如何用好题目中的条件暗示
有一类题目，我们在解前面几小题时，其解题思路和方法往往对解后面问题起着很好的暗示作用，现以一次函数中出现的两道题目为例予以说明，供同学们在学习过程中参考。
【例1】直线与x轴、y轴分别交于B、A两点，如图1。
图1
（1）求B、A两点的坐标；
（2）把△AOB以直线AB为轴翻折，点O落在平面上的点C处，以BC为一边作等边△BCD。求D点的坐标。 解析：（1）容易求得 （2）如图2，
，A（0，1）。
图2
∵ ∴OB=
，A（0，1）， ，OA=1。
∴在Rt△AOB中，容易求得∠OBA=30°
∵把△AOB以直线AB为轴翻折， ∴∠OBC=2∠OBA=60°，BO=BC。 ∴△OBC是等边三角形
以BC为一边作等边△BCD，则D的落点有两种情形，可分别求得D的坐标为
（0，0），。
，0），A（0，1），实质上暗示
反思：在求得第（1）小题中B、A两点的坐标分别为B（着Rt△AOB中，OA=1，OB=
，即暗示着∠OBA=30°，为解第（2）小题做了很好的铺垫。
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【例2】直线与x轴、y轴分别交于A、B，以线段AB为直角
边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，且点P（1，a）为坐标系中的一个动点，如图3。
图3
（1）求三解形ABC的面积
。
（2）证明不论a取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数； （3）要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值。 解析：（1）容易求得：A（ ∴
。
，0），B（0，1），
（2）如图4，连接OP、BP，过点P作PD垂直于y轴，垂足为D，则三角形
BOP的面积为数。
，故不论a取任何实数，三角形BOP的面积是一个常
图4
（3）如图4，①当点P在第四象限时由第（2）小题中的结果：和第（3）小题的条件
可得：
，
∴，
∵
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，
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∴，∴。
。
②如图5，当点P在第一象限时，用类似的方法可求得a=
图5
反思：由第（1）小题中求得的
和第（2）小题中证明所得的结论：
三角形BOP的面积是一个常数，实质上暗示着第（3）小题的解题思路：利用
来解。
通过这两道题目的分析可以发现，在解题过程中，如果经常回头看一看、想一想，我们往往会发现，很多题目的解题思路原来就在题目之中。
分式运算的几点技巧
分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，下面列举几例介绍分式运算的几点技巧。 一. 分段分步法
例1. 计算：解：原式
说明：若一次通分，计算量太大，注意到相邻分母之间，依次通分构成平方差公式，采用分
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段分步法，则可使问题简单化。
同类方法练习题：计算
（答案：
二. 分裂整数法
）
例2. 计算： 解：原式
说明：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。 同类方法练习题：有一些“幸福”牌的卡片（卡片数目不为零），团团的卡片比这些多6张，圆圆的卡片比这些多2张，且知团团的卡片是圆圆的整数倍，求团团和圆圆各多少张卡片？（答案：团团8张，圆圆4张）
三. 拆项法
例3. 计算：
解：原式
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说明：对形如上面的算式，分母要先因式分解，再逆用公式
拆项，正负抵消一部分，再通分。在解某些分式方程中，也可使用拆项法。
，各个分式
同类方法练习题：计算：
（答案：）
四. 活用乘法公式
例4. 计算：解：当
且
时，
原式
说明：在本题中，原式乘以同一代数式，之后再除以同一代数式还原，就可连续使用平方差公式，分式运算中若恰当使用乘法公式，可使计算简便。 同类方法练习题：计算：（答案：
）
五. 巧选运算顺序
例5. 计算：
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解：原式
说明：此题若按两数和（差）的平方公式展开前后两个括号，计算将很麻烦，一般两个分式的和（差）的平方或立方不能按公式展开，只能先算括号内的。 同类方法练习题：解方程（答案：）
六. 见繁化简
例6. 计算：
解：原式
说明：若运算中的分式不是最简分式，可先约分，再选用适当方法通分，可使运算简便。
同类方法练习题：解方程
（答案：
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）
