2019-2020学年广东省深圳高中九年级（上）期末数学试卷
一．选择题（共12小题，每小题3分，共计36分）
1．（3分）如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，其左视图为（ ）
A．2．（3分）已知A．x＝2，y＝3
B． C． D．
，则下列式子一定正确的是（ ） B．2x＝3y
C．
D．
3．（3分）如果点P（﹣2，m）在双曲线y＝﹣A．5
B．﹣5
上，那么m的值是（ ） C．10
D．﹣10
4．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣2＝0，配方后得到的方程是（ ） A．（x﹣3）2＝2
B．（x﹣3）2＝8
C．（x﹣3）2＝11
D．（x+3）2＝9
5．（3分）把同一副扑克牌中的红桃2、红桃3、红桃4三张牌背面朝上放在桌子上，从中随机抽取两张，牌面的数字之和为奇数的概率为（ ） A．
B．
C．
D．
6．（3分）在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则sin∠BAC的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（3分）如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明（ ）
A．AC与BD互相垂直平分
B．∠A＝∠B且AC＝BD
C．AB＝AD且AC＝BD 8．（3分）对于二次函数y＝﹣
D．AB＝AD且AC⊥BD
（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（ ）
A．当x＞2时，y随x的增大而增大 B．当x＝2时，y有最大值﹣3
C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣3） D．图象与x轴有两个交点
9．（3分）如图，点A，B分别在反比例函数y＝的值为（ ）
（x＞0），y＝
（x＜0）的图象上．若OA⊥OB，
＝2，则a
A．﹣4
B．4
C．﹣2
D．2
10．（3分）已知点A（﹣2，a），B（2，b），C（4，c）是抛物线y＝x2﹣4x上的三点，则a，b，c的大小关系为（ ） A．b＞c＞a
B．b＞a＞c
C．c＞a＞b
D．a＞c＞b
11．（3分）如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD、CE，若AC：BC＝3：4，则BD：CE为（ ）
A．5：3
B．4：3
C．
：2
D．2：
12．（3分）如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME＝90°，②∠BAF＝∠EDB，③AM＝
MF，④ME+MF＝
MB．其中正确结论的有（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
二．填空题（共4小题，每小题3分，共计12分） 13．（3分）方程x2＝2020x的解是 ． 14．（3分）若关于x的方程（a﹣1）x
﹣7＝0是一元二次方程，则a＝ ．
AD，CE交AB于点F．若AF＝2cm，
15．（3分）如图，AD是△ABC的中线，点E是线段AD上的一点，且AE＝则AB＝ cm．
16．（3分）如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA，AB，且OA＝AB．过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（其中x＞0）的图象于点C，连接OC交AB于点D，则
的值为 ．
三．解答题（共7小题，17题5分，18题6分，19题7分，20、21题每题8分，22、23题每题9分） 17．（5分）计算：|1﹣cos30°|+
﹣（﹣
）1﹣（5﹣π）0
﹣
18．（6分）“校园读诗词诵经典比赛”结束后，评委刘老师将此次所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图，部分信息如图：
（1）参加本次比赛的选手共有 人，参赛选手比赛成绩的中位数在 分数段；补全频数直方图． （2）若此次比赛的前五名成绩中有2名男生和3名女生，如果从他们中任选2人作为获奖代表发言，请利用表格或画树状图求恰好选中1男1女的概率．
19．（7分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30C港在A港北偏东20°方向， 求（1）∠C的度数．
（2）A，C两港之间的距离为多少km．
km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，
20．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，过点B作AC的平行线交∠CAB的平分线于点D，过点D作AB的平行线交AC于点E，交BC于点F，连接BE，交AD于点G． （1）求证：四边形ABDE是菱形； （2）若BD＝14，cos∠GBH＝
