B．k＞3
C．k＜3
D．0＜k＜3
5．某鱼塘里养了1600条鲤鱼，若干条草鱼和800条罗非鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，则该鱼塘捞到鲤鱼的概率约为（ ） A．
B．
C．
D．
6．已知第一组数据：12，14，16，18的方差为S12；第二组数据：32，34，36，38的方差为S22；第三组数据：2020，2019，2018，2017的方差为S32，则S12，S22，S32的大小关系表示正确的是（ ） A．S12＞S22＞S32 C．S12＜S22＜S32
B．S12＝S22＞S32 D．S12＝S22＜S32
7．下列所给方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）
A．x2﹣6x+9＝0 B．2x2﹣3x+5＝0 C．x2+3x+5＝0 D．2x2+9x+5＝0
8．某省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业．据统计，该省目前5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．按照计划，设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均率为x，根据题意列方程，得（ ） A．6（1+x）2＝17.34 C．6（1﹣x）2＝17.34
B．17.34（1+x）2＝6 D．17.34（1﹣x）2＝6
9．某市组织全民健身活动，有100名男选手参加由跑、跳、投等10个田径项目组成的“十项全能”比赛，其中25名选手的一百米跑成绩排名，跳远成绩排名与10项总成绩的排名情况如图所示：
甲、乙、丙表示三名男选手，下面有3个推断：①甲的一百米跑成绩排名比10项总成绩排名靠前；②乙的一百米跑成绩排名比10项总成绩排名靠后；③丙的一百米跑成绩排名比跳远成绩排名靠前．其中合理的是（
）
A．②
B．①
C．①②
D．①③
10．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）
A．4
B．4.5
C．4.8
D．5
二．填空题（共8小题）
11．小丽微信支付密码是六位数（每一位可显示0～9），由于她忘记了密码的末位数字，则
小丽能一次支付成功的概率是 ．
12．已知方程x2﹣6x﹣2＝0，用配方法化为a（x+b）2＝c的形式为 ． 13．将点A（4，5）绕着原点顺时针旋转90°得到点B，则点B的坐标是 ． 14．已知x＝1是方程x2+bx﹣2＝0的一个根，则方程的另一个根是 ．
15．如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝48°，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，则∠DHO＝ 度．
16．如图，直线y＝x+2与直线y＝ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2≤ax+c的解为 ．
17．如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为 ．
18．如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，直线l⊥AB．当直线l沿射线BC方向，从点B开始向右平移时，直线l与四边形ABCD的边分别相交于点E，F．设直线l向右平移的距离为x，线段EF的长y，且y与x的函数关系如图②所示，则四边形ABCD的周长是 ．
三．解答题 19.解下列方程：
（1）x（2x﹣1）＝2x﹣1； （2）x2﹣4x﹣3＝0．
20.下表某公司25名员工月收入的资料．
月收入/元 人数
45000 17000 10000 5600 5000 3800 3000 1600 1
1
1
4
5
1
11
1
（1）这个公司员工月收入的平均数是6312，中位数是 ，众数是 ；
（2）在（1）中三个集中趋势参数中，你认为用哪一个反映公司全体员工月收入水平更合适？请说明理由．
21.某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．
（1）甲同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是 ； （2）乙同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？
