导数与最值

金牌教练 助力一生

教师： 李强 学 科 教 师 辅 导 教 案

学生： 科目： 数学 1

日期： 2013.08.21

教育是对知识与道德的忠诚！

中小学1对1课外辅导专家

优学教育学科教师辅导教案

讲义编号 01yxlb087sx01 学员编号： yxlb087 年 级：高三 课时数： 1 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：李强 课 题 授课日期及时段 导数在函数研究中应用 2013年3月5日 1、知识目标：掌握利用导数求函数单调区间、极值、最值的一般方法，理解极值、最值区别与联系. 2、能力目标：通过本节内容的教学，渗透数形结合、化归等重要数教学目的 学思想，增强学生数形结合能力与化归意识，培养学生的创造性潜能. 3、情感目标：通过利用表格研究函数单调性与数形结合的应用，让学生亲身体验数学的简约美，感受极值、最值的和谐统一美，激发学生“学好数学”的情趣，增强学生“学好数学”的信心. 教学内容 一、创设情境，引入课题 我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．也就是说，如果x0是函数yfx的极大（小）值点，那么在点x0附近找不到比fx0更大（小）的值．但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个至最大，哪个值最小．如果x0是函数的最大（小）值，那么fx0不小（大）于函数yfx在相应区间上的所有函数值． 二、新课探究 观察图中一个定义在闭区间a,b上的函数f(x)的图象．图中f(x1)与f(x3)是极小值，f(x2)是极大值．函数f(x)在a,b上的最大值是f(b)，最小值是f(x3)． 2

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中小学1对1课外辅导专家 ax1yOx2x3bx1．结论：一般地，在闭区间a,b上函数yf(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么函数yf(x)在a,b上必有最大值与最小值． 说明：⑴如果在某一区间上函数yf(x)的图像是一条连续不断的曲线，则称函数yf(x)在这个区间上连续．（可以不给学生讲） ⑵给定函数的区间必须是闭区间，在开区间(a,b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值．如函数f(x)1在(0,)内连续，但没有最大值与最小值； x⑶在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断， ⑷函数f(x)在闭区间a,b上连续，是f(x)在闭区间a,b上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（可以不给学生讲） 2．“最值”与“极值”的区别和联系 ⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性． ⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一； ⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个 ⑷极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值． 3．利用导数求函数的最值步骤: 由上面函数f(x)的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了． 一般地，求函数f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求f(x)在(a,b)内的极值； ⑵将f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数f(x)在a,b上的最值 三．典例分析 3

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中小学1对1课外辅导专家 例1．（课本例5）求fx13x4x4在0,3的最大值与最小值 34，又由于3解： 由例4可知，在0,3上，当x2时，f(x)有极小值，并且极小值为f(2)f04，f31 134x4x4在0,3的最大值是4，最小值是． 3313上述结论可以从函数fxx4x4在0,3上的图象得到直观验证． 3例2．求函数yx42x25在区间2,2上的最大值与最小值 因此，函数fx解：先求导数，得y/4x34x 令y/＝0即4x4x0解得x11,x20,x31 导数y/的正负以及f(2)，f(2)如下表 X -2 （-2,-1） -1 （-1,0） 0 （0,1） 1 （1,2） 2 y 从上表知，当x2时，函数有最大值13，当x1时，函数有最小值4 3/ － ↘ 0 4 ＋ ↗ 0 5 － ↘ 0 4 ＋ ↗ 13 y 13 例3. 已知f(x)4x312x2a在[-2,2]上的最大值为3，求函数的最小值 四．课堂练习 1．下列说法正确的是( ) A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值 2．函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则f′(x) ( ) yA.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能 123．函数y=141312xxx，在［－1，1］上的最小值为( ) 43213A.0 B.－2 C.－1 D. 1242108642-4-24．求函数yx2x5在区间2,2上的最大值与最小值． 5．课本 练习 6、若函数f(x)x 7、函数f(x)x2ax1在[0,1]上的最大值为f（1），则a的取值范围是 4

23y=x4-2x2+5O24x39xm在[-2,1]上的最大值为，则m的值为 22教育是对知识与道德的忠诚！

中小学1对1课外辅导专家 五．回顾总结 1．函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点； 2．函数f(x)在闭区间a,b上连续，是f(x)在闭区间a,b上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件； 3．闭区间a,b上的连续函数一定有最值；开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值 4．利用导数求函数的最值方法． 六、作业 P99/A、6（1、2）

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