突破几何体的外接球与内切球

搞定空间几何体的外接球与内切球

一、有关定义

1．球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球.

2．外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球.

3．内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球. 二、外接球的有关知识与方法 1．性质：

性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等； 性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆； 性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）； 性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；

性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，

两相交弦的中垂线交点是圆心）.

A1O2B1cC1OONDECMO1FPD1aBAO1b初图1

初图2

2．结论：

结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；

结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同； 结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，

就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；

结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；

结论5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径； 结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球； 结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；

结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径； 结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球. 3．终极利器：勾股定理、正定理及余弦定理（解三角形求线段长度）； 三、内切球的有关知识与方法

1．若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）.

2．内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.（类比：与多边形的内切圆）.

3．正多面体的内切球和外接球的球心重合.

4．正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合. 5．基本方法：

（1）构造三角形利用相似比和勾股定理；

（2）体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法）. 四、与台体相关的 五、八大模型

类型一 柱体背景的模型

题型1、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）

PPccAbaCCbBAaB图1-1

图1-2

PPccCBbaCAbaBA图1-3

图1-4

方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R)2a2b2c2，即2Ra2b2c2，求出R

例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ C A．16 B．20 C．24 D．32

解： Va2h16，a2，4R2a2a2h2441624，S24，选C；

（2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 9解：4R23339，S4R29；

）

（3）在正三棱锥SABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AMMN,若侧棱SA23,则

正三棱锥SABC外接球的表面积是 .36 解：引理：正三棱锥的对棱互相垂直.证明如下：如图（3）-1， 取AB,BC中点D,E，连接AE,CD，AE,CD交于H，连接SH， 则H是底面正三角形ABC的中心，

SSH平面ABC，SHAB，

ACBC，ADBD，CDAB，AB平面SCD， ABSC，同理：BCSA，ACSB，

即正三棱锥的对棱互垂直，

本题图如图（3）-2， AMMN，SB//MN，

ADB(3)题-1(引理）SCHEAMSB，ACSB，SB平面SAC， SBSA，SBSC，SBSA，BCSA， SA平面SBC，SASC，

故三棱锥SABC的三棱条侧棱两两互相垂直，

MANB(3)题-2（解答图）C(2R)2(23)2(23)2(23)236，即4R236， 正三棱锥SABC外接球的表面积是36.

（4）在四面体SABC中，SA平面ABC，BAC120,SAAC2,AB1,则该四面体的外接球的表面积为（ D ）

A.11 B.7 C.1040 D. 337，ABC的外接球直径为

222解：在ABC中，BCACAB2ABBCcos1207，BC2r40BC72727240，(2R)2(2r)2SA2(，S，选D )43sinBAC33332（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是 解：由已知得三条侧棱两两垂直，设三条侧棱长分别为a,b,c（a,b,cR），则

ab1222222bc8，abc24，a3，b4，c2，(2R)abc29，S4R29， ac6

（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几

何体外接球的体积为

2解：(2R)abc3，R222233，R

2444333V球R3，

3382

P

ACB（6）题直观图(6)题图

题型2、对棱相等模型（补形为长方体）

题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（ABCD，ADBC，ACBD）

AxyzxBabzDycC

图2-1

第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱； 第二步：设出长方体的长宽高分别为a,b,c，ADBCx，

ABCDy，ACBDz，列方程组，

a2b2x22x2y2z2222222， bcy(2R)abc2c2a2z2

补充：图2-1中，VABCDabc第三步：根据墙角模型，2R求出R.

211abc4abc. 6322abcx2y2z2x2y2z22R，，R82x2y2z2，

8思考：如何求棱长为a的正四面体体积，如何求其外接球体积？

例2（1）如下图所示三棱锥ABCD，其中ABCD5,ACBD6,ADBC7,则该三棱锥外接球的表面积为 .

解：对棱相等，补形为长方体，如图2-1，设长宽高分别为a,b,c，2(abc)253649110，

222a2b2c255，4R255，S55

ABDC(1)题图

（2）在三棱锥ABCD中，ABCD2，ADBC3，ACBD4，则三棱锥ABCD外接球的表面积为 .

29 222解：如图2-1，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为a,b,c，则ab9，

b2c24，c2a2162(a2b2c2)941629，2(a2b2c2)941629，

a2b2c2

2929292 ，4R，S222（3）正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为

PAC（3）解答题B

解：正四面体对棱相等的模式，放入正方体中，2R3，R34333 ，V3822

（4）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如下图，则图中三

角形(正四面体的截面)的面积是 .

