0)有两个零点.笔者针对这种“公切线分隔法”，提炼出一般 解题思路为：证明或求解/(%) <^(%)或/(%)>
g()时，寻求到曲线y =/(%)，, =《(％)的公切线，
且使得两条曲线分别处于公切线两侧，就可以将原 问题转化为两个简单的不等式问题[2].
3 —探有获
笔者运用“公切线分隔法”研究近几年数学高 考试题中的类似问题，发现此类问题可进一步分为 “公切线共切点”和“不共切点”两种情况，或者曲 线分别处于切线同侧和异侧两种位置关系.近几年 考查此类问题的高考题有：013年全国数学高考 新课标卷n理科第21题、2014年辽宁省数学高考 理科第1题、2014年全国数学高考新课标卷I理 科第1题、2015年山东省数学高考理科第21题
第21题）
分析当m<2时，
/(%) =e% -ln((+m) >e% -ln((+2)， 只需证
e% - ln((+2) >0•
易知y = e%与y = ln(% +2)的图像没有公共点，如 图4，结合函数不等式知％
+ 1(其中y = e%与
y = % + 1仅相切于点(0，1)，且除公共点外，前者在
后者的上方).另外，函数不等式％ + 1>ln(% +2) 类似的几何特征为：=ln(% +2)与y=% + 1仅相 切于点（-1，0)，此外前者在后者的下方.即y = e% 与y = ln(%+2)分别处于公切线y=%+ 1的两侧， 由图4知/(%) >0显然成立•
例 3 已知函数/(%) = a%3 - 3%2 + 1，若/(%)
存在唯一的零点％ 0，且％。>0,则a的取值范围为
(
)
A. (2，+^) B.(1，+^)C.(-^，-2)
D.(-^，-1)
(2014年全国数学高考新课标卷I理科试题
第11题）
分析/(%)>0等价于a%3 >3%2-1，构造两 个常规函数g\"(%) = a3和\"（％) = 3%2 - 1，显然仅 当a < 0时，存在唯一的％。> 0使得a; > 3%0 - 1. 如图5,根据三次与二次函数图像的变化趋势，可 猜想:在y轴的左侧存在某种临界状态，即两条曲 线存在共点的切线，且除公共点外(% )的图像恒 在\"(（）图像的上方.
{
3 a% 1 = 6% 1 ,3 2 得
a% 1 = 3% 1 - 1
2017年第7期中学教研（数学）• 23 •
^=-1， a = - 2,
进而求得公切线为6%+y+4=0.当a = -2时，
F(x) =g(x) -h(x) = -—% —->0^ +1 =
(1 -2%)(：\\; + 1)2，
的位置关系为:g(()的图像恒在h(()的上方.由图
6知a<1也满足，故ae [0，1].
将复杂的不等式问题简化为函数的大小问题， 水到渠成地运用数形结合思想，将其化归为曲线位 置关系的研究.解题过程简洁，运算难度降低，解法 略显简捷，以特殊化解决问题，展示了较高的创新 意识和辨析能力.
有兴趣的读者，可继续研究下面两道高考试 题：
即当％ <0时，F(幻>0,当且仅当％ = - 1时，
F(() =0.如图5,显然，要使得有唯一的〜>0满
足 a%〇 - 3%〇 + 1 = 0，必须 a < - 2.
评注将不等式转化、设计成两个函数的不等
关系;辅以简图分析，直观呈现对应曲线间的位置， 为数形结合解决不等式问题提供依据.选取特殊情 形（曲线的相切）为突破，巧妙获取参数的范围，并 推理论证，使得该不等式求参问题获得合理解决. 从以上试题的解答中，可见关键是将不等式拆分为 两个常规的基本函数的不等关系.从函数图像上易 于发现两者位置上的关系，进而确定化归的可能与 类型;辅以数形分析，会使得解答相对简捷[3].4
解后有疑
以上例题中在切点附近，其中一条曲线始终在 另一曲线的上方，而2015年山东省数学高考理科 第21题的第2)小题却略有不同.
例 4 设函数/(%) =ln(% +1) +a(%2
，其
中 a e R.
1略.
2)若对任意％ >0，/(%) >0成立，求a的取值
范围．
(2015年山东省数学高考理科试题第21题） 分析令g(%) = l(> +
1)，h(() = - a(:\\;2-—;)，如图 6,当a>0时才有
ln(( + 1) + a((2--;) >0.
易知g(>)与h(>)相交于点 (0,0)，由 g'(0) =1，h'(0)=
a知g(()与h(>)存在共点的
图6
公切线，此时a = 1且公切线为y + % = 0.
当a = 1时，
F(() =g(() -h(() =ln(( + 1) +^2-求导得 F'(()
-1
2x2+1
+ 2^+1
当％ >0时，F(() >0,则F(()在(0, +^)上单调 递增，即F(() >F(0) =0恒成立.
综上所述，当a = 1时，在y轴的右侧两条曲线
例5 当％ e [ - 2，1]时，不等式a3 -2 +
4+3>0恒成立，则实数a的取值范围是（
）
A. [ _5，_3] B. [ _6，_|]
C. [ _6, _2]
D. [ _4, _3]
(2014年辽宁省数学高考理科试题第11题）例6
已知函数=a3 _2
2 +1(其中％ e
R，a>0)，若在区间[-士，士]上，/() >0恒成
立，求a的取值范围.
(2010年天津市数学高考文科试题第20题） 反思导数解不等式问题的基本方法是构造 函数模型，如何构造、怎样运算、何时分类讨论都是 难点.通过此类题可以考查学生的综合数学素养， 因此参考答案更多的是构造函数解决，利用导数与 单调性知识求最值.若考生熟练掌握常见曲线的几 何特征，则能“以形助数，以数解形”，运用直观的 方式呈现不等关系，从而在模式化的解法基础之 上，又提供了一种新的思路.如此是试题的巧解还 是解答的巧合，亦或是命题人的有心，值得品味！
参考文献
[1] 霍福策，曹军.转化与化归在不等式恒成立 中的应用[J].数学教学研究.2014(1) :45-
48.
[2] 李金兴，许兴铭.函数与导数专题[J].中学 教研（数学），2017(2) :3-38.
[3] 陈晓明.问题到底出在哪儿呢——
对一道导
数试题解法的探究[J].数学教学，2017 (1):
12-13.