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在分式运算中，应根据分式的具体特点，灵活机动，活用方法。方能起到事半功倍的效率。
多边形内角和问题的求解技巧
1、多边形的每个内角与和它相邻的外角互为补角。这个条件在题目中一般不会作为已知条件给出，因此，在解题时应根据需要加以利用。
例1 一个正多边形的每个内角都比与它相邻的外角的3倍还多20°，求此正多边形的边数。
分析：由于这个正多边形的每个外角与和它相邻的内角互为邻补角，根据题意，可先求出外角的大小，再求边数。
解：设每个外角的大小为x°，则与它相邻的内角的大小为（3x+20）度。根据题意，得 解得
，即每个外角都等于40°。
所以，即这个正多边形的边数为9。
2、利用多边形内角和公式求多边形的边数时，经常设边数为n，然后列出方程或不等式，利用代数方法解决几何问题。
例2 已知一个多边形的每个内角都等于135°，求这个多边形的边数。 解法1：设多边形的边数为n，依题意，得
解得n=8，即这个多边形的边数为8。
解法2：依题意知，这个多边形的每个外角是180°－135°=45°。
所以，多边形的边数，即这个多边形的边数为8。
3、正多边形各内角相等，因此各外角也相等。有时利用这种隐含关系求多边形的边数，比直接利用内角和求边数简捷（如上题解法2）。解题时要注意这种逆向思维的运用。 例3 一个多边形除去一个内角后，其余内角之和是2570°，求这个多边形的边数。 分析：从已知条件可知这是一个与多边形内角和有关的问题。由于除去一个内角后，其余内角之和为2570°，故该多边形的内角和比2570°大。又由相邻内、外角间的关系可知，内角和比2570°+180°小。可列出关于边数n的不等式，先确定边数n的范围，再求边数。 解：设这个多边形的边数为n，则内角和为（n－2）·180°。依题意，得
解这个不等式，得
。
所以n=17，即这个多边形的边数为17。
说明：这类题都隐含着边数为正整数这个条件。 4、把不规则图形转化为规则图形是研究不规则图形的常用方法，其解题关键是构造合适的图形。
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例4 如图1，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的大小。
图1
分析：解题关键是把该图形与凸多边形联系起来，从而利用多边形内角和定理来解决，因此可考虑连接CF。 解：连接CF。 ∵∠COF=∠DOE
∴∠1+∠2=∠OCF+∠OFC
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7 =∠OCF+∠OFC+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7 =（5－2）×180°
证明三角形全等的一般思路
一、当已知两个三角形中有两边对应相等时，找夹角相等（SAS）或第三边相等（SSS）。 例1. 如图1，已知：AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，且B、C、D在同一条直线上。 求证：AD＝BE
分析：要证AD＝BE
注意到AD是△ABD或△ACD的边，BE是△DEB或△BCE的边，只需证明△ABD≌△DEB或△ACD≌△BCE，显然△ABD和△DEB不全等，而在△ACD和△BCE中，AC＝BC，CD＝CE，故只需证它们的夹角∠ACD＝∠BCE即可。
而∠ACD＝∠ACE＋60°，∠BCE＝∠ACE＋60° 故△ACD≌△BCE（SAS）
二、当已知两个三角形中有两角对应相等时，找夹边对应相等（ASA）或找任一等角的对边对应相等（AAS）
例2. 如图2，已知点A、B、C、D在同一直线上，AC＝BD，AM∥CN，BM∥DN。 求证：AM＝CN
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分析：要证AM＝CN
只要证△ABM≌△CDN，在这两个三角形中，由于AM∥CN，BM∥DN，可得 ∠A＝∠NCD，∠ABM＝∠D
可见有两角对应相等，故只需证其夹边相等即可。 又由于AC＝BD，而
故AB＝CD
故△ABM≌△CDN（ASA）
三、当已知两个三角形中，有一边和一角对应相等时，可找另一角对应相等（AAS，ASA）或找夹等角的另一边对应相等（SAS）
例3. 如图3，已知：∠CAB＝∠DBA，AC＝BD，AC交BD于点O。 求证：△CAB≌DBA
分析：要证△CAB≌△DBA
在这两个三角形中，有一角对应相等（∠CAB＝∠DBA） 一边对应相等（AC＝BD）
故可找夹等角的边（AB、BA）对应相等即可（利用SAS）。
四、已知两直角三角形中，当有一边对应相等时，可找另一边对应相等或一锐角对应相等 例4. 如图4，已知AB＝AC，AD＝AG，AE⊥BG交BG的延长线于E，AF⊥CD交CD的延长线于F。