O2POCAO1B(4)题(4)题解答图

解：如解答图，将正四面体放入正方体中，截面为PCO1，面积是2.

题型3、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）

C1A1O2B1C1FA1C1O2B1A1B1O2FOCAO1BEOCAO1BABCOEO1图3-1图3-2图3-3

题设：如图3-1，图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是

任意三角形）

第一步：确定球心O的位置，O1是ABC的外心，则OO1平面ABC； 第二步：算出小圆O1的半径AO1r，OO111； AA1h（AA1h也是圆柱的高）

22h2hr2()2，解出R

2222222第三步：勾股定理：OAO1AO1OR()rR

例3（1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，

9，底面周长为3，则这个球的体积为 81解：设正六边形边长为a，正六棱柱的高为h，底面外接圆的半径为r，则a，

2且该六棱柱的体积为正六棱柱的底面积为S631233339()h，h3，4R212(3)24 ，V柱Sh42888也可R(232124)()1），R1，球的体积为V球； 223（2）直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，若ABACAA12,BAC120，则此球的表面积等于 . 解：BC23，2r234，r2，R5，S20；

sin120（3）已知EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EAEB3,AD2,AEB60，则多面体EABCD的外接球的表面积为 .16

E

r1r1AROO2Rr2D

O1MB（3）题C

解：折叠型，

法一：EAB的外接圆半径为r13，OO11，R132；

法二：O1M3133132，r2O2D，R4，R2，S表16； 2244法三：补形为直三棱柱，可改变直三棱柱的放置方式为立式，算法可同上，略.换一种方式，通过算圆柱

222的轴截面的对角线长来求球的直径：(2R)(23)216，S表16；

（4）在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB4,AC6,A球的表面积为 .

3,AA14，则直三棱柱ABCA1B1C1的外接

160 31274727，r， 28，BC27，2r23332解：法一：BC16362462R2r2(AA284016012，S表)4；

2333法二：求圆柱的轴截面的对角线长得球直径，此略.

类型二 锥体背景的模型

题型4、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径——正弦定理求大圆直径是通法）

PPOOABO1CABO1C图4-1图4-2

PPOO1CBAABC图4-3

图4-4

1．如图4-1，平面PAC平面ABC，且ABBC（即AC为小圆的直径），且P的射影是ABC的外心三棱锥PABC的三条侧棱相等三棱PABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点. 解题步骤：

第一步：确定球心O的位置，取ABC的外心O1，则P,O,O1三点共线；

第二步：先算出小圆O1的半径AO1r，再算出棱锥的高PO1h（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：OAO1AO1OR(hR)r，解出R； 事实上，ACP的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解出R.

2．如图4-2，平面PAC平面ABC，且ABBC（即AC为小圆的直径），且PAAC，则 利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①(2R)PA(2r)2R22②RrOO1R2222222222PA2(2r)2；

r2OO1

2

3．如图4-3，平面PAC平面ABC，且ABBC（即AC为小圆的直径） OCO1CO1ORrO1OAC2R2O1O2

4．题设：如图4-4，平面PAC平面ABC，且ABBC（即AC为小圆的直径）

第一步：易知球心O必是PAC的外心，即PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC2r； 第二步：在PAC中，可根据正弦定理

例4 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为23，则该球的表面积为 . 解：法一：由正弦定理（用大圆求外接球直径）；法二：找球心联合勾股定理，

222222abc2R，求出R. sinAsinBsinC2R7，S4R249；

（2）正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一球面上，则此球体积为

V解：方法一：找球心的位置，易知r1，h1，hr，故球心在正方形的中心ABCD处，R1，

4 3方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是SAC的外接圆，此处特殊，RtSAC的斜边是球半径，

2R2，R1，V4. 3

（3）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正

三棱锥的体积是（ ） A．

33333 B． C． D．

34124解：高hR1，底面外接圆的半径为R1，直径为2R2， 设底面边长为a，则2R

（4）在三棱锥PABC中，PAPBPC3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60，则该三棱锥外

323313aa3SaVSh，，，三棱锥的体积为； 23444sin60接球的体积为（ ） A． B.

4 C. 4 D. 333为半径的圆上，在圆锥中求解，R1； 2解：选D，由线面角的知识，得ABC的顶点A,B,C在以r

（5）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的求面上,ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直

径,且SC2，则此棱锥的体积为（ ）A A．

3222B． C．D．

66 3 2解：OO1R2r21(26113262326，h，V球Sh )33343633题型5、垂面模型（一条直线垂直于一个平面） 1．题设：如图5，PA平面ABC，求外接球半径.

