《空间向量在立体几何中的应用》教学设计

一.教学目标

（一）知识与技能

1.理解并会用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值； 2.理解并会用空间向量解决平行与垂直问题. （二）过程与方法

1.体验用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值的过程； 2.体验用空间向量解决平行与垂直问题的过程． （三）情感态度与价值观

1.通过理解并用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值，用空间向量解决平行与垂直问题的过程，让学生体会几何问题代数化，领悟解析几何的思想；

2.培养学生向量的代数运算推理能力； 3.培养学生理解、运用知识的能力． 二.教学重、难点

重点：用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值及解决平行与垂直问题．

难点：用空间向量求二面角的余弦值．

三.教学方法：情景教学法、启发式教学法、练习法和讲授法． 四.教学用具：电脑、投影仪． 五.教学设计 （一）新课导入

1.提问学生：

（1）怎样找空间中线线角、线面角和二面角的平面角？ （2）能否用代数运算来解决平行与垂直问题？ （二）新课学习

1.用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值. （1）设l1,l2是两条异面直线，A,B是l1上的任意两点，C,D是直线l2上的任意

AB•CDAB•CD两点，则l1,l2所成的角的余弦值为.

（2）设AB是平面的斜线，且B,BC是斜线AB在平面内的射影，则

AB•BCAB•BC斜线AB与平面所成的角的余弦值为.设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，则AB与平面所成的角的余弦值为AB•nAB•n.

1

（3）设n1,n2是二面角l的面,的法向量，则平面角或补角的余弦值.

n1•n2n1•n2就是二面角的

例1：在棱长为a的正方体ABCDA'B'C'D'中，EF分别是BC,A'D'的中点， （1）求直线AC与DE所成角的余弦值.

（2）求直线AD与平面B'EDF所成的角的余弦值. 'z A' B' F D' C' （3）求平面B'EDF与平面ABCD所成的角的余弦值.

A B E G D C y x

分析：启发学生找出三条两两垂直的直线AB,AD,AA´，建立空间直角坐标系A-xyz，根据已知找出相关点的坐标，然后写出相关向量的坐标，并进行运算就可以得到所求的结果.

a解：（1）如图建立坐标系，则A'(0,0,a),C(a,a,0),D(0,a,0),E(a,,0).

2a'AC(a,a,a),DE(a,,0).

2cosAC,DE''AC•DE'AC•DE15. 1515. 15'与DE所成的角的余弦值为故AC（2）ADEADF,所以AD在平面B'EDF内的射影在EDF的平分线上，又B'EDF为菱形，DB'为EDF的平分线，故直线AD与平面B'EDF所成的角为ADB'，建立如图所示坐标系，则A(0,0,0),B'(a,0,a),D(0,a,0)，

DA(0,a,0),DB(a,a,a)，cosDA,DB''DA•DB'DA•DB'3. 3故AD与平面B'EDF所成角的余弦值为

3. 3 2

a（3）由A(0,0,0),A'(0,0,a),B'(a,0,a),D(0,a,0),E(a,,0),所以平面ABCD的

2法向量为mAA'(0,0,a),下面求平面B'EDF的法向量，设n(1,y,z)，由

aan•ED0y2'，n(1,2,1). ED(a,,0),EB(0,,a)，'z122n•EB0cosn,mm•nm•n6. 66. 6所以，平面B'EDF与平面ABCD所成的角的余弦值为课堂练习：

1.如图，PA平面ABC，ACBC,PAAC1,BC2，求二面角APBC的余弦值.

参考答案：

P z

E x A D C B y 解：建立如图所示空间直角坐标系Cxyz，取PB的中点D，连DC,可证

DCPB，作AEPB于E，则向量DC与EA的夹角的大小为二面角APBC的大小。

A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,0),P(1,0,1)，D为PB的中点，

121PEAP21(,,)，在RtPAB中，. 2222EBAB33231231,)EA(,,) E分PB的比为，E(,444444312113DC(,,)，EA•DC,EA，

22222 3

13. DC1,cosEA,DC23312二面角APCC的余弦值为

3. 3引导学生归纳：

用空间向量求二面角的余弦值时，是将求二面角的余弦值问题转化为求两平面的法向量的夹角的余弦值问题，这里要明确：

（1）当法向量n1与n2的方向分别指向二面角内侧与外侧时，二面角的大小等于法向量n1与n2的夹角的大小；

（2）当法向量n1与n2的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于法向量n1与n2的夹角的补角n1,n2.

2.利用向量向量解决平行与垂直问题.

例2：如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，AB5,点D是AB的中点， （I）求证：AC⊥BC1； （II）求证：A1C //平面CDB1.

分析：启发学生找出三条两两垂直的直线CA,CB,CC1，建立空间直角坐标系C-xyz，根据已知找出相关点的坐标，然后写出相关向量的坐标，并进行运算就可以得到两条直线垂直或平行.

解：∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC、BC、C1C两两垂直，如图，以C为坐标原点，直线CA、CB、C1C分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则C（0,0，0），A（3,0，0），C1（0,0，4），B（0,4，0），

3B1（0,4，4），D（，2,0）

2（1）∵AC＝（－3,0，0），BC1＝（0，－4,0），∴AC•BC1＝0，∴AC⊥BC1.

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（2）设CB1与C1B的交战为E，则E（0,2，2）.∵DE＝（－（－3,0，4），∴DE3，0,2），AC1＝21AC1，∴DE∥AC1. ∵ DE平面CDB1，AC1平面CDB1.2∴ AC1//平面CDB1.

引导学生归纳：

（1）垂直问题转化为：判定空间向量的数量积是否为零； （2）平行问题转化为：面面平行线面平行线线平行. 课堂练习：

2.在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3,BC4,AB5,AA14, （1）求证ACBC1;（2）在AB上是否存在点D使得AC1CD? （3）在AB上是否存在点D使得A1C//平面CDB1.

参考答案：

A1 C A x D B y C1 Z B1 解：直三棱柱ABCA1B1C1，AC3,BC4,AB5,AC,BC,CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA,CB,CC1分别为x轴y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则C(0,0,4),A(3,0,0),C1(0,0,4)，B(0,4,0),B1(0,4,4).

（1）

AC(3,0,0),BC1(0,4,4)，AC•BC10,ACBC1

ACBC.

（2）假设在AB上存在点D，使得AC1CD，则ADAB(3,4,0) 其中01，则D(33,4,0)，于是CD(33,4,0)由于AC1(3,0,4)，且AC1CD.

所以990得1，所以在AB上存在点D使得AC1CD，且这时点D与点B重合.

（3）假设在AB上存在点D使得AC1//平面CDB1，则ADAB(3,4,0)

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其中01则D(33,4,0)，B1D(33,44,4)又B1C(0,4,4).

由于

AC1(3,0,4)，AC1//平面CDB1，所以存在实数

m,n,使AC1mB1DnBC1成立，m(33)3,m(44)4n0,4m4n4,所以1，所以在AB上存在点D使得AC1//平面CDB1，且D使AB的中点. 2

引导学生感悟：

空间向量有一套良好的运算性质，它可以把几何图形的性质转化为向量运算，实现了数与形的结合，在解决立体几何的夹角、平行与垂直等问题中体现出巨大的优越性.

（二）课外作业

1.如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB=90°，CB=1,CA=3, AA1=6,M为侧棱CC1上一点, AMBA1． （1）求证: AM平面A1BC；

A

CB

（2）求二面角B－AM－C的大小；

M

C

A B

2.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝2AB. CB＝2(1)证明：BC1∥平面A1CD；

(2)求二面角D－A1C－E的正弦值．

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