求证：AE＝AF
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分析：要证AE＝AF
只需证Rt△AEB≌Rt△AFC，在这两个直角三角形中，已有AB＝AC 故只需证∠B＝∠C即可 而要证∠B＝∠C
需证△ABG≌△ACD，这显然易证（SAS）。
五、当已知图形中无现存的全等三角形时，可通过添作辅助线构成证题所需的三角形
例5. 如图5，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD是中线，AE⊥BD于F，交BC于E。 求证：∠ADB＝∠CDE
分析：由于结论中的两个角分属的两个三角形不全等，故需作辅助线。注意到AE⊥BD，∠BAC＝90°，有∠1＝∠2，又AB＝AC。故可以∠2为一内角，以AC为一直角边构造一个与△ABD全等的直角三角形，为此，过C作CG⊥AC交AE的延长线于G，则△ABD≌△CAG，故∠ADB＝∠CGA。
对照结论需证∠CGA＝∠CDE 又要证△CGE≌△CDE，这可由
CG＝AD＝CD，∠ECG＝∠EBA＝∠ECD，CE＝CE而获证。
计算线段长度的方法技巧
线段是基本的几何图形，是三角形、四边形的构成元素。初一同学对于线段的计算感到有点摸不着头绪。这是介绍几个计算方法，供同学们参考。 1. 利用几何的直观性，寻找所求量与已知量的关系
例1. 如图1所示，点C分线段AB为5：7，点D分线段AB为5：11，若CD＝10cm，求AB。
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图1
分析：观察图形可知，DC＝AC－AD，根据已知的比例关系，AC、AD均可用所求量AB表示，这样通过已知量DC，即可求出AB。
解：因为点C分线段AB为5：7，点D分线段AB为5：11
所以
又
又因为CD＝10cm，所以AB＝96cm
2. 利用线段中点性质，进行线段长度变换 例2. 如图2，已知线段AB＝80cm，M为AB的中点，P在MB上，N为PB的中点，且NB＝14cm，求PA的长。
图2 分析：从图形可以看出，线段AP等于线段AM与MP的和，也等于线段AB与PB的差，所以，欲求线段PA的长，只要能求出线段AM与MP的长或者求出线段PB的长即可。 解：因为N是PB的中点，NB＝14 所以PB＝2NB＝2×14＝28 又因为AP＝AB－PB，AB＝80 所以AP＝80－28＝52（cm）
说明：在几何计算中，要结合图形中已知线段和所求线段的位置关系求解，要做到步步有根据。
3. 根据图形及已知条件，利用解方程的方法求解
例3. 如图3，一条直线上顺次有A、B、C、D四点，且C为AD的中点，求BC是AB的多少倍？
，
图3
分析：题中已给出线段BC、AB、AD的一个方程，又C为AD的中点，即图形可知，BC。
，观察
，可得到BC、AB、AD又一个方程，从而可用AD分别表示AB、
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解：因为C为AD的中点，所以
因为，即
又
由<1>、<2>可得：
即BC＝3AB
例4. 如图4，C、D、E将线段AB分成2：3：4：5四部分，M、P、Q、N分别是AC、CD、DE、EB的中点，且MN＝21，求PQ的长。
图4
分析：根据比例关系及中点性质，若设AC＝2x，则AB上每一条短线段都可以用x的代数式表示。观察图形，已知量MN＝MC＋CD＋DE＋EN，可转化成x的方程，先求出x，再求出PQ。 解：若设AC＝2x，则
于是有那么
即解得：
所以
4. 分类讨论图形的多样性，注意所求结果的完整性
例5. 已知线段AB＝8cm，在直线AB上画线段BC＝3cm，求AC的长。
分析：线段AB是固定不变的，而直线上线段BC的位置与C点的位置有关，C点可在线段AB上，也可在线段AB的延长线上，如图5。
图5
解：因为AB＝8cm，BC＝3cm
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所以或
综上所述，线段的计算，除选择适当的方法外，观察图形是关键，同时还要注意规范书写格式，注意几何图形的多样性等。 【练习】
1. 已知如图6，B、C两点把线段AD分成2：3：4三部分，M是线段AD的中点，CD＝16cm。求：
（1）MC的长；（2）AB：BM的值。
图6
2. 如图7所示，已知AB＝40cm，C为AB的中点，D为CB上一点，E为DB的中点，EB＝6cm，求CD的长。
图7
【答案】 1. （1）2cm；（2）4：5 2. 8 cm
列方程解应用题的方法
一. 直译法
设元后，视元为已知数，根据题设条件，把数学语言直译为代数式，即可列出方程。
例1. （2004年山西省）甲、乙两个建筑队完成某项工程，若两队同时开工，12天就可以完成工程；乙队单独完成该工程比甲队单独完成该工程多用10天。问单独完成此项工程，乙队需要多少天？
解：设乙单独完成工程需x天，则甲单独完成工程需（x－10）天。根据题意，得
去分母，得解得经检验，
