三角函数高考题及练习题〔含答案〕
掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；会用“五点法〞作出正弦函数
及余弦函数的图象；掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质．
高考试题中，三角函数题相比照拟传统，位置靠前，通常是以简单题形式出现，因
此在本讲复习中要注重三角知识的根底性，特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图
象的识别及其简单的性质 (周期、单调性、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等 )． 三角函数是每年高考的必考内容，多数为根底题，难度属中档偏易．这几年的高考
加强了对三角函数定义、图象和性质的考查．在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊方法，如函数法、待定系数法、数形结合法等．
π
1.函数 y＝2sin2x－4 －1是最小正周期为 ________的________(填“奇〞或“偶〞 )
函数． 答案：π 奇 π
解析：y＝－cos2x－2
＝－sin2x.
函数f(x)＝lgx－sinx的零点个数为________． 答案：3
解析：在(0，＋∞)内作出函数y＝lgx、y＝sinx的图象，即可得到答案．
3 π π
的一条对称轴为x，那么φ＝. 函数y＝2sin(3x＋φ)，
|φ|< ＝ ________．
12 2
π
答案：4
π＋φ＝kπ π π π
，k∈Z.因为|φ|<，
＋ 解析：由可得3× 所 ，k∈Z，即φ＝kπ＋ 12 2 4 2
π
以φ＝
.4
π 2，那么ω＝上的最大值
假设f(x)＝2sinωx(0<ω<1) 是 ________． 4. 在区间 0，3
3
答案：
4
π ωππ ，那么f(x)π 上单调递增，且在这个区
解析：由0≤x≤，得
间 0≤ωx≤ < 在0，
3 3 3 3
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上的最大值是
2，所以2sinωπ＝2，且0< ωπ< π，所以ωπ＝π，解得ω＝3.
3 3 3 3 4 4
三角函数定义及应用题型二 问题
例1设函数f(θ)＝3sinθ＋cosθ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，x轴始边与 非
负半轴重合，终边经过P(x，y)，且
0≤θ≤π. 点
31 (1假设P的坐标，，求f(θ)的值；
) 点 是 2 2
x＋y≥1，
(2假设点P(x，y)为平面区域上的一个动点，试确θ的取值范围，) x≤1， 并求 定角
≤1
函数f(θ)的最小值和最大值．
解：(1)根据三角函数定义
定义 得
sinθ＝，cosθ＝，∴f(θ)＝2.(此题也可以根据
31π f(θ)＝
及角的范围得角θ＝，从而求出 2)．
3
π (2)在直角坐标系中画出可
行域知 0≤θ≤ 2
2
2
，又f(θ)＝3sinθ＋cosθ＝π
2sinθ＋ 6 ，
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π
∴当θ＝0，f(θ)
min＝1；当
，f(θ)
θ＝3
max＝2.
(注：注意条件，使用三角函数的定义， 一般情况下，研究三角函数的周期、最值、
y＝Asin(ωx＋φ)的形式) 单调性及有关计算等问题时，常可以先将函数化简变形为
xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角 α、β，它们的终边分别 如图，在平面直角坐标系
2 2 5 、10 5 .求： 与单位圆相交于A、B两点，A、B的横坐标分别为
(1)tan(α＋β)的值； (2)＋α2β的值．
225π ，cosβ＝ ，α、β∈0， 解：由题意得cosα＝ ，所以sinα＝1－cos2α 10 5 2
＝
7
10
2
，sinβ＝1－cosβ＝5，
2
5
因此tanα＝7，tanβ＝.
2
1
tanα＋tanβ
1 7＋ 2
(1)tan(α＋β)＝1－tanαtanβ＝
1＝－3.
1－7×2
(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝
1
－3＋2
1
＝－1.
3π
1－〔－3〕×2
3π
又α＋
题型二
2β∈0，2，所以α＋2β＝ 4三角函数的图象与解析式问题
.
