全国初中数学竞赛试卷(含答案)

一、选择题：（每小题6分，共30分）

1、已知a、b、c都是实数，并且abc，那么下列式子中正确的是（ ） A、abbc B、abbc C、abbc D、2、如果方程x2px10p0的两根之差是1，那么p的值为（ ） A、2 B、4 C、3 D、5

3、在ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BDCE，BD4，CE6，那么ABC的面积等于（ ）

A、12 B、14 C、16 D、18 4、已知abc0，并且限

A、一、二 B、二、三 C、三、四 D、一、四 9xa05、如果不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a、b的

8xb0ab ccabbccap，那么直线ypxp一定通过第（ ）象cab有序数对（a、b）共有（ ）

A、17个 B、64个 C、72个 D、81个 二、填空题：（每小题6分，共30分）

6、在矩形ABCD中，已知两邻边AD12，AB5，P是AD边上任意一点，PEBD，

PFAC，E、F分别是垂足，那么PEPF___________.2

7、已知直线y2x3与抛物线yx2相交于A、B两点，O为坐标原点，那么OAB的面积等于___________.

8、已知圆环内直径为acm，外直径为bcm，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为__________cm.

9、已知方程a2x23a28ax2a213a150（其中a是非负整数），至少有一个整数根，那么a_______.

10、B船在A船的西偏北450处，两船相距102，若A船向西航行，B船同时向南航行，且B船的速度为A船速度的2倍，那么A、B两船的最近距离是__________km.

三、解答题：（每小题20分，共60分）

11、如图，在等腰ABC中，AB1，A90，点E为腰AC中点，点F在底边BC上，且FEBE，求CEF的面积。

12、设抛物线yx22a1x2aa18323a6的值。

B

F

C

A

E

5的图象与x轴只有一个交点，（1）求a的值；（2）求4

13、A市、B市和C市有某种机器10台、10台、8台，现在决定把这些机器支援给D市18台，E市10台。已知：从A市调运一台机器到D市、E市的运费为200元和800元；从B市调运一台机器到D市、E市的运费为300元和700元；从C市调运一台机器到D市、E市的运费为400元和500元。

（1）设从A市、B市各调x台到D市，当28台机器调运完毕后，求总运费W（元）关于x（台）的函数关系式，并求W的最大值和最小值。

（2）设从A市调x台到D市，B市调y台到D市，当28台机器调运完毕后，用x、y表示总运费W（元），并求W的最大值和最小值。

1998年全国初中数学竞赛试卷参考答案

一、选择题

1、根据不等式性质，选B．

2、由p240及p2，设x1，x2为方程两根，那么有x1x2p，x1x21． 又由x1x2x1x24x1x2

22得：12p4

2所以p25，p5p2 故选D

3、如图，连ED，则S四边形BCDEA

1BDCE12 2E

D

又因为DE是ABC两边中点连线 所以SABC故选C．

abpc4、由条件得bcpa

acpb44S四边形BCDE1216 33B C

三式相加得：2abcpabc 所以有p2或abc0

当p2时，y2x2，则直线通过第一、二、三象限 当abc0时，不妨取abc，于是p所以yx1，则直线通过第二、三、四象限 综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限 故选B

5、由原不等式组可得

ab1c0 cabx，在数轴上画出这个不等式组的解的可以区间，如图 98 a9

-1 0 1 2 3 b

不难看出0由084 5 ab1，34 98a1得：0a9，则a1，2，3，4，5，6，7，8，9共9个 9由3b4得：38b48，则b381，382，383，…，388，共88个，9872（个）

故选C

6、如图，过A作AGBD于G

∵等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高 ∴PEPFAG ∵AD12，AB5 ∴BD13 ∴AGG B

F C A

P E

D

12560 131360 13y B A B1 O A1 x 故PEPF7、如图，直线y2x3与抛物线yx2的交点坐标为A（1，1），B(3，9) 作AA1，BB1分别垂直于x轴，垂足为A1，B1

SAOBS梯形AA1B1BSAA1OSBB1O1111913-11-936 222ba22ab（厘米） 28、如图，当圆环为3个时，链长为3a当圆环为50个时，链长为50a9、因为a0，解得x1故a可取1，3或5．

ba249ab（厘米） 2ba22a33a552，x21 aaaaa a a ba210、如图，设经过t小时后，A船、B船分别航行到A1，B1，设AA1x，于是BB12x 由AB102，得ACBC10

B

北

∴A1C|10x|，B1C|102x|

B1

∴A1B1|10x|2|102x|25x610

2C

A1 A 东

当x6时，A1B125最小

11、解法1如图，过C作CDCE与EF的延长线交于D． ∵ABEAEB90，CEDAEB90 ∴ABECED ∴RtABE∽RtCED

S1CEABCE∴CDE2 ，SEABAB4CDAE2A

E

B

F D

C

又∵ECFDCF45

∴CF是DCE的平分线，点F到CE和CD的距离相等 ∴

SCEFCE2 SCDFCD∴SCEF2212111 SCDESABESABC33434224解法2 如图，作FHCE于H，设FHh ∵ABEAEB90，CEDAEB90 ∴ABECED ∴RtABE∽RtCED

EHAB∴，即EH2h FHAE∴HCA

E

H

B F

C

12h 2又∵HCFH ∴h∴h12h 21 611111 ECFH22262450 4520，即aa10 4∴SCEF12、（1）∵抛物线与x轴只有一个交点 所以一元二次方程x22a1x2a2有两个相等的实根，于是2a142a∴a15 2（2）由（1）知，a2a1，反复利用此式可得 a4a1a22a13a2

2a83a29a212a421a13

2a1621a13441a2546a169987a610

2a18987a610a1987a21597a6102584a1597

又a61111 a6a4a23a2a18a5∵a2a10

∴64a264a651，即8a58a131 ∴a618a13 8a5∴a18323a62584a15973238a135796

13、（1）由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x，x，182x，发往E市的机器台数分别为10x，10x，2x10．于是

W200x300x400182x80010x70010x5002x10800x17200 0x10又

0182x80x10∴

5x9∴5x9

∴W800x172005x9，x是整数 由上式可知，W是随着x的增加而减少的

∴当x9时，W取到最小值10000元；当x5时，W取到最大值13200元．

（2）由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x，y，18xy，发往E市的机器台数分别为10x，10y，xy10．于是

W200x80010x300y70010y40018xy500xy10 500x300y17200

0x10又0y10 018xy180x10∴0y10 10xy180x10∴W500x300y17200且0y10，x，y都是整数

10xy18∴W200x300xy172002001030018172009800 ∴当x10，y8时，W9800 故W取到最小值9800元

又W200x300xy172002000300101720014200 ∴当x0，y10时，W14200 故W取到最大值14200元。