精选题7

1. 圆形截面简支梁A、B套成，A、B层间不计摩擦，材料的弹性模量EB2EA。求在外力偶矩Me作用下，A、B中最大

MeMe2ddlBAAmax有4个答案： Bmin1111(A)； (B)； (C)； (D)。

64108正应力的比值答：B

2. 矩形截面纯弯梁，材料的抗拉弹性模量Et大于材料的抗压弹性模量Ec，则正应力在截面上的分布图有以下4种答案：

M(A)(B)(C)(D)答：C

3. 将厚度为2 mm的钢板尺与一曲面密实接触，已知测得钢

1尺点A处的应变为，则该曲面在点A处的曲率半径

1000为 mm。 答：999 mm

4. 边长为a的正方形截面梁，按图示两种不同形式放置，在相同弯矩作用下，两者最大

()正应力之比maxa 。

(max)b答：1/2

2 mmAOaaz(a)(b)yth/2h/2tbtzz5. 一工字截面梁，截面尺寸如图，hb, b10t。试证明，此梁上,下翼缘承担的弯矩约为截面上总弯矩的88%。

BMy2MMt4, M1y(ybdy)1 820证： IzIzA3IzM1t411 82088% Iz690t, M3690t44hh其中：积分限Bt , A M1为翼缘弯矩

22

57

6. 直径d20 mm的圆截面钢梁受力如图，已知弹性模量E200 GPa, a200 mm，欲将其中段AB弯成 m的圆弧，试求所需载荷，并计算最大弯曲正应力。

1M解： 而MFa FEIABd4EICI0.785108 m4, F0.654 kNa64aFaDmax

MdFad0.654100.220102I2I20.78510833

167 MPa 7. 钢筋横截面积为A，密度为，放在刚性平面上，一端加力F，提起钢筋离开地面长度l/3。试问F应多大？ 解：截面C曲率为零 MCFlgA(l/3)gAl 0, F3262FC2l/3l/3BA

8. 矩形截面钢条长l，总重为F，放在刚性水平面上，在钢条A端作用F/3向上的拉力时，试求钢条内最大正应力。

1M解：在截面C处， 有 C0

EI即 MCFF(l)2llACAC0, lAC 3l23Mq(l)/8Fl maxACWbt2/63bt222F/3AlF/3ACBbtAC段可视为受均布载荷q作用的简支梁

q=F/lBmax

9. 图示组合梁由正方形的铝管和正方形钢杆套成，在两端用刚性平板牢固联接。已知：钢和铝的弹性模量关系为Es3Ea；在纯弯曲时，应力在比例极限内。试求铝管和钢杆的最大线应变之比a/s及最大正应力之比a/s。 aa解：a=, s

2Me a∶s=2∶1 又E

Me2aa钢杆铝管2a∶s=[Eaa] ∶[Ess]

3 58

10. 一根木梁的两部分用单排钉连接而成，已知惯性矩Iz113.5106 m4，F3 kN，横截面如图示，每个钉的许用剪力[FS]700 N，试求钉沿梁纵向的间距a。（C为形心） 解：缝间水平切应力

**FSSzFSzbIzbIzF87.5a200C50z50200 3 000[20050(87.525)50(87.550)/2]1050103113.510629

0.33 MPa令 ba[FS]700 N 则 a

11. 图示一起重机及梁，梁由两根No.28a工字钢组成，可移动的起重机自重P50 kN，起重机吊重ACP1m1m10mxDFdBzh[FS]70042.4 mm 63b0.331050104m2根No.28aF10 kN，若[]160MPa, []100MPa，试校核梁的强度。 (一个工字钢的惯性矩Iz104 mm4, 解：MD(586x)x, 令Iz246.2 mm) (Sz)max dMD0, x4.83 m dx(MD)max(全梁)(5864.83)4.83140 kNm 正应力强度校核：max137.7 MPa[] 切应力强度校核，当轮D行至B附近时 FSmax58 kN, max13.85 MPa[]qbxlzyh O