函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ是常数，A>0，ω>0)的局部图象如下列图．
(1)求f(0)的值；
假设0<φ<π，求函数f(x)在区间0，3上的取值范围． π
解：(1)由题图可知A＝ 2， T7πππ7π3π∵＝－＝，∴ω＝2.又2×＋φ＝2kπ＋，
4 12 3 4 12 2
例2
π∴φ＝2kπ＋
∴f(0)＝
3(k∈Z)，
π 6
2sin 2kπ＋ 3 ＝ 2 . π π
π
π
π
(2)φ＝3 ，f(x)＝2sin2x＋3 .因为 0≤x≤3 ，所以 3 ≤2x＋ 3 ≤π，所以 π ≤1，即f(x)的取值范围为[0，2]．
0≤sin2x＋3
(注：此题主要考查正弦、余弦、正切函数及 y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质以及诱导公 式，运用数形结合思想，属于中档题 )
(1) 函数f(x)＝Asinωx＋Bcosωx(A、B、ω是常数，ω＞0)的最小正周期为 2，并且
1
(2) 当x＝时，f(x)max＝2.3 (3) 求f(x)的解析式；
(2)在闭区间21，
4
23 上是否存在f(x)的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果 4
不存在，请说明理由．
解：(1)因为f(x)＝
A2＋B2sin(ωx＋φ)，由它的最小正周期为
2，知 2π ＝2，ω＝π.
ω
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π＋φ＝2kπ＋ (k∈Z)，即φ＝2kπ＋ π (k∈Z)，所以f(x)＝ 又当x＝时，f(x)max＝2，知
3 3 2 6
π π
2sinπx＋2kπ＋ (k∈Z)． ＝2sin πx＋
6 6
π 故f(x)的解析式为f(x)＝2sinπx＋6.
(2)当垂直于 x轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时， 该直线就是正弦曲线的对称
π π 1 21 1 23 59 65
轴，令πx＋6＝kπ＋2(k∈Z)，解得 又k∈Z，知k＝5，由此可知在闭区间
11π题型三 例3
8
，上存在f(x)的对称轴，其方程为
44
三角函数的性质与图象的移动问题
x＝
2123
x＝k＋3(k∈Z)，由4
≤k＋3≤ 4，解得
12≤k≤ 12
x＝
.16
.3
把函数f(x)＝sin2x－2sinxcosx＋3cos2x的图象沿x轴向左平移m个单位(m>0)，
所得函数的图象关于直线
(1) (2)
17π
对称．
求m的最小值；
88 负数；
(3) 证明：当x∈－
17π
，－
15π
时，经过函数f(x)图象上任意两点的直线的斜率恒为
(3) 设x1，x2∈(0，π)，x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)＝1，求x1＋x2的值．
1－cos2x 1＋cos2x
22
(1) 解：f(x)＝sinx－2sinxcosx＋3cosx＝ －sin2x＋3· ＝cos2x－sin2x
2 2
π
＋2＝2cos2x＋＋2.
4
π因为将f(x)的图象沿x轴向左平移m个单位(m>0)，得到g(x)＝
22〔x＋m〕＋
＋2
的图象，又g(x)的图象关于直线
所以2
x＝17π8
4
对称，
π
17
＋m＋
π
＝kπ，即m＝
〔2k－9〕
4
π(k∈Z)．
因为m>0，所以m的最小值为
8
4
π
4
.
x∈ 8 (2) 证明：因为
17π15π－，－上是减函数．所以当 x1、x2 ∈ －17π，－15π，且 8 8 8 8
f(x)>f(x )，从而经过任意两点 (x ，f(x ))和(x，f(x ))的直线的斜率
k＝
－8
17π，－15π
，所以－4π<2x＋
π
<－42
7π
，所以f(x)在