22.如图，E，F为▱ABCD对角线BD上的两点，若再添加一个条件，就可证出AE∥CF．请完成以下问题：
（1）你添加的条件是 ．
（2）请根据题目中的条件和你添加的条件证明AE∥CF．
23.如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆，怎样围成一个面积为50m2的矩形ABCD场地？能围成一个面积为52m2的矩形ABCD场地吗？如能，说明围法；若不能，说明理由．
24.如图1，C是线段AB上一个定点，动点P从点A出发向点B匀速移动，动点Q从点B出发向点C匀速移动，点P，Q同时出发，移动时间记为x（s），点P与点C的距离记为y1（cm），点Q与点C的距离记为y2（cm）．y1、y2与x的关系如图2所示． （1）线段AB的长为 cm；
（2）求点P出发3秒后y1与x之间的函数关系式； （3）当P，Q两点相遇时，x＝ s．
25.如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD，BE，BC于点P，O，Q，连接BP，EQ．
（1）依题意补全图形（保留作图痕迹），并求证四边形BPEQ是菱形； （2）若AB＝6，F为AB的中点，且OF+OB＝9，求PQ的长．
26.定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x＝
，y＝
，那么称点T是点A，B的三分点．
＝2，y＝
＝4时，则
例如：A（﹣1，5），B（7，7），当点T（x，y）满足x＝点T（2，4）是点A，B的三分点．
（1）已知点C（﹣1，8），D（1，2），E（4，﹣2），请说明其中一个点是另外两个点的三分点．
（2）如图，点A为（3，0），点B（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点A，B的三分点．
①试确定y与x的关系式．
②若①中的函数图象交y轴于点M，直线l交y轴于点N，当以M，N，B，T为顶点的四边形是平行四边形时，求点B的坐标．
③若直线AT与线段MN有交点，直接写出t的取值范围．
2019-2020学年江苏省南通市如皋市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列几何图形中，不是中心对称图形的共有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案． 【解答】解：等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形； 正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形； 正五边形不是中心对称图形，是轴对称图形； 圆既是中心对称图形，也是轴对称图形．
∴不是中心对称图形有等边三角形和正五边形共2个． 故选：B．
2．不透明袋子中有除颜色外完全相同的4个黑球和2个白球，从袋子中随机摸出3个球，下列事件是必然事件的是（ ） A．3个都是黑球 C．2个白球1个黑球
B．2个黑球1个白球 D．至少有1个黑球
【分析】正确理解“必然事件”的定义，即可解答．必然事件是指事件一定会发生，即事件发生的可能性为100%．
【解答】解：A袋子中装有4个黑球和2个白球，摸出的三个球中可能为两个白球一个黑球，所以A不是必然事件；
B．C．袋子中有4个黑球，有可能摸到的全部是黑球，B、C有可能不发生，所以B、C不是必然事件；
D．白球只有两个，如果摸到三个球不可能都是白梂，因此至少有一个是黑球，D正确． 故选：D．
3．下列不能判定四边形是平行四边形的条件是（ ）
A．∠A＝∠C，∠B＝∠D C．AB∥CD，AD＝BC
B．AB∥CD，AD∥BC D．AB＝CD，AD＝BC
【分析】根据平行四边形的判定定理和平行线的性质判断即可． 【解答】解：A、∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意； B、∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意； C、∵AB∥CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD可能是等腰梯形，故本选项符合题意； D、∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：C．
4．若直线y＝kx+k﹣3经过第二、三、四象限，则k的取值范围是（ ） A．k＜0
B．k＞3
C．k＜3
D．0＜k＜3
