2020年河南省适应性考试试卷及答案文

2020年普通高中毕业班高考适应性测试 数 学 试 题（文）

本试题卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。考生作答时，将答

案答在答题卡

上（答题注意事项见答题卡），在本试题卷上答题无效。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。 1．集合M{yR|y3x},N{1,0,1}，则下列结论正确的是

A．MIN{0,1}

（ ）

B．MUN(0,)

C．(CRM)UN(,0) D．(CRM)IN{1,0}

2的虚部是 1i （ ） A．0 B．-1 C．1 D．-i 3．如图是2020年某市元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评 委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最 低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 （ ） A．84，0.4 B．84.8，0.64 C．85，3.2 D．85.8，4

2．i是虚数单位，复数z4．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)上单调递减的函数是

A．ylnx.

（ ）

B．yx2 C．y2|x| D．ycosx.

5．阅读右面的程序框图，若输入a8,b2，则输出的结果是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3

6．已知函数f(x)x A．m4

m,x(0,)(m0)，若不等式f(x)4的解集是空集，则x（ ） B．m2 C．m4 D．m2

xax(0a1)的图象大致形状是 7．函数y |x| （ ）

8．若点P(cos,sin)在直线x2y0上，则cos2= 3A．

5（ ）

1B．

2223C．

51D．

21xy1,9．设实数x，y满足xy1，则点(x,y)不在区域内的概率是

1xy1

1A．

4（ ）

2B．1

C．

2 1D．

810．已知平面向量a,b(a0,ab)，满足|a|3，且b与b-a的夹角为30，则|b|的最大值为（ ） A．2 B．4

C．6

D．8

11．将函数ysin(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），

3再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是

3

1A．ysinx

21C．ysin(x)

26（ ）

1B．ysin(x)

22D．ysin(2x)

6x2y212．已知F1，F2分别是双曲线221(a0,b0)的左、右焦点，P为双曲线上的

ab一点，若F1PF290，且F2PF2的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是 （ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必

须做答。第

22~24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．命题“存在xR，使得|x1||x1|3”的否定是 。 14．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个

几何体的表面积是 cm2。

15．经过点P（0，-1）作圆C:x2y26x70的切线，切点为A，则切线PA的

长为 。

16．已知ABC的A,B,C对边分别为a，b，c，ab=4且

a2c2(2ab)b,则ABC的面积为 .

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．已知数列{an}的首项a11，且满足an1an(nN*). 4an1（1）设bn1，求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式； an（2）设cnbn2n，求数列{cn}的前n项和Sn.

18．（本小题满分12分）

某高校在2020年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩

分组，得到的频率分布表如下左图所示．

（I）请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据，再在答题纸上完成下列频率

分布直方图；

（Ⅱ）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分

层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？

（Ⅲ）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官的

面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P - ABCD中，平面PAD上平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三

角形，已知BD =2AD =8，AB =2DC =45。 （I）设M是PC上的一点，证明：平面MBD平面PAD； （Ⅱ）求三棱锥C—PAB的体积

20．（本小题满分12分）

x2y21已知椭圆C:221(ab0)的离心率为，椭圆上的点到右焦点F的最近距离

ab3为2，若椭圆C与x轴交于A、B两点，M是椭圆C上异于A、B的任意一点，直

线MA交直线l:x9于G点，直线MB交直线l于H点。 （1）求椭圆C的方程；

uuuruuur（2）试探求FGFH是否为定值？若是，求出此定值，若不是说明理由。

21．（本小题满分12分）

1设函数f(x)lnxax2bx.

2（1）已知f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程是y2x1,求实数a，b的值。 （2）若方程f(x)x2(0)有唯一实数解，求实数的值。

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的

第一题记分。

做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，已知ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DEBC，

垂足为E，连结OE。若CD3,ACB30，分别求AB，OE的长。

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知曲线C1的极坐标方程为4sin，曲线C2的极坐标方程为线C1，C2相交于点M，N。

（1）将曲线C1，C2的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求线段MN的长。

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数f(x)|3x1|ax3. （1）若a=1，解不等式f(x)5；

（2）若函数f(x)有最小值，求实数a的取值范围。

6(R)，曲

参考答案 一、选择题 题号 1 答案 D 二、填空题 2 B 3 C 4 C 5 A 6 A 7 D 8 A 9 B 10 C 11 C 12 D （13） “对于任意的xR，都有x1x1≤3” （14）3232 （15） 22 （16）2 三、解答题 （17）解：

（Ⅰ）an1an11114，4，bn1bn4. ，

anan1an4an1an1数列bn是以1为首项，4为公差的等差数列．……………………………………3分

11bn14(n1)，则数列an的通项公式为an．………………… 6an4n3分

（Ⅱ）Sn21522923(4n3)g2n……………①

2Sn22523924(4n3)g2n1……………… ②

②①并化简得Sn(4n7)g2n114．……………………………………………12分 （18）解：

（Ⅰ）由题意知，第2组的频数为0.3510035人,

30第3组的频率为0.300,

100频率分布直方图如下:

………………………………………………………………4分

（Ⅱ）因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组

分别为:

30第3组:63人.