x1 2 <0. 1 2 1 1 2 2 x－x (2) 2 (3) 解：令f(x)＝1，所以cos2x＋4＝－2. π π 因为x∈(0，π)，所以2x＋ ∈ ， 9π . 4 4 4 π π π π 3π5 所以2x＋＝ 或2x＋＝ ，即x＝或x＝ 4 4 4 4 4 π π 3π π 2 . 因为x1、x2∈(0，π)，x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)＝1，所以x1＋x2＝4＋2＝4函数f(x) ＝2sinωx，其中常数ω>0. 2π 假设y＝f(x)在－，上单调递增，求ω的取值范围； π43 π (2)令ω＝2，将函数y＝f(x)的图象向左平移 个单位，再向上平移 1个单位，得到函 6 4 / 94 ()三角函数高考题及练习题(含答案),文档 数y＝g(x)的图象，区间 [a，b](a，b∈R且a π π － ω≥－ 4 2 解：(1) 因为ω>0，根据题意有 π 2πω≤ 个零点， 3 0<ω≤4. 3 2 (2)f(x)＝2sin2x，g(x)＝2sin2x＋ π 6 ＋1＝2sin2x＋ π 3 ＋1，g(x)＝0 sin2x＋ 和 2 π 3 ＝－ 1 2 π 3 或x＝kπ－π，k∈Z,即g(x)的零点相邻间隔依次为 7 π π ，故假设y＝ x＝kπ－ 12 2π 3 π 3 3 ＋15× ＝ 43π g(x)在[a，b]上至少含有 30个零点，那么b－a的最小值为14×3 3 . ＋φ)(0<φ<π，ω>0)为偶函数，且函数 y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 函数 f(x)＝3sin(ωx＋φ)－cos(ωx π π 求f8 的值； (1) (2) 将函数y＝f(x)的图象向右平移 的单调递减区间． 解：(1)f(x)＝ π 2 . 个单位后，得到函数 6 y＝g(x)的图象，求函数g(x) 3sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)＝2 3 1 π 2sin〔ωx＋φ〕－ 2cos〔ωx＋φ〕 ＝ 2sinωx＋φ－6.因为f(x)为偶函数，所以对 x∈R，f(－x)＝f(x)恒成立， π π 因此sin－ωx＋φ－ ， 6 ＝sinωx＋φ－6 π π π π 即－sinωxcos φ－ ＋cosωxsinφ－ ＝sinωxcos(φ－ )＋cosωxsinφ－ ， 6 6 6 6 π 整理得sinωxcosφ－ ＝0.因为ω＞0，且x∈R， 6 π ππ 所以cosφ－6 ＝0.又0＜φ＜π，故 φ－6＝2. π π 2π 所以f(x)＝2sin ωx＋ ＝2cosωx.由题意得＝2× ，所以ω＝2，故f(x)＝2cos2x， ω 2 2 5 / 95 ()三角函数高考题及练习题(含答案),文档 因此f π 8 ＝2cos＝2. π 4 (2) 将f(x)的图象向右平移 π ≤2kπ＋π(k∈Z)，即kπ＋ ≤x≤kπ＋ 2cos2x－ 6 6 π 2π ，kπ＋ 2π g(x)的单调递减区间为 kπ＋ 6 3 (k∈Z)． 3(k∈Z)时，g(x)单调递减，因此 题型四 三角函数图象及性质、三角公式综合运用 π 例4函数f(x)＝2sin2 (1) 求f(x)的最小正周期； π π π .当2kπ≤2x－ ＝2cos2x－ 3 3 π 个单位后，得到 6 fx－ π 的图象，所以 6 g(x)＝fx－ π 6 ＝ 4＋x－3cos2x－1，x∈R. π (2) 假设h(x)＝f(x＋t)的图象关于点－，0对称，且t∈(0，π)，求t的值； 6 π π 5π (3) 当x∈4，2时，不等式|f(x)－m|<3恒成立，求实数m的取值范围． π π 解：(1)因为f(x)＝－cos ＋2x－ 3cos2x＝2sin2x－ ，故f(x)的最小正周期为π. 2 3 π π π π (2)h(x)＝2sin 2x＋2t－ .令2×－ ＋2t－ ＝kπ(k∈Z)，又t∈(0，π)，故t＝ 3 6 3 3 或 6 . ππ ， (3)当x∈ 42 π 时，2x－3∈ π ，6 2π 3 ， 函数 (1) f(x)＝Asin( ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)，在同一周期内，当 7 f(x)∈[1，2]．又|f(x)－m|＜3，即f(x)－3＜m＜f(x)＋3， 2－3＜m＜1＋3，即－1＜m＜4. π x＝12时，f(x) 取得最大值 3；当x＝ π时，f(x)取得最小值－3. (2) 求函数f(x)的解析式； (3) 求函数f(x)的单调递减区间； π π (3)假设x∈－ ， 时，函数h(x)＝2f(x)＋1－m有两个零点，求实数 m的取值范围． 3 π 6 解：(1) 由题意，A＝3，T＝2 ＋2kπ得φ＝ 7π－ π 12 ＝π，ω＝ 2π T ＝2. π π . 