二次函数、二次方程和二次不等式

二次函数、二次方程和二次不等式

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来源：《数学金刊·高考版》2013年第03期

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有关二次函数的内容与近现代数学的发展联系紧密，是我们进入高校继续深造的重要知识基础.从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考查力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用. 高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关. ■

学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图象特征.从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理；从图象特征出发，可以实现数与形的自然结合. ■

■ 已知二次函数y=f（x）=x2+bx+c的图象过点（1，13），且函数y=fx-■是偶函数. （1）求f（x）的解析式. （2）已知t

（3）函数y=f（x）的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.

破解思路 （1）待定系数法是求二次函数解析式的基本方法，可设一般式、顶点式、两根式，若是结合图象处理可简化解题过程.

（2）确定函数f（x）在[a，b]上的值域，可直接利用它的图象和性质求解；也可利用单调性的定义或导数法确定其性质，再求值域.

经典答案 （1）因函数y=fx-■是偶函数，对称轴方程为x=-■，故b=1. 又因为二次函数f（x）=x2+bx+c的图象过点（1，13），所以1+b+c=13，故c=11. 因此， f（x）的解析式为f（x）=x2+x+11.

（2）g（x）=（x-2）·x，当x≤0时，g（x）=-（x-1）2+1；当x>0时，g（x）=（x-1）2-1，由此可知g（x）max=0. 当1≤t

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（3）如果函数y=f（x）的图象上存在符合要求的点，设为P（m，n2），其中m为正整数，n为自然数，那么m2+m+11=n2，从而4n2-（2m+1）2=43，即[2n+（2m+1）][2n-（2m+1）]=43.

注意到43是质数，且2n+（2m+1）>2n-（2m+1），2n+（2m+1）>0. 所以可得2n+（2m+1）=43，2n-（2m+1）=1，解得m=10，n=11.

因此可得，函数y=f（x）的图象上存在符合要求的点，且它的坐标为（10，121）. ■ 已知二次函数f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R，a>0），设方程f（x）=x的两个实数根为x1和x2.

（1）如果x1-1； （2）如果x1

破解思路 在求解二次方程根的分布问题时，要灵活运用判别式、边界函数值、对称轴等来转化运算过程. 本题条件x1

经典答案 设g（x）=f（x）-x=ax2+（b-1）x+1，则g（x）=0的两根为x1和x2. （1）由a>0及x10，即4a+2b-10，即3+3·■-■-1.

（2）由（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=■■-■，得2a+1=■. 又x1x2=■>0，故x1，x2同号. 故x10，2a+1=■或g（-2）0，2a+1=■，解之得b■. ■

？摇1. 集合A={（x，y）y=x2+mx+2}，B={（x，y）x-y+1=0，且0≤x≤2}，若A∩B≠■，则实数m的取值范围是_______.

2. 已知关于x的方程x2-2tx+t2-1=0的两个实根属于区间（-2，4），则实数t的取值范围是_______.