，求GH的长．
21．（8分）四川是闻名天下的“熊猫之乡”，每年到大熊猫基地游玩的游客络绎不绝，大学生小张加入创业项目，
项目帮助她在基地附近租店卖创意熊猫纪念品．已知某款熊猫纪念物成本为30元/件，当售价为45元/件时，每天销售250件，售价每上涨1元，销量下降10件．
（1）求每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）若每天该熊猫纪念物的销售量不低于240件的情况下，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大？最大利润是多少？
（3）小张决定从这款纪念品每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后这款纪念品每天剩余利润不低于3600元，试确定该熊猫纪念物销售单价的范围．
22．（9分）（1）如图1，在△ABC中，AB＞AC，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，若AD＝2，AE＝则
的值是 ；
的值变化
，
（2）如图2，在（1）的条件下，将△ADE绕点A逆时针方向旋转一定的角度，连接CE和BD，吗？若变化，请说明理由；若不变化，请求出不变的值；
（3）如图3，在四边形ABCD中，AC⊥BC于点C，∠BAC＝∠ADC＝θ，且tanθ＝请直接写出线段BD的长度 ．
，当CD＝6，AD＝3时，
23．（9分）如图①，抛物线y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积是6．
（1）求a的值；
（2）在△ABC内是否存在一点M，使得点M到点A、点B和点C的距离相等，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，且∠PAQ＝∠AQB，求点Q的坐标．
2019-2020学年广东省深圳高中九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，每小题3分，共计36分）
1．【解答】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形， 故选：D． 2．【解答】解：A．由B．由C．由D．由故选：D．
3．【解答】解：∵点P（﹣2，m）在双曲线y＝﹣∴m＝﹣故选：A．
4．【解答】解：∵x2﹣6x﹣2＝0， ∴x2﹣6x＝2， ∴（x﹣3）2＝11， 故选：C．
5．【解答】解：根据题意画树状图如下：
＝5．
上，
，可得3x＝2y，故x＝2，y＝3不一定成立，本选项不合题意；
，可得3x＝2y，故2x＝3y不成立，本选项不合题意； ，可得，可得
﹣1＝+1＝
﹣1，即+1，故
＝﹣
，故
＝
不成立，本选项不合题意；
，本选项符合题意；
∵共有6种等可能的结果，从中随机抽取两张，牌面的数字之和为奇数的有4种情况， ∴从中随机抽取两张，牌面的数字之和为奇数的概率为：故选：D．
6．【解答】解：设小正方形的边长为1，作CD⊥AB的延长线于点D．
＝
；
∵在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，CD＝3，AC＝∴sin∠BAC＝故选：A．
＝
，
＝5
7．【解答】解：A、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能判断平行四边形ABCD是正方形； B、一组邻角相等的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形也是矩形，即只能证明四边形ABCD是矩形，不能判断四边形ABCD是正方形；
C、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形为矩形，所以能判断四边形ABCD是正方形；
D、根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，或者对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能判断平行四边形ABCD是正方形； 故选：C．
8．【解答】解：∵二次函数y＝﹣
（x﹣2）2﹣3，
∴当x＞2时，y随x的增大而减小，故选项A错误；
当x＝2时，该函数取得最大值，最大值是﹣3，故选项B正确； 图象的顶点坐标为（2，﹣3），故选项C错误； 当y＝0时，0＝﹣故选：B．
9．【解答】解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N， ∴∠AMO＝∠BNO＝90°， ∴∠AOM+∠OAM＝90°， ∵OA⊥OB，
∴∠AOM+∠BON＝90°，
（x﹣2）2﹣3无解，故选项D错误；
