抽屉原理在数学解题中的应用

第４０卷第９期・学术　湖南农机　２０１３年９月　Ｖｏ１．４０　Ｓｅｐ．９　ＨＵ　ＩＮ　ＡＧＲＩＣＵＬＴＵＲＡＬ　ＭＡＣＨＩＮＥＲＹ　Ｓｅｐ．２０１　３　抽屉原理在数学解题中的应用　贾忠淼，沈林　（黄淮学院数学科学系，河南驻马店４６３０００）　摘要：文章在前人研究的基础上，提出了等分区间、分割图形等几种典型的构造抽屉的方法．然后将抽屉原理的　知识与现实紧密的联系在一起，针对生活中一些常见的现象，做出了科学合理的解释，为日常生活带来便利．　关键词：抽屉原理；抽屉构造；数论；应用　中图分类号：０１５７　文献标识码：Ａ　文章编号：１００７—８３２０（２０１３）０９—０２２９—０１　Ｄｒａｗｅｒ　ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ　ｉｎ　ｔｈｅ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｓｏｌｖｉｎｇ　ＪｌＡ　Ｚｈｏｎｇ—ｍｉａｏ，ｓＨＥＮ　Ｌｉｎ　（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｈｕａｎｇｈｕａｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈｕｍａｄｉａｎ，Ｈｅｎａｎ　４６３０００，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｒｔｉｃｌｅｓ　ｉｎ　ｐｒｅｖｉｏｕｓ　ｓｔｕｄｉｅｓ，ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ｄｅｃｉｌｅ　ｉｎｔｅｒｖａｌ，ｇｒａｐｈｉｃｓ，ｅｔｃ．Ｓｅｖｅｒａｌ　ｔｙｐｉｃａｌ　ｓｐｌｉｔ　ｄｒａｗｅｒ　ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ａｎｄ　ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｒｉｎｃｉｐｌｅｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｄｒａｗｅｒ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｒｅａｌｉｔｙ　ｃｌｏｓｅｌｙ　ｌｉｎｋｅｄ，ｆｏｒ　ｓｏｍｅ　ｃｏｍｍｏｎ　ｐｈｅ－　ｎｏｍｅｎａ　ｉｎ　ｌｉｆｅ，ｄｏ　ａ　ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃ　ａｎｄ　ｒａｔｉｏｎａｌ　ｅｘｐｌａｎａｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｅｖｅｒｙｄａｙ　ｌｉｆｅ　ａ　ｌｏｔ　ｅａｓｉｅｒ．　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｄｒａｗｅｒ　ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ；ｄｒａｗｅｒ　ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ；ｎｕｍｂｅｒ　ｔｈｅｏｒｙ；Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　一般地说，用抽屉原理来解决的数学问题有如下特征：新　证明略　给的元素具有任意性，如八个苹果放入七个抽屉，可以任意的　一个抽屉放几个，也可以让抽屉空着，问题的结论是存在性命　３解决几何问题　题，题中常含有“至少有……”，“一定有……”，“不少于……”，　抽屉原理在几何问题中可以变形如下：如果长度为ａ的　“存在……”，“必然有……”等词语，其结论只要存在不必确　线段上放置若干条长度之和大于ａ的线段，则放置的线段中　定。