一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．写出命题“若a2＞b2，则|a|＞|b|”的逆命题 ． 2．抛物线y2=4x的焦点坐标为 ．
3．如图所示的伪代码，如果输入x的值为5，则输出的结果y为 ．
4．如图，在一个面积为8的矩形中随机撒一粒黄豆，若黄豆落到阴影部分的概率为，则阴影部分的面积为 ．
5．如图是一个算法流程图，则输出的结果S为 ．
6．150]某学校对高二年级期中考试数学成绩进行分析，随机抽取了分数在[100，的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出频率分布直方图（如图所示），则成绩在[120，130）内的学生共有 人．
7．设函数，则函数y=f（x）的单调递增区间是 ．
8．如图，直线l是曲线y=f（x）在x=3处的切线，f'（x）表示函数f（x）的导函数，则f（3）+f'（3）的值为 ．
9．已知AB是圆C：x2+y2﹣4x+2y+a=0的一条弦，M（1，0）是弦AB的中点，若AB=3，则实数a的值是 ． 10．如图，椭圆
的上、下顶点分别为B2，B1，左、右顶点分
别为A1，A2，若线段A2B2的垂直平分线恰好经过B1，则椭圆的离心率是 ．
11．若函数是 ． 12．若方程
有三个不同的零点，则实数a的取值范围
有两个不相等实数根，则实数a的取值范围是 ．
13．在平面直角坐标xOy中，已知A（1，0），B（4，0），圆（x﹣a）2+y2=1上存在唯一的点P满足
，则实数a的取值集合是 ．
，g（x）=x﹣lnx，若对任意的x2∈[，1]，存
14．设a＞0，函数f（x）=x+在
，f（x1）≥g（x2）成立，则实数a的取值范围是 ．
二、解答题：本大题共6小题，15-17每小题14分，18-20每小题14分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（14分）如图是甲、乙两位同学高二上学期历史成绩的茎叶图，有一个数字被污损，用a（3≤a≤8且a∈N）表示．
（1）若乙同学算出自己历史平均成绩是92分，求a的值及乙同学历史成绩的方差；
（2）求甲同学历史平均成绩不低于乙同学历史平均成绩的概率．
16．（14分）已知p：x2+2x﹣8＜0，q：（x﹣1+m）（x﹣1﹣m）≤0（m＞0）．
（1）使p成立的实数x的取值集合记为A，q成立的实数x的取值集合记为B，当m=2时，求A∩B；
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
17．（14分）已知圆O：x2+y2=a2（a＞0），点A（0，4），B（2，2）． （1）若线段AB的中垂线与圆O相切，求实数a的值；
（2）过直线AB上的点P引圆O的两条切线，切点为M，N，若∠MPN=60°，则称点P为“好点”．若直线AB上有且只有两个“好点”，求实数a的取值范围． 18．（16分）某工厂打算建造如图所示的圆柱形容器（不计厚度，长度单位：米），按照设计要求，该容器的底面半径为r，高为h，体积为16π立方米，且h≥2r．已知圆柱的侧面部分每平方米建造费用为3千元，圆柱的上、下底面部分每平方米建造费用为a千元，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，该容器的建造总费用为y千元．
（1）求y关于r的函数表达式，并求出函数的定义域； （2）问r为多少时，该容器建造总费用最小？
19．（16分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，左、右
顶点分别为A1，A2，上、下顶点分别为B2，B1，△B2OF2是斜边长为2的等腰直角三角形，直线l过A2且垂直于x轴，D为l上异于A2的一动点，直线A1D交椭圆于点C．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若A1C=2CD，求直线OD的方程； （3）求证：
为定值．
20．（16分）已知函数f（x）=ex，g（x）=﹣x2+2x﹣af（x）（a∈R），x1，x2是两个任意实数且x1≠x2．
（1）求函数f（x）的图象在x=0处的切线方程； （2）若函数g（x）在R上是增函数，求a的取值范围； （3）求证：