∴∠OAM＝∠BON， ∴△AOM∽△OBN，
∵点A，B分别在反比例函数y＝∴S△AOM：S△BON＝1：（﹣a）， ∴AO：BO＝1：∵OB：OA＝2， ∴a＝﹣4， 故选：A．
，
（x＞0），y＝
（x＜0）的图象上，
10．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝2，当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜2时，y随x的增大而减小， ∵点A（﹣2，a），B（2，b），C（4，c）是抛物线y＝x2﹣4x的三点， ∵2﹣（﹣2）＝4，2﹣2＝0，4﹣2＝2， ∴a＞c＞b， 故选：D．
11．【解答】解：∵∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE，
，
∵∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE， 即∠CAE＝∠BAD， ∵
，
∴△ACE∽△ABD， ∴
，
∵AC：BC＝3：4，∠ACB＝∠AED＝90°， ∴AC：BC：AB＝3：4：5， ∴BD：CE＝5：3， 故选：A．
12．【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°， ∵E、F分别为边AB，BC的中点， ∴AE＝BF＝
BC，
在△ABF和△DAE中，，
∴△ABF≌△DAE（SAS）， ∴∠BAF＝∠ADE，
∵∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°， ∴∠ADE+∠DAF＝∠BAD＝90°，
∴∠AMD＝180°﹣（∠ADE+∠DAF）＝180°﹣90°＝90°， ∴∠AME＝180°﹣∠AMD＝180°﹣90°＝90°， 故①正确；
∵DE是△ABD的中线， ∴∠ADE≠∠EDB， ∴∠BAF≠∠EDB， 故②错误；
设正方形ABCD的边长为2a，则BF＝a， 在Rt△ABF中，AF＝
＝
a，
∵∠BAF＝∠MAE，∠ABC＝∠AME＝90°， ∴△AME∽△ABF， ∴
＝
，即
＝a，
a﹣
a＝
a，
，
解得：AM＝
∴MF＝AF﹣AM＝
∴AM＝MF，
故③正确；
如图，过点M作MN⊥AB于N， 则
＝
＝
，
即＝＝a，AN＝
， a， a＝
a， ＝
a＝
a，
a， MB＝
a＝
a，
解得MN＝
∴NB＝AB﹣AN＝2a﹣根据勾股定理，BM＝∵ME+MF＝∴ME+MF＝
a+MB．
综上所述，正确的结论有①③④共3个． 故选：B．
二．填空题（共4小题，每小题3分，共计12分） 13．【解答】解：∵x2﹣2020x＝0， ∴x（x﹣2020）＝0， 则x＝0或x﹣2020＝0， 解得x1＝0，x2＝2020， 故答案为：x1＝0，x2＝2020．
14．【解答】解：方程（a﹣1）xa2+1﹣7＝0是一元二次方程， ∴a2+1＝2，a﹣1≠0， 解得，a＝﹣1，
故答案为：﹣1．
15．【解答】解：如图所示，过A作AG∥BC，交CF的延长线于G， ∵AE＝
AD，AG∥BC，
∴△AEG∽△DEC， ∴
＝
＝
，
又∵AD是△ABC的中线， ∴BC＝2CD， ∴
＝
，
∵AG∥BC， ∴△AFG∽△BFC， ∴
＝
＝
，
∴BF＝4AF＝8cm， ∴AB＝AF+BF＝10cm， 故答案为：10．
16．【解答】解：过点A作AH⊥x轴，垂足为H，AH交OC于点M，如图， ∵OA＝AB，AH⊥OB， ∴OH＝BH＝
OB，
），C（2a，
），
设OH＝BH＝a，则A（a，∵AH∥BC， ∴MH＝
BC＝
， ﹣
∴AM＝AH﹣MH＝∵AM∥BC，
＝，
∴△ADM∽△BDC， ∴
＝
＝
．
三．解答题（共7小题，17题5分，18题6分，19题7分，20、21题每题8分，22、23题每题9分） 17．【解答】解：原式＝1﹣＝2+
．
+2
+2﹣1
18．【解答】解：（1）（2+3）÷10%＝50， 所以参加本次比赛的选手共有50人，
频数直方图中“79.5～89.5”这两组的人数为50×36%＝18人，
所以频数直方图中“69.5～74.5”这一组的人数为50﹣5﹣8﹣18﹣8﹣4＝7（人）； “84.5～89.5”这一组的人数为18﹣10＝8（人），补图如下：
中位数是第25和第26位选手成绩的平均数，即在79.5～84.5分数段； 故答案为：50，79.5～84.5；
（2）画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中恰好选中1男1女的结果数为12， 所以恰好选中1男1女的概率＝
＝
．
19．【解答】解：（1）由题意得：∠ACB＝20°+40°＝60°；
（2）由题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30过B作BE⊥AC于E，如图所示： ∴∠AEB＝∠CEB＝90°， 在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∵AB＝30 ∴AE＝BE＝