12. 矩形截面梁的上表面受有集度为q的水平均布载荷作用，如图所示。试导出梁横截面上切应力的公式，并画出切应力的方向及沿截面高度的变化规律。 q(1/4y/h3y2/h2)解：y)y) b

59 q/bh/313. 试证图示棱形截面的极限弯矩与屈服弯矩之比为2，即证：Mp2Smaxs, MsWzs MpMs2。（材料为理想弹塑性）

2SmaxMpMsbh2bh2 , Wz12242Smax2 Wzhzbqhlb14. 证明：图示矩形截面悬臂梁，中性层上切应力组成的23ql合力为：，并指出这个力由什么来平衡。 4h证：在离自由端为x的横截面中性轴处的切应力为x3qx，由切应力互等定理知在该处中性层上的切应力2bhxx l(xx) 为x3qx3q l3ql2故 FSxdA bdxxdx A 02bh2h 04hx3ql2这个力由固定端处下半部的正应力的合力来平衡，FN

4h15. 图示等厚度t，长l，变宽度矩形截面板条，受轴向拉力F作用。设横截面上的正应力均匀分布。试按材料力学方法证明任意x处横截面上切应力的

Fly分布规律表达式为：。 2tb(lx)Fbxl2bF证：从板条上x附近取一微段dx如图示，从中再截一小块(见图中阴影处)。设一对轴向拉

**FN20 力为F。由该小块的静力平衡条件Fx0，得 dFSFN1其中 F1dA A1*N1b12 y FFFytdy b1t2b1b1F*N1FFFytdy

A2b2t2b2bdx dFStdxtdx, b2b1dblFy解得 

t(1x/l)[b(1x/l)db]lFly略去db项，得 

tb(lx)2F*N22dAb22 y ydFSdxb2*FN2 60

16. 图示截面梁对中性轴惯性矩Iz291104 mm4, yC65 mm，CA7kNC600B14006kN/mD1000y2080CzyC10为形心。 (1) 画梁的剪力图和弯矩图； (2) 求梁的最大拉应力，最大压应力和最大切应力。 F S/kN解：FB9.6 kN, FA3.4 kN， 3.4该梁的剪力图和弯矩图如图所示， 截面B下缘：(C)max67 MPa 截面C下缘：(t)max45.6 MPa 3.6M/kNm2.0461060xx3max发生在截面B右中性轴处：max4.4 MPa

17. 矩形截面悬臂梁受力如图,设想沿中性层截开,列出图示下半部分的平衡条件并画出其受力图。 解：中性层以下部分的受力图如图所示。 其静力平衡条件为

h FFy0: 2bdy，

02FF hbh222ybdy 2bIz 024hFlbh/2Fx0: maxblh2 0 3FlFl h2bdy，ybdy  02hIzOmaxF/2ABh FlFl hFl22by2dy M00: ybdy0， 02Iz 0218. 小锥度变截面悬臂梁如图，直径db2da，试求最大正应力的位置及大小。 解：在距截面A为x的截面上

MxFx(dbda)xxda(1) llM32FxWπda)3(1x/l)3daABFdb dxda由

d32Fx(1x/l3x/l)dl 可求得 00，即 x33dxπd)(1x/l)dx2a128Fl发生在梁中间截面的上、下边缘，上拉下压。

27πda)361

对应的max

19. 图示矩形截面梁，宽度b不变，许用应力为[，试写出强度条件表达式。 解：对于距B点为x处的截面上 MxFx x(h1h0)又 hxh0 lFx所以  b[x(h1h0)/lh0]2由 lh0d 0 得 xh1h0dx3Fl 2bh0(h1h0)Fh1Alh0B代入后，可求得 max梁的强度条件为 max[ 20. 梁受力如图，材料的弹性模量为E，已测得下边缘纵向总伸长量为l，求载荷F的大小。 FA2l/5CB3l/5bh32解：FAF(), FBF() 55由EWzlCAC218Fl225Ebh23, 所以 Fl Fx1dx1Fx2dx2，则 lB525Ebh218l2521. 矩形截面外伸梁由圆木制成，已知作用力F5 kN，许用应力[ MPa，长度a1 m，确定所需木材的最小直径d。 b(d2b2)解：MmaxMBFa, W 6dW令0， 可求得最合理的b和h为 dbd32 , hd 则 Wmax b 3393dFA2aD2aBFCahbd由 maxM[ 得 d198.3 mm W22. 当力F直接作用在梁AB中点时，梁内的最大正应力超过许用应力30%。当配置了辅助梁CD后，强度满足要求，已知梁长l6 m，试求此辅助梁的跨度a。 Fa/2a/2解：分别作无辅助梁和有辅助梁的弯矩图 CDMmaxA (130%)[ Wl/2l/2FlFlF(la)  , 41.3W41.34M =Fl/4M1MM =F(l-a)/42l所以 al1.385 m