前面的内容已经介绍了一些常用的构造抽屉的方法，这对　必有公共点。　我们的解题有很大的帮助。下面将从代数、数论、几何三方面　例３：在边长为１的正方形内部，放置若干个圆，这些圆　来谈抽屉原理在数学解题中的应用。　．　的周长之和等于１０，证明：可以作出一条直线，至少与其中四　１解决代数问题　个圆有交点。　证明：将所有的已知圆投影到正方形的一条边ＡＢ上，注　用集合的语言，抽屉原理可以叙述如下：　意，周长为ｌ的圆周，其投影长为　的线段．因此所有已知圆　（１）设１＂１个元素按任意确定方式分成有限个集合，那么至　盯　少有一个集合含有两个元素。　的投影长度之和等于旦，￣Ｔ　１０＞３：３ＡＢ，所以由抽屉原理　１Ｔ　１Ｔ　（２）设有无穷多个元素按任意确定方式分成有限个集合，　那么至少有一个集合含有无穷多个元素。　知，线段ＡＢ上必有一点ｘ，至少被四条投影线段所覆盖．即　例ｌ，证明：有限群中的每个元素的阶均有限。　至少有四条投影线段有公共点。因此，过点ｘ且垂直于ＡＢ的　证明：设Ｇ为ｎ阶有限群，任取ａｅＧ，则由抽屉原理可知　直线，至少与四个已知圆有交点。　ａ，ａ２ａ　，…，ａ“，，ａｎ＋　中必有相等的，不妨设ａＳ＝ａｔ，１≤ｔ＜ｓ≤ｎ＋１，　４　多次顺向运用抽屉原理　于是有ａ∈Ｇ，从而ａ的阶有限。　前面所举的例子都只运用了一次抽屉原理，其实在有些　２解决数论问题　应用中，顺向运用抽屉原理时，必须连续使用多次才能解决问　在初等数论中，很多问题都可以看作存在性问题，所以可　题，而且每构造一次抽屉都把范围缩小一些。　以考虑利用抽屉原理进行解决，利用抽屉原理解决数论问题　例５求证：在平面内，任意凸五边形的顶点中，必有三　时常利用整数的性质制造抽屉。　点Ａ、Ｂ、Ｃ，使得／ＡＢＣ￣＞　。　）　例２中国余式定理）令ｍ和ｎ为两个互素的正整数，并令　ａ和ｂ为整数，且０≤ａ≤ｍ一１以及０≤ｂ≤ｎ一１，则存在一个正　分析：因为孚＝　×｝，　是凸五边形五个　整数Ｘ，使得Ｘ除以ｍ的余数是ａ，并且ｘ除以ａ的余数为ｂ，　内角大小的平均值，　又是　的三等分值，所以此题要　即ｘ可以写成ｘ＝ｐｍ＋ａ的同时又可以写成ｘ＝ｑｎ＋ｂ的形式，这　里Ｐ和ｑ是整数。　用两次抽屉原理。　证明：因为平面凸五边形的内角和为（５－２）￣ｒ＝３７ｒ，所以由　收稿日期：２０１３…０７　２０　作者简介：贾忠淼（１９９０一），男，河南商丘人。　抽屉原理知，至少有一个内角不小于　。不（下转第２３１页）　第４０卷第９期　束炳昊．张　琛：企业实践中“师带徒”模式的分析与探索　２３１　学校、教师、企业三方签订培训协议，企业确保对实践老　师实行“师带徒、老帮新”一对一实现技术传承；　脱产实践期间学校给教师相当于正常工作时的待遇。　３．３存在的问题与应对措施　的学校后，能与教学更亲密的结合，在学校给企业培养人才时　有更大帮助，也有利于新的生产工艺和制造技艺的传承。　４未来发展方向的探索　切实开展职业院校教师的企业实践活动，建立良好有效　（１）教师对企业的态度。教师要避免眼高手低，看不起普　通工人，认为一个只有中专学历的普通工人没有能力做自己　的师傅来教自己。有一位老师正好碰到他的一个学生，他发现　他的学生现在的一些专业知识和技能比他强很多，这就是在　的合作机制，是职教发展的必然趋势。