，
AB＝30，
，
，
在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，tan∠ACB＝∴CE＝
＝
＝10，
）km． ，
∴AC＝AE+CE＝30+10
∴A，C两港之间的距离为（30+10
20．【解答】（1）证明：∵AC∥BD，AB∥ED， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD＝∠BAD，
∵AC∥BD， ∴∠CAD＝∠ADB， ∴∠BAD＝∠ADB， ∴AB＝BD，
∴四边形ABDE是菱形；
（2）解：∵∠ABC＝90°， ∴∠GBH+∠ABG＝90°， ∵AD⊥BE，
∴∠GAB+∠ABG＝90°， ∴∠GAB＝∠GBH， ∵cos∠GBH＝∴cos∠GAB＝∴
＝
＝
， ， ，
∵四边形ABDE是菱形，BD＝14， ∴AB＝BD＝14， ∴AH＝16，AG＝∴GH＝AH﹣AG＝
， ．
21．【解答】解：（1）根据题意，得 y＝250﹣10（x﹣45）＝﹣10x+700．
答：每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝﹣10x+700． （2）销售量不低于240件，得﹣10x+700≥240 解得x≤46， ∴30＜x≤46．
设销售单价为x元时，每天获取的利润是w元，根据题意，得 w＝（x﹣30）（﹣10x+700） ＝﹣10x2+1000x﹣21000
＝﹣10（x﹣50）2+4000 ∵﹣10＜0，
所以x＜50时，w随x的增大而增大， 所以当x＝46时，w有最大值，
w的最大值为﹣10（46﹣50）2+4000＝3840．
答：销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元． （3）根据题意，得
w﹣150＝﹣10x2+1000x﹣21000﹣150＝3600 即﹣10（x﹣50）2＝﹣250 解得x1＝55，x2＝45，
根据图象得，当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．
22．【解答】解：（1）∵DE∥BC， ∴
＝
＝
＝
；
故答案为： （2）
．
的值不变化，值为；理由如下：
由（1）得：DE∥B， ∴△ADE∽△ABC， ∴
＝
，
由旋转的性质得：∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE， ∴
（3）在AB上截取AM＝AD＝3，过M作MN∥BC交AC于N，把△AMN绕A逆时针旋转得△ADE，连接CE，如图所示：
＝
＝
．
则MN⊥AC，DE＝MN，∠DAE＝∠BAC， ∴∠AED＝∠ANM＝90°，
∵AC⊥BC于点C，∠BAC＝∠ADC＝θ，且tanθ＝∴BC：AC：AB＝3：4：5， 同（2）得：△ABD∽△ACE， ∴
＝
＝
，
＝
，
∵MN∥BC， ∴△AMN∽△ABC， ∴
＝
， ×AM＝
×3＝
，
∴MN＝
∵∠BAC＝∠ADC＝θ， ∴∠DAE＝∠ADC＝θ， ∴AE∥CD，
∴∠CDE+∠AED＝180°， ∴∠CDE＝90°，
∴CE＝∴BD＝故答案为
CE＝
＝×．
＝
＝
．
，
23．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+（a+1）x﹣a 令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0 解得x1＝a，x2＝1 由图象知：a＜0 ∴A（a，0），B（1，0） ∵S△ABC＝6 ∴
（1﹣a）（﹣a）＝6
解得：a＝﹣3，（a＝4舍去）；
（2）如图①，∵A（﹣3，0），C（0，3）， ∴OA＝OC，
∴线段AC的垂直平分线过原点，
∴线段AC的垂直平分线解析式为：y＝﹣x， ∵由A（﹣3，0），B（1，0）， ∴线段AB的垂直平分线为x＝﹣1 将x＝﹣1代入y＝﹣x， 解得：y＝1
∴△ABC外接圆圆心的坐标（﹣1，1）
（3）如图②，作PM⊥x轴交x轴于M，则S△BAP＝∵S△PQB＝S△PAB
∴A、Q到PB的距离相等， ∴AQ∥PB
设直线PB解析式为：y＝x+b
AB•PM＝
×4d
∵直线经过点B（1，0）
所以：直线PB的解析式为y＝x﹣1 联立 解得：
．
．
∴点P坐标为（﹣4，﹣5） 又∵∠PAQ＝∠AQB， ∴∠BPA＝∠PBQ， ∴AP＝QB，
在△PBQ与△BPA中，
，
∴△PBQ≌△ABP（SAS）， ∴PQ＝AB＝4 设Q（m，m+3） 由PQ＝4得：
（m+4）2+（m+3+5）2＝42
解得：m＝﹣4，m＝﹣8（当m＝﹣8时，∠PAQ≠∠AQB，故应舍去） ∴Q坐标为（﹣4，﹣1）．
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