．
2016-2017学年江苏省宿迁市高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．写出命题“若a2＞b2，则|a|＞|b|”的逆命题 若|a|＞|b|，则a2＞b2 ． 【考点】四种命题间的逆否关系．
【分析】根据逆命题的定义进行求解即可．
【解答】解：根据逆命题的定义得命题的逆命题为：若|a|＞|b|，则a2＞b2； 故答案为：若|a|＞|b|，则a2＞b2
【点评】本题主要考查四种命题的关系，根据逆命题的定义是解决本题的关键．
2．抛物线y2=4x的焦点坐标为 （1，0） ． 【考点】抛物线的简单性质．
【分析】先确定焦点位置，即在x轴正半轴，再求出P的值，可得到焦点坐标．
【解答】解：∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程， p=2∴焦点坐标为：（1，0） 故答案为：（1，0）
【点评】本题主要考查抛物线的焦点坐标．属基础题．
3．如图所示的伪代码，如果输入x的值为5，则输出的结果y为 23 ．
【考点】茎叶图．
【分析】根据算法语句写出分段函数，然后根据自变量选择解析式，计算函数值
即可．
【解答】解：根据条件语句可知该语句执行后是计算 y=
当x=5时， y=52﹣2=23． 故答案为：23．
【点评】本题考查了分段函数，以及条件语句的应用问题，属于基础题．
4．如图，在一个面积为8的矩形中随机撒一粒黄豆，若黄豆落到阴影部分的概率为，则阴影部分的面积为 2 ．
，
【考点】几何概型．
【分析】设阴影部分的面积为x，由概率的几何概型知阴影部分面积为矩形面积的，由此能求出该阴影部分的面积． 【解答】解：设阴影部分的面积为x， 由概率的几何概型知，则=， 解得x=2． 故答案为：2．
【点评】本题考查概率的性质和应用；每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概型，可以用来求不规则图形的面积．
5．如图是一个算法流程图，则输出的结果S为 22 ．
【考点】程序框图．
【分析】按照程序框图的流程，写出前几次循环的结果，并判断每个结果是否满足判断框中的条件，直到不满足条件，输出S的值． 【解答】解：模拟程序的运行，可得 S=0，n=1
满足条件n＜11，执行循环体，S=1，n=4 满足条件n＜11，执行循环体，S=5，n=7 满足条件n＜11，执行循环体，S=12，n=10 满足条件n＜11，执行循环体，S=22，n=13 不满足条件n＜11，退出循环，输出S的值为22． 故答案为：22．
【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构，常采用写出前几次循环的结果，找出规律的办法解决，属于基础题．
6．150]某学校对高二年级期中考试数学成绩进行分析，随机抽取了分数在[100，的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出频率分布直方图（如图所示），则成绩在[120，130）内的学生共有 300 人．
【考点】频率分布直方图．
【分析】根据频率和为1，求出成绩在[120，130）内的频率与频数即可．
【解答】解：根据频率和为1，得成绩在[120，130）内的频率为 1﹣（0.010+0.020+0.025+0.015）×10=0.3， 所以成绩在[120，130）内的学生共有 1000×0.3=300． 故答案为：300．
【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题目． 7．设函数
，则函数y=f（x）的单调递增区间是 （1，+∞） ．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．
【解答】解：∵∴f′（x）=﹣
=
，
，（x＞0），
令f′（x）＞0，解得：x＞1， 故函数的递增区间是（1，+∞）， 故答案为：（1，+∞）．
【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．
8．如图，直线l是曲线y=f（x）在x=3处的切线，f'（x）表示函数f（x）的导函数，则f（3）+f'（3）的值为