【分析】根据一场函数图象经过的象限可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．
【解答】解：根据题意得k＜0且k﹣3＜0， 所以k＜0． 故选：A．
5．某鱼塘里养了1600条鲤鱼，若干条草鱼和800条罗非鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，则该鱼塘捞到鲤鱼的概率约为（ ） A．
B．
C．
D．
【分析】根据捕捞到草鱼的频率可以估计出放入鱼塘中鱼的总数量，从而可以得到捞到
鲤鱼的概率．
【解答】解：∵捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右， 设草鱼的条数为x，可得：解得：x＝2400，
∴由题意可得，捞到鲤鱼的概率为：故选：C．
6．已知第一组数据：12，14，16，18的方差为S12；第二组数据：32，34，36，38的方差为S22；第三组数据：2020，2019，2018，2017的方差为S32，则S12，S22，S32的大小关系表示正确的是（ ） A．S12＞S22＞S32 C．S12＜S22＜S32
B．S12＝S22＞S32 D．S12＝S22＜S32
＝；
＝0.5，
【分析】先计算出三组数据的平均数，再根据方差的定义计算出方差，从而得出答案． 【解答】解：∵
＝
＝2018.5，
∴S12＝×[（12﹣15）2+（14﹣15）2+（16﹣15）2+（18﹣15）2]＝5， S22＝×[（32﹣35）2+（34﹣35）2+（36﹣35）2+（38﹣35）2]＝5，
S32＝×[（2020﹣2018.5）2+（2019﹣2018.5）2+（2018﹣2018.5）2+（2017﹣2018.5）
2
＝15，＝＝35，＝
]＝，
∴S12＝S22＞S32， 故选：B．
7．下列所给方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A．x2﹣6x+9＝0
B．2x2﹣3x+5＝0
C．x2+3x+5＝0
D．2x2+9x+5＝0
【分析】若方程有两个不相等的实数根，则△＝b2﹣4ac＞0，可据此判断出正确的选项． 【解答】解：A、△＝36﹣4×9＝0，原方程有两个相等的实数根，故A错误； B、△＝9﹣4×2×5＝﹣31＜0，原方程没有实数根，故B错误； C、△＝9﹣4×5＝﹣11＜0，原方程没有实数根，故C错误；
D、△＝81﹣4×2×5＝41＞0，原方程有两个不相等的实数根，故D正确．
故选：D．
8．某省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业．据统计，该省目前5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．按照计划，设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均率为x，根据题意列方程，得（ ） A．6（1+x）2＝17.34 C．6（1﹣x）2＝17.34
B．17.34（1+x）2＝6 D．17.34（1﹣x）2＝6
【分析】根据2020年底及2022年底全省5G基站的数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得：1.5×4（1+x）2＝17.34， 即6（1+x）2＝17.34． 故选：A．
9．某市组织全民健身活动，有100名男选手参加由跑、跳、投等10个田径项目组成的“十项全能”比赛，其中25名选手的一百米跑成绩排名，跳远成绩排名与10项总成绩的排名情况如图所示：
甲、乙、丙表示三名男选手，下面有3个推断：①甲的一百米跑成绩排名比10项总成绩排名靠前；②乙的一百米跑成绩排名比10项总成绩排名靠后；③丙的一百米跑成绩排名比跳远成绩排名靠前．其中合理的是（
）
A．②
B．①
C．①②
D．①③
【分析】先从由统计图获取信息，明确图表中数据的来源及所表示的意义，依据所示的实际意义获取正确的信息，即可得出答案． 【解答】解：由折线统计图可知：
①甲的一百米跑成绩排名比10项总成绩排名靠前；结论正确； ②乙的一百米跑成绩排名比10项总成绩排名靠前；故原说法错误；
③无法比较丙的一百米跑成绩与跳远成绩；故原说法错误． 所以合理的是①． 故选：A．
10．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）
A．4
B．4.5
C．4.8
D．5