1.3x

62 Bx[]3。试求该梁最合理的外伸长度。 23. T字形截面外伸梁如图示，已知[]FFy0解：

ABCD2y0l/2l/2aCyz 63

64

截面B

两截面均是拉应力较危险

M2y0MBy0l令它们相等 C 得 a II424. 试画出下列各薄壁截面弯曲中心的大致位置。若剪力FS的方向垂直向下，试画出切应力流的方向。

答：弯曲中心A以及切应力流方向如图示

25. 注明以下薄壁截面杆弯曲中心的大致位置。 答：弯曲中心的大致位置如图中点A所示

26. 图示薄壁截面梁

(1)若剪力FS方向向下，试画出各截面上切应力流的方向； (2)标出各截面弯曲中心点A的大致位置。

AAAAAAAA 65

答：图中点A为弯曲中心

AAAA27. 注出下列各薄壁截面杆弯曲中心A的大致位置。

答：图中点A为弯曲中心 AAA

A28. 试求图示开口薄壁圆环截面弯曲中心的位置，设壁厚为t，平均半径为r0。 3tπ Szrt(1cos 解：IzrOFSSz IzttAr0e切应力对O点之矩 MOtrdFSr0 02π20由合力矩定理有

得

66

29. 矩形截面梁当横截面的高度增加一倍，宽度减小一半时，从正应力强度条件考虑，该梁的承载能力的变化将有4种答案：

(A)不变； (B)增大一倍； (C)减小一半； (D)增大三倍。 答：B

30. 图示矩形截面采用两种放置方式，从弯曲正应力强度条件，承载能力(b)是(a)的多少倍？

(A) 2； (B) 4； (C) 6； (D) 8。 答：A

31. 图示梁，采用加副梁的方法提高承载能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度有4种答案： (A)； (B)； (C)l/5； (D)l/2。 答：D

l/2l/2aFaq4020(a)2040(b) 67

z32. 梁的截面形状如图示，圆截面上半部分有一圆孔。在xz平面内作用有正弯矩M，绝对值最大的正应力位置有4种答案： (A)点a； (B)点b； (C)点c； (D)点d。 答：A

33. 图示三种截面梁，材质、截面内Mmax、max全相同，试求三梁的重

acbydA12bA2aA3量比，并指出哪种截面最经济。 b(2b)2a3πd3解： 6632ab34, db364πd, A12b2, A2a22.52b2, A32.82b2 3π4ba2d矩形截面梁最经济。

34. 矩形截面梁顶面与底面受有大小相等方向相反的均布载荷q(kN/m)作用。若梁截面的A1:A2:A31:1.26:1.41正应力公式My/I和关于切应力沿截面宽度方向均匀分布的假设仍成立，试证明梁横截面上的切应力公式为：qhSz/(bIz)q/b。 MyMdA证：FN1*1dA*AAIIzzFN2*2dAAqhqlbMSzydA A*IzA*(MdM)SzMdMydA IzIz由Fx0得 FN2FN1dFSqdx0 利用互等定理，dFSdAbdx 又考虑Mqxh, qhSzqdM qh代入平衡方程，整理得横截面上公式：Izbbdx35. 图示矩形截面叠层梁材料相同，若不计梁间的摩擦力，试求梁中最大切应力。