都是原方程的根，但当
时，
，当
时，
，
因时间不能为负数，所以只能取。
答：乙队单独完成此项工程需要30天。
点评：设乙单独完成工程需x天后，视x为已知，则根据题意，原原本本的把语言直译成代
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数式，则方程很快列出。 二. 列表法
设出未知数后，视元为已知数，然后综合已知条件，把握数量关系，分别填入表格中，则等量关系不难得出，进而列出方程（组）。
例2. （2004年海淀区）在某校举办的足球比赛中规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。某班足球队参加了12场比赛，共得22分，已知这个队只输了2场，那么此队胜几场？平几场？
解：设此队胜x场，平y场
由列表与题中数量关系，得
解这个方程组，得
答：此队胜6场，平4场。
点评：通过列表格，将题目中的数量关系显露出来，使人明白，从胜、平、负的场数之和等于12，总得分22分是胜场、平场、负场得分之和。建立方程组，利用列表法求解使人易懂。 三. 参数法
对复杂的应用题，可设参数，则往往可起到桥梁的作用。
例3. 从A、B两汽车站相向各发一辆车，再隔相同时间又同时发出一辆车，按此规律不断发车，且知所有汽车的速度相同，A、B间有骑自行车者，发觉每12分钟，后面追来一辆汽车，每隔4分钟迎面开来一辆汽车，问A、B两站每隔几分钟发车一次？
解：设汽车的速度为x米/分；自行车的速度为y米/分，同一车站发出的相邻两辆汽车相隔m米。A、B两站每隔n分钟发一次车。则从A站发来的两辆汽车间的距离为12［（汽车行进速度）－（自行车行进速度）］，从B站发来的两辆汽车间的距离为：4［（汽车行进速度）＋（自行车行进速度）］。由题意，得
得：
所以
由（3）得，又由（4）得
答：A、B两站相隔6分钟发车一次。
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点评：本例不用直接设元，因为无从着手，需要的已知量较多，但又是未知的，而选用x、y、m、n的参数，从而很容易列出方程组，使复杂的问题迎刃而解。 四. 线示法
运用图线，把已知和未知条件间的数量关系，用线性图表示出来，则等量关系可一目了然。 例4. A、B两地间的路程为36里，甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，二人相遇后，甲再走2小时30分钟到达B地，乙再行走1小时36分钟到达A地，求二人的速度？
解：设甲的速度为x里/小时，乙的速度为y里/小时，2小时30分小时，1小时36分
小时。从出发到相遇时间小时，甲从A到相遇点C要走里，乙从C地
到A走了里；乙从B到C要走里，甲从C到B走里，从图1可以看清。
图1
于是
解得
答：甲、乙二人的速度分别是8里/小时，10里/小时。
点评：把速度、时间、距离三者关系用线性图表示，再把数量关系写在直线图上，则等量关系一目了然。
圆与圆位置关系中常见辅助线的作法
1. 作相交两圆的公共弦
利用圆内接四边形的性质或公共圆周角，沟通两圆的角的关系。
例1. 如图1，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A、B分别作直线CD、EF，且CD//EF，与两圆相交于C、D、E、F。求证：CE＝DF。
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图1
分析：CE和DF分别是⊙O1和⊙O2的两条弦，难以直接证明它们相等，但通过连结AB，则可得圆内接四边形ABEC和ABFD，利用圆内接四边形的性质，则易证明。 证明：连结AB 因为又所以
即CE//DF 又CD//EF
所以四边形CEFD为平行四边形 即CE＝DF
2. 作两相交圆的连心线
利用过交点的半径、公共弦、圆心距构造直角三角形，解决有关的计算问题。 例2. ⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，两圆的半径分别为
的度数。
和
，公共弦长为12。求
图2
分析：公共弦AB可位于圆心O1、O2同侧或异侧，要求来求解。
解：当AB位于O1、O2异侧时，如图2。 连结O1、O2，交AB于C，则函数可求得
故
。分别在
和
中，利用锐角三角
的度数，可利用角的和或差
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当AB位于O1、O2同侧时，如图3
图3 则综上可知
或
3. 两圆相切，作过切点的公切线 利用弦切角定理沟通两圆中角的关系 例3. 如图4，⊙O1和⊙O2外切于点P，A是⊙O1上的一点，直线AC切⊙O2于C，交⊙O1于B，直线AP交⊙O2于D。求证PC平分
。
图4
分析：要证PC平分而
，即证
的边分布在两个圆中，难以直接证明。
若过P作两圆的公切线PT，与AC交于T 易知
由弦切角定理，得又所以又从而有即PC平分