【分析】由中位线定理可得点P的运动轨迹是线段P1P2，再由垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值，连接BP1、BP2，作BP′⊥P1P2于P′，作P2Q⊥AB于Q，则BP的最小值为BP′的长，P2Q是△EAD的中位线，由勾股定理求出BP2、BP1、CE的长，由三角形中位线定理得出P1P2的长，设P′P2＝x，则P′P1＝﹣x，由勾股定理得BP22﹣P′P2＝BP12﹣P′P12，解得x＝
，即可得出结果．
【解答】解：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1， 当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2， ∴P1P2∥CE且P1P2＝CE，
当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP， 由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF， ∴点P的运动轨迹是线段P1P2，如图所示： ∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值， ∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝4，AB＝CD＝6，∠DAB＝∠BCD＝∠ABC＝90°， ∴CP1＝CD＝3， ∵E为AB的中点， ∴AE＝BE＝AB＝3，
连接BP1、BP2，作BP′⊥P1P2于P′，作P2Q⊥AB于Q， 则BP的最小值为BP′的长，P2Q是△EAD的中位线， ∴P2Q＝AD＝2，QE＝AQ＝AE＝， ∴BQ＝BE+QE＝3+＝，
在Rt△BP2Q中，由勾股定理得：BP2＝在Rt△CBE中，由勾股定理得：CE＝∴P1P2＝CE＝，
在Rt△BCP1中，由勾股定理得：BP1＝设P′P2＝x，则P′P1＝﹣x，
由勾股定理得：BP22﹣P′P2＝BP12﹣P′P12，即（解得：x＝∴BP′2＝（∴BP′＝4.8， 故选：C．
，
）2﹣（
）2＝
，
）2﹣x2＝52﹣（﹣x）2， ＝
＝5，
＝
＝
＝5，
＝
，
二．填空题（共8小题）
11．小丽微信支付密码是六位数（每一位可显示0～9），由于她忘记了密码的末位数字，则小丽能一次支付成功的概率是
．
【分析】由末尾数字是0至9这10个数字中的一个，利用概率公式可得答案． 【解答】解：∵末尾数字是0至9这10个数字中的一个， ∴小丽能一次支付成功的概率是
，
故答案为．
12．已知方程x2﹣6x﹣2＝0，用配方法化为a（x+b）2＝c的形式为 （x﹣3）2＝11 ． 【分析】方程移项后，两边加上一次项系数一半的平方，变形得到结果，即可作出判断． 【解答】解：方程x2﹣6x﹣2＝0， 移项得：x2﹣6x＝2，
配方得：x2﹣6x+9＝11，即（x﹣3）2＝11． 故答案为：（x﹣3）2＝11．
13．将点A（4，5）绕着原点顺时针旋转90°得到点B，则点B的坐标是 （5，﹣4） ． 【分析】画出图形利用图象法解决问题． 【解答】解：如图，观察图象可知B（5，﹣4）， 故答案为（5，﹣4）．
14．已知x＝1是方程x2+bx﹣2＝0的一个根，则方程的另一个根是 ﹣2 ． 【分析】根据根与系数的关系得出x1x2＝＝﹣2，即可得出另一根的值． 【解答】解：∵x＝1是方程x2+bx﹣2＝0的一个根， ∴x1x2＝＝﹣2， ∴1×x2＝﹣2，
则方程的另一个根是：﹣2， 故答案为﹣2．
15．如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝48°，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，则∠DHO＝ 24 度．
【分析】由菱形的性质可得OD＝OB，∠COD＝90°，由直角三角形的性质可得OH＝BD＝OB，可得∠OHB＝∠OBH，由余角的性质可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，∠COD＝90°，∠DAB＝∠DCB＝48°， ∵DH⊥AB， ∴OH＝BD＝OB， ∴∠OHB＝∠OBH， 又∵AB∥CD， ∴∠OBH＝∠ODC，
在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO＝90°， 在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB＝90°， ∴∠DHO＝∠DCO＝∠DCB＝24°， 故答案为：24．