111Mq解：Iz1Iz2, ,由  得 M1M2

EI又FS1FdM1dM2ql, FS2 得 FS1FS2Smax dxdx243FS13ql 1max2max2A14bh68

h/2h/2bl

36. 自由叠合梁如图，材料的弹性模量均为E，已测得在力偶Me作用下，上、下梁在交界面AB处的纵向变形后的长度之差为，若不计梁间的摩擦力，试求力偶Me的大小。 解：设上下梁的弯矩分别为M1和M2

M11, I1I2, M1M2e 2两梁上下边缘应变为 MeAlBbh =h/21h =h/22maxEMl上梁下边缘：l1le

2EW1下梁上边缘：l2lMel 2EW2Me 2EWMelMelIbh2 l2l1,又 W1W22EW12EW2ymax24Ebh2代入上式得：Me

24l37. 材料相同的自由叠置梁尺寸及受力如图，已知材料的弹性模量E，许用应力[。试求： (1) 许可载荷[F]；

(2) 在[F]作用下，两梁在交界面AB处的纵向长度之差（不计梁间摩擦）

11FlF解：(1) I1I2, , 则M1maxM2max

2M1max12Flbh2[ A1max2max[ , [F]12lW1bh2M1MFx12Fx(2) M1M2 , 22E2EW1Ebh2Blbh/2h/212F6Fl2dxxdx

0 0Ebh2Ebh2 l l12Fl2[l |||Ebh2E38. 矩形截面简支梁如图所示。梁上缘的温度为t0，下缘的温度为t1。t1t0120℃且沿梁的高度按线性规律变化，材料线膨胀系数为l/℃，试求由温度场引起的梁的曲率半径。 dl1l0lt1lt0解： dxhdxhh得 694h

lt1t0)1

69

hbt0dxhdt1dxd39. 图示简支梁。若横截面高度h保持不变，试根据等强度的观点确定截面宽度b(x)的变化规律。为了保证剪切强度，该梁的最小宽度bmin应为多少？（假

Axl/2FCl/2Bb(x)h设材料的[、[为已知）

FxM(x)3Fx3Fx解：AC段 M(x) ， , max(x)[b(x)222W(x)b(x)hh[BC与AC段对称，b(x)相同。

max(x)

40. 图示圆截面梁，已知材料的许用应力[及许用切应

3FS(x)3F3F[, b(x), bmin2A(x)4h[4h[FAlBaC力[，试按等强度梁决定梁的形状。

|M(x1)|32aFx1aπ解：AB段 M(x1)Fx1, W(x1)[d(x1)]3, max(x1)[

lW(x1)lπd(x1)]3d(x1)332aFx1 πlBC段：M(x2)Fx2, 同理 max(x2)32Fx2 π|M(x2)|32Fx2[] 3W(x2)πd(x2)]x1ABlax2Cd(x2)3当x1l或x2a时 dBdmax332Fa π端面A：max4FS116aFFa [ d4A3A3πl[d(x1)]23πl4FS216(la)FF(la)[ d4 c3A3πl[d(x2)]23πl钢材木材hb10端面C：max41. 矩形截面木梁，b200 mm，h300 mm，因强度不足，在梁顶与梁底各加200 mm10 mm的钢板加固，木材与钢材的弹性模量之比nE1/E21/20，木材的许用应力[ MPa，钢的许用应力[ MPa，试求梁能承受的最大弯矩。 解：复合梁分区线性变化。 EyEyy, 11, 22

钢材10 70

由y1dAy2dAA1A2E1I1E2I2M

1,maxAx400125M中性层曲率 

E1I1E2I21得1maxE1ymaxE2ymaxME1ymax[1], M158.1 kNm

E1I1E2I2ME2ymax[2], M103.8 kNm

E1I1E2I2B2max取Mmax103.8 kNm

42. 理想弹塑性材料梁，在极限弯矩作用下，截面上的中性轴位置有4种答案： (A) 不存在； (B) 不过截面形心；

(C) 过截面形心； (D) 将截面分成面积相等的两部分。 答：D

43. 矩形截面悬臂梁受均布载荷q的作用，跨度为l，材料的许用应力为[]，截面宽度bq不变，为使此梁为等强度梁，高度h的变 化规律为h(x) 。 答：h(x)x3q b[]AlxBbh(x)44. 变截面梁的主要优点是 ；等强度梁的条件是 。