POCAO1BD图5

解题步骤：

第一步：将ABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连接PD，则PD必过

球心O；

第二步：O1为ABC的外心，所以OO1平面ABC，算出小圆O1的半径O1Dr（三角形的外接圆直

径算法：利用正弦定理，得

abc1，OO1PA； 2r）

sinAsinBsinC2222第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①(2R)PA(2r)2R22②RrOO1R2PA2(2r)2；

r2OO1.

2

2．题设：如图5-1至5-8这七个图形，P的射影是ABC的外心三棱锥PABC的三条侧棱相等三棱锥PABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点.

PPPOCAO1BACOCOO1BABO1图5-1P

图5-2P

图5-3P

AO2BOCAO1BDADOCBO2OC图5-4P

图5-6图5-7

AO2BOD

图5-8

解题步骤：

第一步：确定球心O的位置，取ABC的外心O1，则P,O,O1三点共线；

第二步：先算出小圆O1的半径AO1r，再算出棱锥的高PO1h（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：OAO1AO1OR(hR)r，解出R 方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径. 例5 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为( ) A．3 B．2 C．

解：选C，

法一：（勾股定理）利用球心的位置求球半径，球心在圆锥的高线上，

俯视图2222R2OR22222216 D．以上都不对 3P2正视图2侧视图M21 O11N解答图(3R)21R2,R2162,S4R；

33法二：（大圆法求外接球直径）如图，球心在圆锥的高线上，故圆锥的轴截面三角形PMN的外接圆是大圆，于是2R24，下略；

sin603

类型三 二面角背景的模型

题型6、折叠模型

题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图6)

A'OH2ABEDH1C图6

第一步：先画出如图6所示的图形，将BCD画在小圆上，找出BCD和ABD的外心H1和H2； 第二步：过H1和H2分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心O，连接OE,OC； 第三步：解OEH1，算出OH1，在RtOCH1中，勾股定理：OH1CH1OC 注：易知O,H1,E,H2四点共面且四点共圆，证略.

例6（1）三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，△PAC和△ABC均为边长为2的正三角形，则三棱锥PABC外接球的半径为 . 解：如图，2r12r22222421rrOH，，， 122sin6033315145； R2O2H2r12，R3333法二：O2HP11，O1H，AH1， 33155； R2AO2AH2O1H2O1O2，R33

O2AHBOO1C（1）题

（2）在直角梯形ABCD中，AB//CD，A90，C45，ABAD1，沿对角线BD折成四面

体ABCD，使平面ABD平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该项球的表面积为 4

SA'ADD2r2ODO212AO12→MB(2)题-1CB(2)题-2OCR1r1B2C

(3)题

解：如图，易知球心在BC的中点处，S表4；

（3）在四面体SABC中，ABBC，ABBC面体SABC的外接球表面积为 6 解：如图，法一：cosSO1Bcos(OO1O22，二面角SACB的余弦值为3，则四32)3， 3sinOO1O236，cosOO1O2， 33OO1O1O213222，R1，S4R6； 22cosOO1O226，SD2，大圆直径为2RSB6

法二：延长BO1到D使DO1BO1r1，由余弦定理得SB（4）在边长为23的菱形ABCD中，BAD60，沿对角线BD折成二面角ABDC为120的四

面体ABCD，则此四面体的外接球表面积为 28

A

r2O2d2RDMd1O1Rr1O

CEB

(4)题图

解：如图，取BD的中点M，ABD和CBD的外接圆半径为r1r22，ABD和CBD的外心O1,O2到弦BD的距离（弦心距）为d1d21， 法一：四边形OO1MO2的外接圆直径OM2，R法二：OO17，S28；

3，R7；

法三：作出CBD的外接圆直径CE,则AMCM3， CE4，ME1，AE7，AC33，

cosAEC71627274127，sinAECAC3333，2R27，R7；

sinAEC3327273，二面角ABDC(5)在四棱锥ABCD中，BDA120，BDC150，ADBD2，CD的平面角的大小为120，则此四面体的外接球的体积为 解：如图，过两小圆圆心作相应小圆所在平面的垂线确定球心，

OOAO2DMBO1(5)题解答图-1C抽象化O2→DMB(5)题解答图-2O1

AB23，r22，弦心距O2M3，BC13，r113，弦心距O1M23， O1O221，OM22O1O227， sin12022法一：RODMDOM29，R29，V球11629； 329，V球法二：OO2OMO2M25，RODr2OO229，R

222222211629. 3

题型7、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型

PBCOA图7

题设：如图7，APBACB90，求三棱锥PABC外接球半径（分析：取公共的斜边的中点O，连接OP,OC，则OAOBOCOP1AB，O为三棱锥PABC外接球球心，然后在OCP中2求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值.