16．如图，直线y＝x+2与直线y＝ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2≤ax+c的解为 x≤1 ．
【分析】将点P（m，3）代入y＝x+2，求出点P的坐标；结合函数图象可知当x≤1时x+2≤ax+c，即可求解；
【解答】解：点P（m，3）代入y＝x+2， ∴m＝1， ∴P（1，3），
结合图象可知x+2≤ax+c的解为x≤1； 故答案为x≤1；
17．如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为
．
【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB＝AD，每一个角都是直角可得∠BAE＝∠D＝90°，然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF得∠ABE＝∠DAF，进一步得∠AGE＝∠BGF＝90°，从而知GH＝BF，利用勾股定理求出BF的长即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD， 在△ABE和△DAF中， ∵
，
∴△ABE≌△DAF（SAS）， ∴∠ABE＝∠DAF， ∵∠ABE+∠BEA＝90°， ∴∠DAF+∠BEA＝90°， ∴∠AGE＝∠BGF＝90°， ∵点H为BF的中点， ∴GH＝BF，
∵BC＝5、CF＝CD﹣DF＝5﹣2＝3， ∴BF＝
＝
，
∴GH＝BF＝故答案为：
．
，
18．如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，直线l⊥AB．当直线l沿射线BC方向，从点B开始向右平移时，直线l与四边形ABCD的边分别相交于点E，F．设直线l向右平移的距离为x，线段EF的长y，且y与x的函数关系如图②所示，则四边形ABCD的周长是 12+2
．
【分析】分别研究直线l在直线a的位置、直线l经过a后平移到b的位置、直线l到达直线c的位置三种情况，线段l与四边形ABCD的位置，进而求解．
【解答】解：过A、C、D分别作直线l的平行线，延长BC交直线c于点F，设直线a交BC于点M，直线b交AD于点N，
①当直线l在直线a的位置时， AM＝EF＝2，BM＝4，则sinB＝∴∠BMA＝60°＝∠DFC；
直线l经过a后平移到b处时，MC＝6﹣4＝2＝AN，即BC＝MB+MC＝4+2＝6， 当直线l到达直线c的位置时，CF＝8﹣6＝2＝ND，则AD＝AN+ND＝2+2＝4， 此时，∠DCF＝60°，CF＝DF＝2， 故△CDF为等边三角形，即CD＝2， 四边形ABCD的周长＝AB+AD+BC+CD＝2故答案为12+2
+4+6+2＝12+2
，
＝，故∠B＝30°，则AB＝BMosc30°＝2
，
三．解答题 19.解下列方程：
（1）x（2x﹣1）＝2x﹣1； （2）x2﹣4x﹣3＝0．
【考点】A6：解一元二次方程﹣配方法；A8：解一元二次方程﹣因式分解法． 【专题】523：一元二次方程及应用；66：运算能力． 【分析】（1）利用因式分解法求解可得； （2）利用配方法求解可得．
【解答】解：（1）∵x（2x﹣1）﹣（2x﹣1）＝0， ∴（2x﹣1）（x﹣1）＝0， 则2x﹣1＝0或x﹣1＝0， 解得x＝0.5或x＝1；
（2）∵x2﹣4x＝3，
∴x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7， ∴x﹣2＝∴x＝2
， ．
20.下表某公司25名员工月收入的资料．
月收入/元 人数
45000 17000 10000 5600 5000 3800 3000 1600 1
1
1
4
5
1
11
1
（1）这个公司员工月收入的平均数是6312，中位数是 3800 ，众数是 3000 ； （2）在（1）中三个集中趋势参数中，你认为用哪一个反映公司全体员工月收入水平更合适？请说明理由．
【考点】W4：中位数；W5：众数．
【专题】542：统计的应用；65：数据分析观念．
【分析】（1）根据中位数的定义把这组数据从小到大排列起来，找出最中间一个数即可；根据众数的定义找出现次数最多的数据即可； （2）根据平均数、中位数和众数的意义回答．
【解答】解：（1）共有25个员工，中位数是第13个数，
则中位数是3800元；
3000出现了11次，出现的次数最多，则众数是3000． （2）用中位数或众数来描述更为恰当．理由：
平均数受极端值45000元的影响，只有3个人的工资达到了6312元，不恰当． 故答案为3800；3000．