M(x)答：在一定的强度、刚度条件下，节省材料，减轻自重。max[]

W(x)45. 图示悬臂梁截面有两种构成方式(A)、(B)，若材料相同，从强度观点出发，梁的均布许可载荷之比[q]A/[q]B 。 答：n。

b(A)qh/nhhb(B)n片自由叠合层间无摩擦b46. 梁的截面如图示。材料为理想弹塑性材料，屈服极限为s，则此梁的极限弯矩Mu 。 答：Mu

hbh(hb)s。 271

bh47. 图示由木、钢两种材料组成的矩形截面弯曲梁，木、钢的弹性模量分别为E110 GPa，E2210 GPa，则木材与钢

MeMeE2t10ttE1E2h材所受弯矩之比M1:M2 。 答：4.2。

48. 梁受力如图所示。当载荷增大时，可能出现塑性铰的截面为 。 答：截面A，B。

49. 由理想弹塑性材料制成的梁，当截面B各点全部处于屈服状态时，A处支反力为 , 设F, l, b, h，屈服极限s为已知)。

Al/2FCl/2BbhAaFBbC答：

Fbhs。 24l250. 纯弯曲梁，由二种弹性模量不同(E1E2)的材料粘成一整体，横截面如图所示，变形仍符合平截面假定，试证明中性轴不通过形心C。 证：设中性轴通过形心，则横截面轴力FN0

EyE2yESES而 FN1dAdA1122

A1E1E22C1bh/2h/2 A2因 S1S2, 而 E1E2

ESES则 11220

即 FN0不满足，中性轴必不通过形心。

51. 某矩形截面梁，其材料的应力应变关系在弹性范围内为nE，设平面假定成立，

2(2n1)M试证明该梁横截面上的最大正应力公式为：max2。

nbh证：设弯曲时的曲率为k，则 ky, nkEy 故 MydAnkE An AyydA

对矩形截面：nkE(2n1)M1 2n12nbh2故 maxn

kEh2(2n1)M 2nbh272

52. 自由叠合梁尺寸及受力如图所示，材料的许用应力[]8 MPa，若不考虑两梁之间的摩擦，问许用载荷[q]为多大？

1M11M2解：因 ， 1EI12EI2MI1故 11， 又 M1M2M

M2I28M8M得 M1, M2

99(Mmax)1Mmax上梁 (max)1 W19W1(Mmax)28Mmax下梁 (max)2 W29W2(max)11

(max)2223bh2[](max)2[]， [q]12 kN/m

2l2qh 1=50h 2=100l=1mb=10053. 梁由上、中、下三层牢固粘合而成，上下层材料的弹性模量为E2，中间层的弹性模量为E1，推导此梁在纯弯曲时，横截面上正应力的计算公式。

y解：对各层均有 

yh2hE2zE1h中间层中 1E1上下层中 2E2yE1yE2

bE2由 M2(1yb)dy2 0 h 2h h2bh3(2yb)dy(E17E2) 

313ME1y2bh3(E17E2)3ME2y22bh3(E17E2)

54. 纯弯曲矩形截面梁，用应力应变关系为Bn的材料制成，其中B、n均为常数。若平面假设成立，且中性轴仍过截面形心，试导出n为奇数时正应力的计算公式。 y解：由 , 得 B

nyMeABMehb又 MydA ABbnh2h 2 yn1dy

当n为奇数时，MB2Bb

[(n2)n](h/2)n2n2M(n2)2n2bh

M(n2)yn2 2bh73

n2

55. 某材料拉伸时的应力应变曲线为：hOyzb1B1B22，B1、B2是材料常数，压

缩时的应力应变曲线与拉伸相同。若平面假设成立，最大线应变为1，试导出

1矩形截面梁所受弯矩M的公式。

yhhh

解：因 ， 当 y时，有 max1 , 2212

BBMdAy2b(B1B22)ydybh21121 A8 6 h2 056. 一简支梁跨度l4 m，中间承受集中力F，截面为矩形，高h100 mm，宽b50 mm，设材料为理想弹塑性，其屈服极限s240 MPa，试问： (1) 梁中间截面完全屈服时F是多大；