是
的一个外角
4. 两圆相切，作连心线
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利用连心线经过切点的性质，解决有关计算问题。
例4. 如图5，⊙O1与半径为4的⊙O2内切于点A，⊙O1经过圆心O2，作⊙O2的直径BC，交⊙O1于点D，EF为过点A的公切线，若
，求
的度数。
图5 分析：
是弦切角，要求其度数，需将其转化为圆周角或圆心角，因此连结O1O2、O1A，
则O1O2必过点A，且O2A为⊙O1的直径，易知连结DA，则
。
于是又所以
为锐角
从而有
5. 过小圆圆心作大圆半径的垂线
有关公切线问题常过小圆的圆心作大圆半径的垂线，构造直角三角形。 例5. 如图6，⊙O1与⊙O2外切于点O，两外公切线PCD和PBA切⊙O1、⊙O2于点C、D、B、A，且其夹角为
，
，求两圆的半径。
图6
分析：如图6，连结O1O2、O1A、O2B，过点O2作求出结果。
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，构造，下面很容易
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请同学们自己给出解答。
（答案：两圆的半径分别为3和1）
几何证明的几种特殊方法
一、分解法
即把一个图形分解成几个简单的图形或分成具有某种特殊关系的图形，然后借助于分解后的图形的性质来推导出所要证明的问题的一种方法。
例1. 如图1，ABCD是任意四边形，E、F将AB分成三等分，G、H将CD分成三等分。 求证：四边形EFGH的面积等于四边形ABCD面积的三分之一。
分析：四边形问题我们常分割成三角形问题来解决。于是考虑连结AC、AH、HF、FC，由题意和“等底等高的三角形面积相等”知：
所以
所以又
所以
故
二、特殊化法
即先考察命题的某些特殊情形，从特例中探索一般规律，或从特例中得到启发，从而解决一般问题的一种方法。
例2. 如图2，设P为∠AOB的平分线上一定点，以OP为弦作一圆，分别交OA、OB于C、D。 求证：OC与OD的和为定值。
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分析：学生往往找不到定值是什么，若将“弦OP”特殊化为“直径OP”，则△OPC和△OPD
是全等直角三角形，因而，OC＝OD＝，于是判断OC与OD的和为定值
。故过P作PE⊥OA，PF⊥OB，连PC、PD，可证△PCE≌△PDF，所以CE
＝DF，OE＝OF。
所以
即OC＋OD为定值。 三、扩充法
即把图形扩充为另一个图形，借助于扩充后图形的性质来推导出所要证明的问题的一种方法。 例3. 如图3，已知AD为△ABC的边BC上的中线，O为AD一点，BO、CO与AC、AB分别交于E、F。 求证：EF∥BC
分析：要证两线平行，考虑到平行线的判定，而这里只有BD＝DC，故考虑延长OD至G，使
DG＝OD，扩充得到平行四边形BGCO，则，OF∥BG，
所以，故EF∥BC。
四、类比转换法
即将所要论证的问题进行转换并与其类似的问题对比，从而得到启发，使问题得以解决的一
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种方法。
例4. 如图4，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝108°，AH⊥BC于H，∠DAC＝
。
求证：
分析：这类问题常转换为：，而在直角三角形ADH和AEH中，
和分别为∠DAH的余弦和∠AEH的正弦，由题意可计算知∠DAH＝∠AEH＝18°，联想到
，该问题得证。
五、面积法
即利用面积定理，结合图形中的面积关系，找到与问题相关的数量关系，使问题得到解决的一种方法。
例5. 如图5，平行四边形ABCD中，E在AD上，F在AB上，且DF＝BE，DF与BE交于G。 求证：CG平分∠BGD。
分析：证明角平分线有两种常用方法：这条射线分得的两个角相等或这条射线上一点到角两边的距离相等。
连CE、CF，作高CH、CP，此题图中有，而DF＝BE，故高CP
＝CH，于是CG平分∠BGD。 六、代数法
即根据图形的有关性质布列方程、不等式或函数式等，再利用相关代数知识来解题的一种方法。
例6. 如图6，在凸四边形ABCD中，AB＝2，P是AB边的中点，如果∠DAB＝∠ABC＝∠PDC
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＝90°，求证：四边形ABCD的面积的最小可能值是4。
分析：显然，四边形ABCD的面积的大小与AD、BC的大小有关。故令AD＝x，BC＝a，四边形ABCD的面积＝y，DF⊥CB于F，由题意：AP＝PB＝1，BF＝AD＝x，DF＝AB＝2，
。
所以
所以
因x、y均为正实数，故由一元二次方程的根的判别式得
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