．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】根据导数的几何意义，f'（3）是曲线在（3，3）处的切线斜率为：f'（3）=
=﹣，又f（3）=3，可得结论．
【解答】解：由题意，f'（3）=所以f（3）+f′（3）=﹣+3=， 故答案为：．
=﹣，f（3）=3，
【点评】本题考查了导数的几何意义．属于基础题．
9．已知AB是圆C：x2+y2﹣4x+2y+a=0的一条弦，M（1，0）是弦AB的中点，若AB=3，则实数a的值是 ．
【考点】直线与圆相交的性质．
【分析】利用配方法得到圆的标准方程，求出直线方程、圆心到直线的距离，根据弦AB=3，求出圆的半径，即可得到a的值．
【解答】解：圆C：x2+y2﹣4x+2y+a=0，即（x﹣2）2+（y+1）2=﹣a+5， 则圆心C（2，﹣1），半径r=∵弦AB的中点为M（1，0）． ∴直线CM的斜率k=﹣1， 则直线l的斜率k=1，
则直线l的方程为y﹣0=x﹣1，即x﹣y﹣1=0． 圆心C到直线x﹣y﹣1=0的距离d=若弦AB=3， 则2+=5﹣a， 解得a=， 故答案为．
【点评】本题主要考查直线和圆的方程的应用，利用配方法将圆配成标准方程是解决本题的关键．
10．如图，椭圆
的上、下顶点分别为B2，B1，左、右顶点分=
，
，
A2，别为A1，若线段A2B2的垂直平分线恰好经过B1，则椭圆的离心率是
．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】利用已知条件，转化为：B1B2=A2B1，然后求解椭圆的离心率即可． 【解答】解：椭圆分别为A1，A2，
若线段A2B2的垂直平分线恰好经过B1， 可得B1B2=A2B1， 即：2b=可得e=
．
；
，可得：a2=3b2=3a2﹣3c2，即2a2=3c2，
的上、下顶点分别为B2，B1，左、右顶点
故答案为：
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
11．若函数
．
【考点】利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断．
【分析】根据题意求出函数的导数并且通过导数求出出原函数的单调区间，进而得到原函数的极值，因为函数存在三个不同的零点，所以结合函数的性质可得函数的极大值大于0，极小值小于0，即可单调答案． 【解答】解：由题意可得：f′（x）=x2﹣2x﹣3．
令f′（x）＞0，则x＞3或x＜﹣1，令f′（x）＜0，则﹣1＜x＜3，
所以函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1）和（3，+∞），减区间为（﹣1，3），
有三个不同的零点，则实数a的取值范围是
所以当x=﹣1时函数有极大值f（﹣1）=﹣a，当x=3时函数有极小值f（3）=﹣9﹣a，
因为函数f（x）存在三个不同的零点， 所以f（﹣1）＞0并且f（3）＜0， 解得：﹣9＜c＜．
所以实数a的取值范围是 （﹣9，）． 故答案为：
．
【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握利用导数球函数的单调区间与函数的极值，并且掌握通过函数零点个数进而判断极值点与0的大小关系．
12．若方程
．
【考点】根的存在性及根的个数判断． 【分析】画出函数y=小于半径，推出结果即可． 【解答】解：画出函数y=如图：方程可得：
≤1，解得a∈
；
．
，与y=a（x﹣2）的图象， 有两个不相等实数根，
，
，与y=a（x﹣2）的图象，利用圆心到直线的距离有两个不相等实数根，则实数a的取值范围是
结合图象可得：a∈故答案为：
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，函数的图象的交点个数的应用，考查数形结合以及函数零点个数的判断．
13．在平面直角坐标xOy中，已知A（1，0），B（4，0），圆（x﹣a）2+y2=1上存在唯一的点P满足
，则实数a的取值集合是 {﹣3，﹣1，1，3} ．
【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】求出满足满足
的轨迹方程，利用圆（x﹣a）2+y2=1上存在唯一的点P