又－π<φ<π，∴φ＝，∴f(x)＝3sin2x＋ ππ3ππππ73 ≤ 3x ≤ 由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，得＋2kπ≤2x＋2kπ，即＋kπ≤2326612 π ＋φ＝ 由2× 12 12 π 3 ＋2kπ，k∈Z. 2 7π 12 ＋kπ，k∈Z. ∴函数f(x)的单调递减区间为 (3)由题意知，方程 π π ∵x∈－， 3 6 －m13 ∴ ＋kπ， 7π ＋kπ，k∈Z. 12 12 π m－1 π π 在－ sin2x＋3 ＝ 63 ，6 上有两个根． π π 2π . ，∴2x＋∈－， 3 3 3 π∈－，1，∴m∈[1－33，7)． 62 6 / 96 ()三角函数高考题及练习题(含答案),文档 1.(2021·江西卷)设f(x)＝3sin3x＋cos3x，假设对任意实数 x都有|f(x)|≤a，那么实数a的 取值范围是________． 答案：a≥2 π 解析：f(x)＝3sin3x＋cos3x＝2sin 3x＋ ，|f(x)|≤2，所以a≥2. 6 π π 2.(2021天·津卷)函数f(x)＝sin2x－ 上的最小值是________． 在区间 0， 4 2 答案：－ 2 2 π 3.(2021全·国卷)函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移 π 2 个单位后，与函数 y＝sin 2x＋3 的图象重合，那么|φ|＝________． 5π 答案： 6 4.(2021北·京卷)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ是常数，A>0，ω>0)．假设f(x)在区 π π π 2π π ，间 62 上具有单调性，且 f 2＝f 3 ＝－f 6 ，那么f(x)的最小正周期为________． 答案：π π π π π 知，函数f(x)的对称中心为 解析：由f(x)在区间 ， 上具有单调性， f ＝－f 6 2 2 6 π 1 π 2π 7π ，函数f(x)的对称轴为直线x＝ ＋ ＝ ，设函数f(x)的最小正周期为T，所 ，0 3 2 2 3 12 π π π 以12π7πT T≥ ，所以－ － ，即T≥＝，解得T＝π. 2 2 6 3 12 3 4 1 5.(2021福·建卷)函数f(x)＝cosx(sinx＋cosx)－2. π 2 ，求f( α)的值； (1)假设0<α<，且sinα＝ 2 2 (2) 求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间． 2π ，所以cosα＝ 解：(解法1)(1)因为0<α<，sinα＝ 2 2 所以f(α)＝ 2 2211 2 2 . 2 2 (2) ＋－＝. 2 2 2 2 π 4 π 8 ，所以 因为f(x)＝sinxcosx＋cosx－＝ sin2x＋ 1＋cos2x－1＝1sin2x＋ 2 2 2 2 2 π π π π T＝ 2 11 1 cos2x＝ 2 3π 2 2 ＝π.由2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x sin2x＋ ≤kπ＋ ，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为 2 2 4 3π 2 π 8 ，kπ＋ ，k∈Z. (解法2)f(x)＝sinxcosx＋cosx－＝sin2x＋ 2 2 π 211 kπ－8 1＋cos2x2 8 －＝sin2x＋ 2 2 11 1 cos2x＝ 2 2 2 sin2x＋4. (1) 因为0<α<，sinα＝ ，所以α＝ . 2 2 4 2 π 2 3π 1 ＝.从而f(α)＝2 sin 2α＋4 ＝ 2sin 4 2 2π π 2 π (2)T＝2＝π. 7 / 97 ()三角函数高考题及练习题(含答案),文档 π 由2kπ－ 2 的单调递增区间为 π ≤2x＋ 4 π kπ－8 ≤2kπ＋，k∈Z，得 2 3ππ ，kπ＋ ，k∈Z. kπ－8 8 3ππ≤x≤kπ＋，k∈Z.所以f(x) 8 (2021北·京卷)函数f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋2cos4x. (1)求f(x)的最小正周期及最大值； π2 假设α∈，π，且f(α)＝，求α的值． 