21.某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．
（1）甲同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是 （2）乙同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？ 【考点】X6：列表法与树状图法．
【专题】543：概率及其应用；67：推理能力．
【分析】（1）甲同学随机选择连续的两天，共有3个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四）；其中有一天是星期二的结果有2个，由概率公式即可得出结果；
（2）由树状图得出共有12个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有6个，由概率公式即可得出结果．
【解答】解：（1）甲同学随机选择连续的两天，共有3个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四）；
其中有一天是星期二的结果有2个，即（星期一，星期二），（星期二，星期三）， 则甲同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是； 故答案为：；
（2）画树状图如图所示：
；
共有12个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有6个，
则乙同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率为＝．
22.如图，E，F为▱ABCD对角线BD上的两点，若再添加一个条件，就可证出AE∥CF．请完成以下问题：
（1）你添加的条件是 BE＝DF ．
（2）请根据题目中的条件和你添加的条件证明AE∥CF．
【考点】L5：平行四边形的性质．
【专题】555：多边形与平行四边形；67：推理能力． 【分析】（1）可添加BE＝DF；
（2）连接AC交BD于点O，连接AF、CE，由四边形ABCD是平行四边形知OA＝OC、OB＝OD，结合BE＝DF得OE＝OF，据此可证四边形AECF是平行四边形，从而得出答案．
【解答】解：（1）添加的条件是：BE＝DF， 故答案为：BE＝DF；
（2）如图，连接AC交BD于点O，连接AF、CE，
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AE∥CF．
23.如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆，怎样围成一个面积为50m2的矩形ABCD场地？能围成一个面积为52m2的矩形ABCD场地吗？如能，说明围法；若不能，说明理由．
【考点】AD：一元二次方程的应用．
【专题】12：应用题；523：一元二次方程及应用；66：运算能力；69：应用意识． 【分析】设垂直于墙的一边AB长为xm，那么另一边长为（20﹣2x）m，可根据长方形的面积公式即可列方程进行求解．
【解答】解：设垂直于墙的一边AB长为xm，那么另一边长为（20﹣2x）m， 由题意得x（20﹣2x）＝50， 解得：x1＝x2＝5， （20﹣2×5）＝10（m）．
围成一面靠墙，其它三边分别为5m，10m，5m的矩形． 答：不能围成面积52m2的矩形ABCD场地．
理由：若能围成，则可列方程x（20﹣2x）＝52，此方程无实数解．所以不能围成一个面积为52m2的矩形ABCD场地．
24.如图1，C是线段AB上一个定点，动点P从点A出发向点B匀速移动，动点Q从点B出发向点C匀速移动，点P，Q同时出发，移动时间记为x（s），点P与点C的距离记为y1（cm），点Q与点C的距离记为y2（cm）．y1、y2与x的关系如图2所示． （1）线段AB的长为 27 cm；
（2）求点P出发3秒后y1与x之间的函数关系式； （3）当P，Q两点相遇时，x＝
s．
【考点】FH：一次函数的应用． 【专题】533：一次函数及其应用．
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以得到线段AB的长；
（2）根据图象中的数据和题意可以得到点P出发3秒后y1与x之间的函数关系式； （3）根据题意可以得到点P和Q的速度，从而可以求得x的值． 【解答】解：（1）由图可得，
线段AC的长度为6cm，线段BC的长为21cm， ∴段AB的长为6+21＝27cm， 故答案为：27；