，得到圆心距|a|=1或3，即可得出结论、
【解答】解：根据题意，设P（x，y）， ∵
，∴4|PA|2=|PB|2，
∴4（x﹣1）2+4y2=（x﹣4）2+y2， 化为x2+y2=4， ∴圆心距|a|=1或3， ∴a=﹣3，﹣1，1，3． 故答案为{﹣3，﹣1，1，3}．
【点评】本题考查了两点之间的距离公式、圆与圆的位置关系，是综合性题目．
14．设a＞0，函数f（x）=x+在[
，g（x）=x﹣lnx，若对任意的x2∈[，1]，存
，f（x1）≥g（x2）成立，则实数a的取值范围是 [，+∞）∪，] ．
【考点】函数的最值及其几何意义． 【分析】对任意的x2∈[，1]，存在
min≥g（x2）min，先对函数
，f（x1）≥g（x2）成立⇔f（x1）
g（x）求导判断出函数g（x）的单调性并求其最小值，
然后对函数f（x）进行求导判断单调性求其最小值，即可． 【解答】解：∵g（x）=x﹣lnx
∴g'（x）=1﹣，x∈[，1]，g'（x）≤0，函数g（x）单调递减，g（x）的最
小值为g（1）=1， f'（x）=
，令f'（x）=0∵a＞0∴x=a
当a≥1时，f（x）在[，1]，上单调减，f（x）最小=f（1）=1+a2≥1恒成立，符合题意； 当≥1，⇒当a
时，在[，a]上单调减，在[a，1]，上单调增，f（x）最小=f（a）=2a
；
1]上单调增，f=时，在[，（x）（）最小=f
，⇒
综上：则实数a的取值范围是：[，+∞）∪[，]．
故答案为：[，+∞）∪[，]．
【点评】本题主要考查了关任意性和存在性问题的转化策略，将任意性与存在性问题转化为函数值域关系或最值关系，并得到双变量的存在性和任意性问题的辨析方法，属于难题．
二、解答题：本大题共6小题，15-17每小题14分，18-20每小题14分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（14分）（2016秋•宿迁期末）如图是甲、乙两位同学高二上学期历史成绩的茎叶图，有一个数字被污损，用a（3≤a≤8且a∈N）表示．
（1）若乙同学算出自己历史平均成绩是92分，求a的值及乙同学历史成绩的方差；
（2）求甲同学历史平均成绩不低于乙同学历史平均成绩的概率．
【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数．
【分析】（1）由乙同学历史平均成绩是92分，求出a=6，由此能求出乙同学的历史成绩的方差．
（2）甲同学的历史平均成绩为
分，若甲的历史平均成绩不
低于乙同学历史平均成绩，求出a≤6，从而3≤a≤6且a∈N，由此能求出甲同学历史平均成绩不低于乙同学历史平均成绩的概率． 【解答】解：（1）因为乙同学历史平均成绩是92分， 所以解得a=6．…
此时乙同学的历史成绩的方差为：
=（6分）
（2）甲同学的历史平均成绩为
若甲的历史平均成绩不低于乙同学历史平均成绩， 则
，得a≤6．…（10分）
分，…（8分）
=
．…
，
因为3≤a≤8，所以3≤a≤6且a∈N，
记甲同学历史平均成绩不低于乙同学历史平均成绩为事件A， 则事件A包含4个基本事件，而基本事件总数共有6个， 所以事件A的概率
．…（13分）
；
答：（1）a的值为6，乙同学历史成绩的方差为
（2）甲同学历史平均成绩不低于乙同学历史平均成绩的概率为．…（14分） 【点评】本题考查实数值、方差的求法，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．
16．（14分）（2016秋•宿迁期末）已知p：x2+2x﹣8＜0，q：（x﹣1+m）（x﹣1﹣m）≤0（m＞0）．
（1）使p成立的实数x的取值集合记为A，q成立的实数x的取值集合记为B，
当m=2时，求A∩B；
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】（1）分别求出关于A、B的不等式，求出A、B的交集即可；（2）根据p是q的充分不必要条件，得到关于m的不等式组，解出即可． 【解答】解：（1）因为x2+2x﹣8＜0，所以﹣4＜x＜2， 则A={x|﹣4＜x＜2}；…（2分）
因为（x﹣1+m）（x﹣1﹣m）≤0（m＞0）， 所以1﹣m≤x≤1+m，
所以B={x|1﹣m≤x≤1+m}，…