6020第4组:62人.

6010第5组:61人,

60所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人.…………………………………………8分

（Ⅲ）设第3组的3位同学为A1,A2,A3,第4组的2位同学为B1,B2,第5组的1位同学为C1,

则从六位同学中抽两位同学有15种可能如

下:(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),

(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),其中第4组的2位同学至少有

一位同学

入

选的

有:(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(B1,B2),(A3,B2),(B1,C1),(B2,C1),

共9种．

所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为12分

（19）证明：

（Ⅰ）在△ABD中，由于AD4，BD8，AB45，

所以AD2BD2AB2．故ADBD．……………………………………………2分

又平面PAD平面ABCD，平面PADI平面ABCDAD，BD平面ABCD， 所

以

93.………………155BD平面

PAD. …………………………………………………………………4分

又BD平面MBD，故平面MBD平面PAD．…………………………………6分

（Ⅱ）过P作POAD交AD于O， 由于平面PAD平面ABCD， P 所以PO平面ABCD．

因此PO为棱锥P－ABC的高.………………8分 M A B 又△PAD是边长为4的等边三角形．

3423． 因此PO2O D C 又SABCSABD分

1ADBD16，………10213231623.……………………………………1233V棱锥C-PABV棱锥P-ABC分

（20）解：

（Ⅰ）由题意得

c1c1,,…………………………………………………………………a3a3.ac2…2分

椭

圆

C的方程为：

x2y21.…………………………………………………………4分 98（Ⅱ）设M,A,B的坐标分别为M(x0,y0)、A(3,0)、B(3,0), 则直线MA的方程为：y6分

令x9得G(9,分

12y06y0)，同理得H(9,).………………………………………8x03x03y0(x3)………………………………………………x032x02y02x021y08(1).………………………………10所以QM在椭圆上，

989分

2x0728(1)uuuruuur6y012y072y0290. )(8,)64264所以FGFH(8,2x03x03x09x09

所以

uuuruuurFGFH为定值

0. ………………………………………………………………12分

1（21）解：（Ⅰ）当x1时，y1，∴f1ab1.

21∵f'(x)axb，即f'11ab2，∴a0,b1.…………………4

x分（Ⅱ）因为方程f(x)x2有唯一实数解，

所以x2lnxx0有唯一实数解.…………………………………………………6分

设g(x)x2lnxx，

2x2x1则g'(x)．令g'(x)0，2x2x10．

x因为0，所以△=1+8>0，方程有两异号根设为x10,x20，因为x>0，所以x1应舍去.

当x(0,x2)时，g'(x)0，g(x)在（0，x2）上单调递减； 当x(x2,)时，g(x)0，g(x)在（x2，+∞）单调递增.

当xx2时，g(x2)=0，g(x)取最小值g(x2)．……………………………………8分 因为g(x)0有唯一解，所以g(x2)0.

2g(x2)0,x2lnx2x20,则即………………………………………………10分 2g'(x2)0,2x2x210.因为0，所以2lnx2x210.（*）

设函数h(x)2lnxx1. 因为当x0时，h(x)是增函数，所以h(x)0至多有一解．

因为h(1)0，所以方程（*）的解为x21.

代入方程组解得1．…………………………………………………………………12分

（22）解：

ACB30,ABBC，CAB30.

C

D E A

O

B

又因AB是⊙O的直径， 所以ADB90，ABD60. 又因OBOD，

AB2OB2OD2BD，ADDC3. 所以AB2.

OBODBD1. ……………………………………………………………

…6分

ACB30，CDE60,DE3. 2OAOD，ADO30，ODE90，OE（23）解:

371.……10分 42（Ⅰ）由4sin得，24sin即曲线C1的直角坐标方程为

x2y24y0，由6(R)得，

y3x.………………………………………………………5分 33143x代入x2y24y0得x2x2x0， 333（Ⅱ）把y443即x2x0.解得x10，x23. 33所以y10，y21，MN312.…………………………………………10分

（24）解：

（Ⅰ）a1时，f(x)|3x1|x3.

当x≥13时，f(x)≤5可化为3x1x3≤5，解之得13≤x≤34； 当x13时，f(x)≤5可化为3x1x3≤5，解之得112≤x3.

综

上

可

得

，

原

不

等

式

的

解

集

{x|12≤x≤34}.……………………………………5分

(3a)x2,(x1（Ⅱ）f(x)|3x1|ax3≥3)

(a3)x4.(x13)函数f(x)有最小值的充要条件为

3a≥0,a3≤0,3≤a≤3.……………………10分

为

即