22 1 解：(1)因为f(x)＝(2cosx－1)sin2x＋cos4x＝cos2xsin2x＋ 2 1 1 2 2 2 π ，所以f(x)的最小正周期为 2 π 2 cos4x＝(sin4x＋cos4x)＝ 1 2 ，最大值为 2sin4x＋4 (2)因为f(α)＝ 2 ，所以sin4α＋ π π 因为α∈ ，π，所以4α＋ ∈ 9π，17π， 2 4 4 4 π 所以4α＋ ＝ 5π，故α＝9π . 4 2 16 (此题模拟高考评分标准，总分值 14 分) 设a>0，函数f(x)＝asinxcosx－sinx－cosx，x∈0， 2 π ＝1. 4 2 . π2 的最大值为G(A)． (1)设t＝sinx＋cosx，x∈0，2 π ，求t的取值范围，并把 f(x)表示为t的函数m(t)； (2) 求G(A)． π x＋4. 解：(1)t＝sinx＋cosx＝2sin π π π ∵x∈0， ，∴x＋∈， 3π ， 4 4 4 2 2π ≤sin x＋ ≤1， ∴ 2 4 ∴1≤t≤2，即t的取值范围为[1， 2]．(3分) π ，∴t＝sinx＋cosx＝1＋sin2x.由2x∈[0，π]得0≤sin2x≤1， (另解：∵x∈ ∴1≤t≤2) 0， 2 t2－1 1 2 ∵t＝sinx＋cosx，∴sinxcosx＝ t2－1 1 ∴m(t)＝a· 2 ，(5分) at－t－a，t∈[1， －t＝ 2]，a>0.(7分) 2 2 2 (2) 由二次函数的图象与性质得： ①当< 1＋ ，即a>2(2－1)时，G(A)＝m( a 2 ②当1≥1＋ a 2 1 π π 12 2 2)＝a － 2；(10分) 2 2.(13分) 1 ，即0 假设4＜x＜2，那么函数y＝tan2xtan3x的最大值为________． 答案：－8 G(A)＝2 a－2，a>2〔2－1〕， (14分) 8 / 98 ()三角函数高考题及练习题(含答案),文档 解析：令tanx＝t∈(1，＋∞)，y＝ 2t4 ，y′(t)＝ －4t〔t＋2〕〔t－ 1－t2 〔1－t2〕2 3 2〕 ，得t＝ 2时 y取最大值－8. 2.函数f(x)＝2cos2x＋sin2x，求： π 的值； (1)f3 (2)f(x)的最大值和最小值． π 2π 2π 31＋sin 解：(1)f ＝2cos ＝－1＋＝－ . 3 3 3 4 4 (2) f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)＝3cos2x－1，x∈R.因为cosx∈[－1，1]，所以当＝±1时，f(x)取最大值2；当cosx＝0时，f(x)取最小值－1. π2223.A为△ABC的内角，求y＝cosA＋cos ＋A的取值范围． 3 解：y＝cosA cosx 2 ＋cos 2 ＝1＋cos2A＋1 2 2cos2A ＋2sin2A ＝1＋2cos2A－3. ∵A为三角形内角， π ∴0＜A＜π，∴－1≤cos2A－ ≤1， 3 π132x22x∴ 2y＝4tsincosA＋cos3＋A2的取值范围是[，]． 322 设函数f(x)＝－cosx－cos＋4t＋t－3t值记为g(t)． 求g(t)的表达式； 讨论g(t)在区间(－1，1)内的单调性并求极值． ＋4，x∈R，其中|t|≤1，将f(x)的最小22 x x 32 2解：(1)f(x)＝－cosx－4tsin cos＋4t＋t－3t＋4 2 2 ＝sin2x－2tsinx＋4t3＋t2－3t＋3 ＝(sinx－t)2＋4t3－3t＋3. ＝1＋ 221 1 cos2π ＋A 3 4π ＝ 1＋cos2A 4π 2 ＋ 1＋cos2 2π ＋A 3 2 3 cos2A－sin3 3 1 sin2A π 2由于(sinx－t)≥0，－，|t|≤1，故当sinx＝t时，f(x)到达其最小值 g′＝(t)12t－3＝3(2t＋1)(2t－1)1＜t＜1. 列表如下： 1 2 g(t)，即g(t)＝4t3－3t＋3. t g′(t) g(t) －2 ＋ 0 极大值 1 2 和 － 0 ＋ Z ] 1 极小值 1 1 Z 由此可见，g(t)在区间－1，－ 值为g 1 2 ＝2，极大值为g－ ＝4. 2 1 2，1上单调增，在区间 ，－ 2 2 上单调减，极小 9 / 99 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容