当m=2时，B={x|﹣1≤x≤3}，…（6分） 所以A∩B={x|﹣1≤x＜2}．…（7分） （2）因为p是q的充分不必要条件， 所以p⇒q且q推不出p，…（10分） 则
解得m≥5，
所以当m≥5时，q是p的必要不充分条件．…（14分）
【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的交集的运算以及集合的包含关系，是一道中档题．
17．（14分）（2016秋•宿迁期末）已知圆O：x2+y2=a2（a＞0），点A（0，4），B（2，2）．
（1）若线段AB的中垂线与圆O相切，求实数a的值；
（2）过直线AB上的点P引圆O的两条切线，切点为M，N，若∠MPN=60°，则称点P为“好点”．若直线AB上有且只有两个“好点”，求实数a的取值范围． 【考点】直线和圆的方程的应用；直线与圆的位置关系．
【分析】（1）求出AB的中点坐标为（1，3），求出直线AB的斜率，AB的中垂线方程x﹣y+2=0，利用直线与圆相切，求解a即可．
（2）连接PO，OM，得到圆O'的方程为x2+y2=4a2，直线AB上有且只有两个“好
，…（12分）
点”，推出圆心O到直线AB的距离，求解即可．
【解答】解：（1）由A（0，4），B（2，2）得AB的中点坐标为（1，3），直线AB的斜率为﹣1，…..（2分）
所以AB的中垂线方程为y﹣3=1×（x﹣1），即x﹣y+2=0，….. 又因为AB的中垂线与圆O相切， 所以圆心O到AB中垂线的距离（2）连接PO，OM，
，即
．…（6分）
在Rt△POM中，∠OPM=30°，OM=a，
所以PO=2OM=2a，…．（8分）
所以点P的轨迹是以O为圆心，2a为半径的圆，记为圆O'， 则圆O'的方程为x2+y2=4a2，…..（10分）
又因为直线AB的方程为x+y﹣4=0，且直线AB上有且只有两个“好点”， 则直线AB与圆O'相交，所以圆心O到直线AB的距离故实数a的取值范围是
．…．（14分）
，
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，圆的方程的求法，考查转化思想以及计算能力．
18．（16分）（2016秋•宿迁期末）某工厂打算建造如图所示的圆柱形容器（不计厚度，长度单位：米），按照设计要求，该容器的底面半径为r，高为h，体积为16π立方米，且h≥2r．已知圆柱的侧面部分每平方米建造费用为3千元，圆柱的上、下底面部分每平方米建造费用为a千元，假设该容器的建造费用仅与
其表面积有关，该容器的建造总费用为y千元． （1）求y关于r的函数表达式，并求出函数的定义域； （2）问r为多少时，该容器建造总费用最小？
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数模型的选择与应用． 【分析】（1）设容器的容积为V，利用体积公式化简求解即可． （2）求出函数的导数性求解最值即可．
【解答】解：（1）设容器的容积为V， 由题意知V=πr2h=16π，故
，…..（2分）
，求出极值点利用函数的单调
因为h≥2r，所以0＜r≤2，…． 故建造费用即
（2）由（1）得令y'=0得①当若若所以②当
，…..（8分） 即a＞3时，
，则y'＜0，函数单调递减； ，则y'＞0，函数单调递增；
时，函数取得极小值，也是最小值．…（12分） 即0＜a≤3时，
．…．（6分）
，
，
因为r∈（0，2]，则y'＜0，函数单调递减； 则r=2时，函数取得最小值．…（14分） 综上所述：若a＞3，当
时，建造总费用最少；
若0＜a≤3，当r=2时，建造总费用最少．…..（16分）
【点评】本题考查实际问题的应用，函数的解析式的求法，导数的应用，函数的最值的求法，考查计算能力．
19．（16分）（2016秋•宿迁期末）已知椭圆
的左、右焦点
分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，上、下顶点分别为B2，B1，△B2OF2是斜边长为2的等腰直角三角形，直线l过A2且垂直于x轴，D为l上异于A2的一动点，直线A1D交椭圆于点C． （1）求椭圆的标准方程；
（2）若A1C=2CD，求直线OD的方程； （3）求证：
为定值．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．