例7（1）在矩形ABCD中，AB4，BC3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，

则四面体ABCD的外接球的体积为（ ）

125125125125 B． C． D． 129634341251255解：（1）2RAC5，R，VR，选C 23386（2）在矩形ABCD中，AB2，BC3，沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥ABCDA．

的外接球的表面积为 ．

2 解：BD的中点是球心O，2RBD13，S4R13

类型四 多面体的内切球问题模型

题型8、锥体的内切球问题

1．题设：如图8-1，三棱锥PABC上正三棱锥，求其内切球的半径.

P

EADB

OCH

图8-1

第一步：先现出内切球的截面图，E,H分别是两个三角形的外心；

1BD，POPHr，PD是侧面ABP的高； 3OEPO第三步：由POE相似于PDH，建立等式：，解出r DHPD第二步：求DH

2．题设：如图8-2，四棱锥PABC是正四棱锥，求其内切球的半径 第一步：先现出内切球的截面图，P,O,H三点共线；

1BC，POPHr，PF是侧面PCD的高； 2OGPO第三步：由POG相似于PFH，建立等式：，解出 HFPF第二步：求FHP

G

DFOAEBH图8-2C

3．题设：三棱锥PABC是任意三棱锥，求其的内切球半径

方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；

第二步：设内切球的半径为r，建立等式：VPABCVOABCVOPABVOPACVOPBC

11111VPABCSABCrSPABrSPACrSPBCr(SABCSPABSPACSPBC)r

33333第三步：解出r3VPABC

SOABCSOPABSOPACSOPBC例8 （1）棱长为a的正四面体的内切球表面积是

a2， 6解：设正四面体内切球的半径为r，将正四面体放入棱长为

BDa的2CA(1)题

正方体中（即补形为正方体），如图，则

VPABC11a3a3V正方体， 332262又VPABC4113232Sr4arar， 3343a2a3a2a32，r，内切球的表面积为S表4r（注：还有别的方法，此略 r632662（2）正四棱锥SABCD的底面边长为2，侧棱长为3，则其内切球的半径为 7

122解：如图，正四棱锥SABCD的高h7，正四棱锥SABCD的体积为VSABCD侧面斜高h122，正四棱锥SABCD的表面积为S表482，

正四棱锥SABCD的体积为

S47 31482VSABCDS表rr，

3348247r， 33Ahh1DMCHB(2)题4777(221)2147 r77482122

（3）三棱锥PABC中，底面ABC是边长为2的正三角形，PA底面ABC，PA2，则该三棱锥的内切球半径为 23 374P解：如图，SABC3，SABPSACP2，SBCP7，

S表347，

三棱锥PABC的体积为VPABC23， 3BA(3)题EC1374r， 另一表达体积的方式是VPABCS表r33

3742323r，r

33374巩固练习：

1．若三棱锥SABC的三条侧棱两两垂直，且SA2，SBSC4，则该三棱锥的外接球半径为（ ） A.3

B.6

C.36

D.9

2解：【A】(2R)416166，R3

【三棱锥有一侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形】【共两种】

2． 三棱锥SABC中，侧棱SA平面ABC，底面ABC是边长为3的正三角形，SA23，则该三

棱锥的外接球体积等于 .

32 3解：2r3432222(2R)41216，，，，外接球体积 8R4R2sin6033【外心法（加中垂线）找球心；正弦定理求球小圆半径】

3．正三棱锥SABC中，底面ABC是边长为3的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等于 .

解：ABC外接圆的半径为 ，三棱锥SABC的直径为2R242R，外接球半径， sin603322或R(R3)1，R23，外接球体积V4348323， R3333274．三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，△PAC边长为2的正三角形，ABBC，则三棱锥

PABC外接球的半径为 . 解：PAC的外接圆是大圆，2R242R，， sin60335． 三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，AC2，PAPC3，ABBC，则三棱锥

PABC外接球的半径为 .

PA2PC2AC29947427162，sin2P1()2解：cosP，sinP，

92PAPC2339981

2R24299229292，R

846． 三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，AC2，PAPC，ABBC，则三棱锥PABC外接球的半径为 .

解：AC是公共的斜边，AC的中点是球心O，球半径为R1