在开展过程中，要防止　校企合作中的“作秀”现象，加强审核监督机制，规范合作的全　过程。要多给予教师到企业锻炼进修的机会，加大教师培养力　度，同时积极支持教师参与企业的新技术开发实践活动。参加　企业实践的教师，能够做到根据企业的需要制定出合理的教　社会化大生产的作用下，由于专业分工的不同，各项知识技能　在进一步深化的同时，发展也是非常迅速的。职业院校教师到　企业去实践就应该先把自己当成一个普通工人的角色来磨练　育教学培养方案，争取培养出最适合企业需要的人才。　自己，才能学有所得。　企业的激励措施，奖惩模式。激励是调动教师积极性的有　（２）企业对教师态度。企业往往认为老师就是来镀镀金，　效手段与途径。通过运用不同的激励方法，并注意适当适时的　走马观花一样不会深入学习，不可能干实际工作。教师的实习　具体情况，创造条件以激发教师，调动他们的积极性和创造　周期一般比较短，企业不能把有限的精力都放在培训教师上　性，实现学校发展与教师自身发展的统一，达到提高学校教育　面，这样会影响效益。还有一些涉及到商业机密的东西是不能　质量的目的。　外传的，尤其在制造领域。这样老师学不到学生也学不到。还　参考文献　有有一些企业不能从人才培养、合作共建、共同进步等方面考　【１］周俊．“师带徒”是培养青年人才的有效途径ｆＪ１．商业文化（下半月），　虑问题，认为教会了老师，老师教会了学生，学生将来就会成　２０１１，（７）．　为自己的竞争对手。企业不能一味追求经济效益，应有一定的　【２］孙晓燕．试论现代学徒制对我国职业教育的意义【Ｊ］．职教论坛，　社会责任感和社会服务意识。同时企业先进的生产经验进人　２００８．（２）．　（上接第２２５页）柱ｃ从圆柱面上脱离。　故现在仅剩的问题是圆柱Ｃ是否会在Ｉ阶段内便于固定　固有ｇｃｏｓ　０＝（Ｒ＋ｒ）６　２　圆柱脱离，假设０＝０　１时，Ｎ：　１　ｍｇ（７ｃｏｓ　０－４）＜０即＝　０　＞　ｊ　⑨　联立⑦，即可推出适当的０：，使０＝０：时，圆柱ｃ从圆柱面　５５．１５。，又Ｎ＝０时０＝５５．１５。故圆柱会在Ｉ阶段且时脱离，　上脱离．　但由（１）中推导出式：７ｃｏｓ　ｏ　～ｓｉｎ　０＝４ＩＸ￣ＩＸ　＞００　，ＣＯＳ口ｌ一叶　（３）假若　未知，则可由（１）中求出的０　知，若当　０。＜５５．１５。，说明在０＜５５．１５。时就会有临界Ｏ　出现，故　０：０　时，Ｎ＝￣－－ｍｇ（７ｃｏｔｓ　０—４）＞０，则圆柱会在Ⅱ阶段脱离固　与假设矛盾，知假设不成立，圆柱Ｃ必在Ⅱ阶段与固定圆柱脱　体圆柱体。　离。　结论：①假若　＝０．２４３时，则当０＝０，＝３０。时圆柱ｃ会　由（２）中结论，可知｛ｆ　Ｎ＝ｍｇｃｏｓ　０一ｎｌ（Ｒ＋ｒ）６　２＝０　在固定圆柱上由纯滚变为有滑动的滚动；②可以精确求得圆　【百一ＩＸ　６　＋［ｇ（ｃｏｓ　０　ＸＩ－ｓｉｎ　０）］／（Ｒ＋ｒ）＝０　柱Ｃ与固定圆柱的脱离角度０　且必在第Ⅱ阶段脱离。　联立求解即可获得Ｎ＝　ｍｇ（７ｃｏｓ　０—４）。　（上接第２２９页）妨设这个不小于孚的内角的顶点为Ｂ，与　参考文献　【１］Ｒｉｃｈａｒｄ　Ａ．Ｂｒｕｎｈｉｌｄ．组合数　Ｍ］．冯舜玺等译．北京：机械工业　它不相邻的两个顶点为Ａ、Ｃ，边ＡＢ、ＣＢ把／Ｂ分成三个角，　出版社．２００５．　则由抽屉原理知，必有一个角不小于挚×　＝｝，设这个角　【２］朱华伟，符开广．抽屉原理『Ｊ］．数学通讯，２００６，７３（３）：１２１—１２２．　［３】牛保才．抽屉原理的几点标记【Ｊ１．长治医学院报告，１９９５，１０（２）：１８３—　￣Ｚ＿ＡＢＣ，于是　ＡＢｃ≥｝。　１８６