【分析】（1）利用已知条件，求出椭圆的几何量a，b，即可求出椭圆方程． （2）设C（x1，y1），D（2，y2），通过直线OD的方程．
（3））（解法一）设D（2，y0），C（x1，y1），推出直线A1D方程
，
，求出C、D的坐标，然后求解
代入椭圆，利用韦达定理，求出，然后求
解向量的数量积即可．
（解法二）由已知直线A1D斜率存在，设A1D的方程为y=k（x+2），设C（x0，y0），由
消去y，利用韦达定理，求出
，然后
求解向量的数量积．
【解答】解：（1）因为△B2OF2是斜边长为2的等腰直角三角形， 所以a=2，b=c，
又因为a2=b2+c2，所以b2=2，
所以椭圆标准方程为．…
（2）设C（x1，y1），D（2，y2）， 因为AC=2CD，所以
，
所以有（x1﹣（﹣2），y1﹣0）=2（2﹣x1，y2﹣y1），…（6分） 所以则当当
，解得
，代入椭圆方程得
，
时，y2=2，D（2，2），直线OD的方程为y=x； …（8分） 时y2=﹣2，D（2，﹣2），直线OD的方程为y=﹣x．…（10分）
（3）（解法一）设D（2，y0），C（x1，y1）， 则直线A1D：
，即
，
代入椭圆得．…（12分）
因为，所以，，
则，…（14分）
所以
（定值）．…（16分）
（解法二）由已知直线A1D斜率存在，设A1D的方程为y=k（x+2）， 设C（x0，y0）由
得x2+2k2（x+2）2=4，
即（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣4=0，…（12分） 则
，∴
，
，
则，
故．…（14分）
由y=k（x+2）令x=2，得y=4k，则F（2，4k），故所以，
=
（定值）…（16分）
【点评】本题考查向量与椭圆方程的综合应用，椭圆方程的求法，直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力．
20．（16分）（2016秋•宿迁期末）已知函数f（x）=ex，g（x）=﹣x2+2x﹣af（x）（a∈R），x1，x2是两个任意实数且x1≠x2． （1）求函数f（x）的图象在x=0处的切线方程； （2）若函数g（x）在R上是增函数，求a的取值范围； （3）求证：
．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（0），从而求出过（0，1）的切线方程即可；
（2）求出g（x）的导数，分离参数，问题转化为
恒成立，令
，根据函数的单调性求出a的范围即可；
（3）不妨设x1＞x2，
，只需证明
（t＞0），只需证明2tet
＜e2t﹣1对t＞0恒成立，设h（t）=e2t﹣2tet﹣1，根据函数的单调性求出h（t）的最小值，证明即可．
【解答】解：（1）因为f'（x）=ex，…（1分） 则切线的斜率为f'（0）=1，切点为（0，1），
所以函数f（x）的图象在x=0处切线方程为y=x+1； … （2）由g（x）=﹣x2+2x﹣aex得g'（x）=﹣2x+2﹣aex， 因为函数在实数集上是增函数，
所以g'（x）=﹣2x+2﹣aex≥0恒成立，… 则
恒成立，
令，
由得x=2，…（7分）
当x∈（﹣∞，2）时，h'（x）＜0，函数h（x）递减； 当x∈（2，+∞）时，h'（x）＞0，函数h（x）递增； 所以当x=2时，函数故实数a的取值范围是（3）要证明
，
．…（9分）
，即证明
，
只需证明
，不妨设x1＞x2，
，
只需证明（t＞0），
只需证明2tet＜e2t﹣1对t＞0恒成立，…（11分） 设h（t）=e2t﹣2tet﹣1，
则h'（t）=（et•et）'﹣2tet﹣2et=2e2t﹣2tet﹣2et=2et（et﹣t﹣1）， 设φ（t）=et﹣t﹣1，当t＞0时φ'（t）=et﹣1＞0恒成立， 则φ（t）递增，φ（t）＞φ（0）=0，即h'（t）＞0，…（13分） 则h'（t）＞0，故函数h（t）递增，有h（t）＞h（0）=0恒成立， 即2tet＜e2t﹣1对t＞0恒成立，
所以，即．…（16分）
【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，渗透换元思想、分类讨论思想，是一道综合题．
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