初高中衔接不等式

1.一元二次不等式

【要点梳理】

要点一：一元二次不等式的概念

一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式. 一元二次不等式的解：使某个一元二次不等式成立的x的值.

一元二次不等式的一般形式：ax2bxc0(a0)或ax2bxc0(a0). 要点诠释：一元二次不等式的解集一般借助相应的方程及图象（抛物线）来研究. 要点二：一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系

设fxax2bxc(a0)，判别式b24ac，按照0，0，0该函数图象(抛物线)与x轴的位置关系也分为三种情况，相应方程的解与不等式的解集形式也不尽相同. 如下表所示： b24ac 0 0 0 函数yfx 的图象 方程fx=0 的解 不等式fx0 的解集 不等式fx0 的解集 要点诠释：

（1）一元二次方程ax2bxc0(a0)的两根x1、x2是相应的不等式的解集的端点的

取值，是抛物线yax2bxc与x轴的交点的横坐标；

（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式

的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；

（3）解集分0,0,0三种情况，得到一元二次不等式ax2bxc0与

ax2bxc0的解集.

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有两相等实根 无实根 有两相异实根 x1,x2(x1x2) bx1x2 2abxx 2axxx或xx 12R xx1xx2   初高中衔接之不等式

2.分式不等式

【要点梳理】

要点一：分式不等式解法

对这种分式不等式，先把不等式的右边化为0，再通过符号法则，把它转化成整式不等式来解，从而化繁为简.

（1）整理：移项保证不等式右边为零，整理成一般形式； （2）等价转化：转化为整式不等式； 要点二：一般形式：

要点诠释：分式不等式一定要注意转化的等价性.

AB0A0A0A0或 B0 B0B0BAB0A0A0A0或 B0 B0B0BABAB0A0AB0B0A0AB0B0A0或 B0A0或 B00 第 2 页 共 8 页

初高中衔接之不等式

3. 绝对值不等式

【要点梳理】

要点一：绝对值不等式解法

(1)含绝对值的不等式|x|a的解集

不等式 |x|a a>0 a＝0 ∅ a<0 ∅ R {x|－aa或x<－a} {x∈R|x≠0} (2)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法： ① |ax＋b|≤c ⇔ －c≤ax＋b≤c ； ② |ax＋b|≥c ⇔ ax＋b≥c或ax＋b≤－c .

4.根式不等式

【要点梳理】

要点三、无理不等式的解法

无理不等式:如果函数f(x)是关于x的无理式，那么f(x)>0或f(x)<0，叫做无理不等式.

要点诠释： (1)

f(x)0g(x)0 f(x)>g(x) g(x)0f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)0f(x)0 (2)f(x)>g(x)  g(x)0或 

g(x)02f(x)g(x)g(x)0f(x)0 或 2f(x)g(x)g(x)0 (3)

f(x)0 f(x)第 3 页 共 8 页

初高中衔接之不等式

【典型例题】

类型一：一元二次不等式的解法

例1. 解下列一元二次不等式

（1）x25x0； （2）x24x40； （3）x24x50 举一反三：

2x2x,x0,【变式1】已知函数f(x)2 解不等式f(x)＞3.

x2x,x0

【变式2】解不等式：6x2x66

类型二：含字母系数的一元二次不等式的解法

例2．求不等式12x2－ax＞a2(aR)的解集．

举一反三：

1【变式1】解关于x的不等式：x2(a)x10(a0)a

【变式2】解关于x的不等式：ax2x1 >0

【变式3】解下列关于x的不等式 （1）x2-2ax≤-a2+1； （2）x2-ax+1>0； （3）x2-(a+1)x+a<0；

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初高中衔接之不等式

类型三：一元二次不等式的应用

例3．不等式x2mxn0的解集为x(4,5)，求关于x的不等式nx2mx10的解 .

举一反三：

【变式1】不等式ax2bx120的解集为{x|3x2 }，则a=_______，b=________.

11【变式2】已知ax22xc0的解为x，试求a，c，并解不等式

32cx22xa0.

【变式3】已知关于x的不等式x2axb0的解集为(1,2)，求关于x的不等式bx2ax10的解集.

类型四：一元二次不等式中的参数

例4．已知关于x的不等式(m24m5)x24m1x30对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.

举一反三：

【变式1】若关于x的不等式mx2(2m1)xm10的解集为空集，求m的取值范围.

12x2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．【变式2】已知不等式ax2＋4x＋a＞－

类型五：分式不等式

例5.解下来不等式： （1）

x1x10 ； （2）2. x23x2第 5 页 共 8 页

初高中衔接之不等式

举一反三：

【变式1】解下列不等式：

（1）

类型六：分式不等式的应用

ax11的解集为：x2或x3求a,b的值？例6. 不等式xb

类型七：绝对值不等式

3－|x|1例≥． 例7. 解不等式|8－3x|＞5； 8 解不等式|x|＋22

举一反三：

【变式1】 解不等式4＜|1－3x|≤7． |x＋1|＞2－x．

【变式2】 已知集合A＝{x|2＜|6－2x|＜5，x∈N}，求A．

类型八：绝对值不等式的应用

例8. 设不等式|x－a|＜b的解集为{x|－1＜x＜2}，则a，b的值为

举一反三：

【变式1】 解关于x的不等式|2x－1|＜2m－1(m∈R)

【变式2】 已知关于x的不等式|x＋2|＋|x－3|＜a的解集是非空集合，则实数a的取值范围是________．

【变式3】 解不等式|x－5|－|2x＋3|＜1．

【变式4】 解不等式|2x－1|＞|2x－3|．

类型九：无理不等式

例9．解不等式2x1≤x-2.

举一反三：

【变式】解不等式(x1)x20

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3x4x80 ； （2）2. x22x3初高中衔接之不等式

好玩的课后作业

2x求：x60;x22x80.

x23x100;x2x200

x22x30x22x30

x2(2a1)xa2a0x2(a1a)x10

1.ax22ax30(1).对x所有实数都满足，求a的取值范围？2）.若不等式的解集为1x3,求a?

2.x2(a3)x3a0

2x632x62x6x1x13x13

x12x4x10x30x303x4x12x30

7x3x4x162x130

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0（初高中衔接之不等式

1. 绝对值方程与绝对值不等式

x32x32x32

2x172x1x14x2x52x12x13x253x2x33x2x3x23x2

求x3x7的最小值求x32x7的最小值求x3x76求2x3x77

求、1.解不等式：3x5

2.解不等式x23x2x5

3、解不等式2x1x2。

4、解不等式3x4

5、解不等式43x2x1．

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x40．

x30．