（2）设点P出发3秒后，y1与x之间的函数关系式为y1＝kx+b（k≠0）， 由图象可得，点P的运动速度为：6÷3＝2cm/s， 由27÷2＝13.5，可知y1＝kx+b的图象过点（13.5，21）， 又∵y1＝kx+b的图象过点（3，0），
，得
，
即y1与x的函数关系式为y1＝2x﹣6； （3）由题意可得，
点Q的速度为：21÷7＝3cm/s， 则当P，Q两点相遇时，x＝故答案为：
．
，
25.如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD，BE，BC于点P，O，Q，连接BP，EQ．
（1）依题意补全图形（保留作图痕迹），并求证四边形BPEQ是菱形； （2）若AB＝6，F为AB的中点，且OF+OB＝9，求PQ的长．
【考点】KG：线段垂直平分线的性质；LA：菱形的判定与性质；LB：矩形的性质；N3：作图—复杂作图．
【专题】13：作图题；556：矩形 菱形 正方形；69：应用意识．
【分析】（1）根据要求作出图形即可，根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可．
（2）解直角三角形求出PB，OB，利用勾股定理即可解决问题． 【解答】解：（1）图形如图所示．四边形BPEQ是菱形．
理由：∵PQ垂直平分线段BE， ∴OE＝OB，
∵四边形ABCD是矩形， ∴PE∥BQ， ∴∠PEO＝∠OBQ， ∵∠POE＝∠QOB， ∴△POE≌△QOB（ASA）， ∴OP＝OQ， ∵OE＝OB，
∴四边形BPEQ是平行四边形， ∵BE⊥PQ，
∴四边形BPEQ是菱形．
（2）∵AF＝BF，OE＝OB， ∴AE+BE＝2OF+2OB， 设AE＝x，则BE＝18﹣x，
在Rt△ABE中，62+x2＝（18﹣x）2， 解得x＝8， ∴BE＝18﹣8＝10， ∴OB＝BE＝5，
设PE＝y，则AP＝8﹣y，BP＝PE＝y，
在Rt△ABP中，62+（8﹣y）2＝y2， 解得y＝
，
＝
，
在Rt△BOP中，OP＝∴PQ＝2OP＝
．
26.定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x＝
，y＝
，那么称点T是点A，B的三分点．
＝2，y＝
＝4时，则
例如：A（﹣1，5），B（7，7），当点T（x，y）满足x＝点T（2，4）是点A，B的三分点．
（1）已知点C（﹣1，8），D（1，2），E（4，﹣2），请说明其中一个点是另外两个点的三分点．
（2）如图，点A为（3，0），点B（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点A，B的三分点．
①试确定y与x的关系式．
②若①中的函数图象交y轴于点M，直线l交y轴于点N，当以M，N，B，T为顶点的四边形是平行四边形时，求点B的坐标．
③若直线AT与线段MN有交点，直接写出t的取值范围．
【考点】LO：四边形综合题．
【专题】533：一次函数及其应用；555：多边形与平行四边形；69：应用意识． 【分析】（1）由“三分点”的定义可求解；
（2）①由“三分点”定义可得：，即可求解；
②先求出点M，点N的坐标，分两种情况讨论，利用平行四边形的性质可求解； ③利用特殊位置，分别求出AT过点M和过点N时，t的值，即可求解． 【解答】解：（1）∵
，
∴点D（1，2）是点C，点E的三分点；
（2）①∵点A为（3，0），点B（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点A，B的三分点，
∴，
∴y＝2x﹣1；
②∵y＝2x﹣1图象交y轴于点M，直线l交y轴于点N， ∴点M（0，﹣1），点N（0，3）， 当四边形MTBN是平行四边形时， ∴BT∥MN， ∵B（t，2t+3），T（∴t＝
，
，
），
∴t＝，
∴点B的坐标（，6）；
当四边形MTNB是平行四边形时，
设BT与MN交于点P，则点P为BT与MN的中点， ∴点P（0，1）， ∵B（t，2t+3），T（∴t+
＝0，
，
），
∴t＝﹣， ∴点B（﹣，），
综上所述：点B的坐标为（，6）或（﹣，）； ③当直线AT过点M时，
∵点A（3，0），点M（0，﹣1）， ∴直线AM解析式为y＝x﹣1， ∵点T是直线AM上， ∴
＝×
﹣1
∴t＝﹣3，
当直线AT过点N时，
∵点A（3，0），点M（0，3）， ∴直线AN解析式为y＝﹣x+3， ∵点T是直线AN上， ∴
＝﹣
+3，
∴t＝1，
∵直线AT与线段MN有交点， ∴﹣3≤t≤1．
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