因式分解经典讲义

第一部分：方法介绍

提公因式法。：ma+mb+mc=m（a+b+c)

1、多项式15m3n25m2n20m2n3的公因式是（ ） A、5mn B、5m2n2 C、5m2n D、5mn2

2．把（x－y）2

－(y－x)分解因式为( ) A．（x－y）（x－y－1） B．（y－x）（x－y－1) C．（y－x)(y－x－1) D．（y－x）（y－x＋1)

3、用提提公因式法分解因式5a(x－y）－10b·(x－y)，提出的公因式应当为( A、5a－10b B、5a＋10b C 、5(x－y) D、y－x

4、nxny 5、

mmnnnm

6、计算 9992

＋999

7、已知：x＋y=

12,xy=1.求x3y＋2x2y2＋xy3

的值。

运用公式法。

(1)（a+b)（a-b） = a2—b2 —————--—-a2—b2

=(a+b）（a—b）；

(2） （a±b）2 = a2±2ab+b2 ——— a2±2ab+b2=（a±b）2

;

（3） （a+b)（a2-ab+b2) =a3+b3—————— a3+b3=(a+b）（a2—ab+b2

）;

（4） （a-b）（a2+ab+b2) = a3—b3 -—-—--a3—b3=(a-b）（a2+ab+b2

）． 下面再补充两个常用的公式：

(5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c)2

；

（6）a3+b3+c3—3abc=（a+b+c）(a2+b2+c2

—ab—bc—ca）；

例1、若k—12xy+9x2

是一个完全平方式,那么k应为（ )

A.2 B。4 C.2y2 D。4y

2

例2、把16－x4

分解因式，其结果是（ )

A、(2－x）4 B、(4＋x2）（ 4－x2

）

C、(4＋x2)（2＋x)(2－x） D、（2＋x）3

(2－x)

1

）例3、（1）4m9n (2）、a2abab （3)、

22322x2416x22

练习1、若9a2

＋6（k－3）a＋1是完全平方式，则 k的值是（ ) A、±4 B、±2 C、3 D、4或2

2、9(mn)216(mn)2； 3、(x－2）2－x＋2 4、2022－542＋256×352

5、19971997219961998

6、已知a，b，c是ABC的三边,且a2b2c2abbcca，则ABC的形状是( A。直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形

分组分解法.

(一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：amanbmbn

例2、分解因式：2ax10ay5bybx

练习：分解因式1、a2abacbc 2、xyxy1

（二）分组后能直接运用公式 例1、分解因式：x2y2axay

）

2

例2、分解因式:a22abb2c2

练习：分解因式1、x2x9y23y 2、x2y2z22yz

3、x22xyxzyzy2

四、十字相乘法。

（一）二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——x2(pq)xpq(xp)(xq)进行分解。 特点：（1）二次项系数是1；

（2)常数项是两个数的乘积；

（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

例1、分解因式：x25x6

例2、分解因式：x27x6

练习1、分解因式（1）x214x24 （2)a215a36 (3）x24x5

3

练习2、分解因式（1）x2x2 （2）y22y15 （3）x210x24

(二）二次项系数不为1的二次三项式——ax2bxc 条件：（1)aa1a2 a1 c1

（2）cc1c2 a2 c2 (3)ba1c2a2c1 ba1c2a2c1 分解结果：ax2bxc=(a1xc1)(a2xc2)

例1、分解因式：3x211x10

练习、分解因式：（1)5x27x6 (2）3x27x2

(3）10x217x3 （4)6y211y10

（三）二次项系数为1的齐次多项式

例1、分解因式：a28ab128b2

练习、分解因式(1）x23xy2y2（2）m26mn8n2（3)a2ab6b2

4

(四）二次项系数不为1的齐次多项式

例9、2x7xy6y 例10、xy3xy2

22 练习、分解因式：(1）15x7xy4y （2）ax6ax8

五、综合应用。

222222

1． 已知：a、b、c为三角形的三边，比较a2b2c2和4a2b2的大小.

2．求证:四个连续自然数的积再加上1,一定是一个完全平方数．

3．证明：（ac－bd)＋(bc＋ad)=(a＋b）（c＋d)．

4．已知a=k＋3，b=2k＋2，c=3k－1，求a2＋b2＋c2＋2ab－2bc－2ac的值．

5．若x＋mx＋n=（x－3)（x＋4），求（m＋n）的值．

6．当a为何值时，多项式x＋7xy＋ay－5x＋43y－24可以分解为两个一次因式的乘积．

7．若x，y为任意有理数,比较6xy与x＋9y的大小．

8．两个连续偶数的平方差是4的倍数．

5

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

因式分解练习题精选 一、填空：(30分）

1、若x22(m3)x16是完全平方式，则m的值等于_____. 2、x2xm(xn)2则m=____n=____ 3、2x3y2与12x6y的公因式是＿

4、若xmyn=(xy2)(xy2)(x2y4),则m=_______,n=_________。5、在多项式3y2•5y315y5中，可以用平方差公式分解因式的 有________________________ ,其结果是 _____________________. 6、若x22(m3)x16是完全平方式,则m=_______。 7、x2(_____)x2(x2)(x_____) 8、已知1xx2x2004x20050,则x2006________.

9、若16(ab)2M25是完全平方式M=________. 10、x26x__(x3)2， x2___9(x3)2

11、若9x2ky2是完全平方式，则k=_______。

12、若x24x4的值为0，则3x212x5的值是________. 13、若x2ax15(x1)(x15)则a=_____。 14、若xy4,x2y26则xy___.

15、方程x24x0，的解是________。

二、选择题:（10分）

6

1、多项式a(ax)(xb)ab(ax)(bx)的公因式是（ ）

A、－a、 B、a(ax)(xb) C、a(ax) D、a(xa)

2、若mx2kx9(2x3)2，则m，k的值分别是（ ） A、m=-2,k=6，B、m=2,k=12，C、m=—4，k=-12、D m=4，k=12、

3、下列名式：x2y2,x2y2,x2y2,(x)2(y)2,x4y4中能用平方差公式分解因式的有( ）

A、1个，B、2个，C、3个，D、4个 4、计算(1122)(1133)(11192)(1102)的值是（ ） A、

112 B、

20,C.110,D.1120 三、分解因式：（30分)

1 、x42x335x2 2 、 3x63x2

3 、 25(x2y)24(2yx)2 4、x24xy14y2

5、x5x 6、x31

6、ax2bx2bxaxba 8、x418x281

9 、9x436y2 10、(x1)(x2)(x3)(x4)24

四、代数式求值（15分)

7

1、 已知2xy

14334，xy2，求 2xyxy的值。 32、 若x、y互为相反数，且(x2)(y1)4,求x、y的值

3、 已知ab2，求(ab)8(ab)的值

五、计算： （15)

222222231（1） 0。753.662.66 （2） 42

（3）25685622244

六、分解因式 (x1)(x2)(x3)(x6)x

22001122000

22111111七、 已知:a、b、c是非零实数,且a2b2c21，a()b()c()3,求a+b+c

bccaab的值.

8