(2) 若将F卸至零，梁内残余最大正应力和边缘正应力各为多少。

bh2sFlbh2s解：(1) 由 ， 得 F30 kN

44l(2) 弹性卸载M30 kNm

bh2s/43s(边缘)max， (中间)0 bh2/62l/2l/2bFhss3 /2两图相减

最大残余应力在中性轴处 ||maxs240 MPa 边缘残余应力 ||s2120 MPa

a。梁材料为理想塑性其屈服极限为s，试求此梁的极限弯矩MsatyCCa257. 一T形截面梁，设t与刚出现塑性变形时的弯矩Ms之比。 解：由 atatatyC2at， 22a 4略去t2项，得 yC2sta35aatIzatatta3

1224442M3a/45又由 s3s 得 Msta2s

5ta/2418t极限状态，中性轴在翼腹交界处，

atsaatsta2tsM11818由 Mu(略去t2项) 得 u1.8 Ms2510222

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58. 图示矩形截面简支梁，材料为理想弹塑性，在外力F作用达到极限弯矩时，中间形成塑性铰，试求塑性区半长C，其b、h、l、F为已知。 MuFl解：跨中截面： s2

S1S2bhM3F(0.5lc)距跨中为c的截面：sc 2Wbhl因  , 得 c

659. 图示矩形截面简支梁，已知理想弹塑性材料的屈服极限s250 MPa，试求使跨中截面顶部及底部的屈服深度达到10 mm时的载荷值。

ql2解：由 M

8(h2hp)2 Mbshp(h2hp)68bs[hp(hhp)(hhp)2/6]故 q118 kNm

l2shphp1m3010qh=100Fhccl/2l/210bs60. 图示箱式截面梁，已知材料为理想弹塑性且屈服极限s240 MPa，试求： (1) 极限弯矩Mu； (2) 弹性最大弯矩Me； (3) 二者的比值。7

解：Mu2Smaxs94.1 kNm

MeWs69.6 kNm Mu1.35 Me401030101204061. 已知某材料为理想弹塑性材料，屈服极限s240 MPa，安全因数n1.5，试按极限弯矩设计矩形截面尺寸。设h2b。 解：梁内 Mmax10 kNm 极限弯矩 Mu2sSmax60bh2

M由 uMmax, h2b

n得 b40 mm, h80 mm

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20kN/mh2m1mb62. 矩形截面纯弯曲梁如图示。已知材料的拉伸弹性模量为E1，压缩弹性模量为E2，且E14E2。设纯弯曲时平面假设仍成立，已知梁截面宽度b，高h，受拉边高h1，受压边

高h2，试导出中性轴位置及弯曲正应 力公式。

解：几何关系：yMeMehh2h1bz

(0yh1), c A2物理关系：tE1yE2y (0yh2)

由 X0

 A1dAdA0

h2h解得 h22h1 h1, h2

33EE由 Mz0 1(Iz)12(Iz)2M

bh38bh3而 (Iz)1 , (Iz)28181127M故 

4E2bh327My27My解得  (0yh),  (0yh1) 1bh34bh363. 图示矩形纯弯曲梁是由两种材料牢固粘合而成，它们的弹性模量分别为E1和E2，若以胶合面为中性层，试计算h1和h2的比值。

h1Eyb h2Eyb1122解：由FN0 dy1dy2

0Melh1h2E1E2b 0故

h1h2E2 E164. 一正方形截面梁，其水平对角线为中性轴，若削去顶和底的棱角，是否可以提高梁的强度？当为何值时，其弯曲截面系数Wz最大？ 解：小棱角对z轴的惯性矩为 2I (1- )b362削去顶和底的棱角后的面积对z轴的惯性矩为勤劳的蜜蜂有糖吃

*2Iz*z4b42b2(12/3)2bbz14b2Iz 12Izb/2b/22Iz

b(1)bb对应的弯曲截面系数 Wz 76

令

dWz10，得  d9 77