数学试卷
★祝考试顺利★ (含答案)
一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）.
1．已知复数z＝a2+（a+1）i，若z是纯虚数，则z的共轭复数＝（ ） A．i
B．﹣i
C．1
D．﹣1
解：∵复数z＝a2+（a+1）i 是纯虚数， ∴a2＝0，即a＝0， ∴z＝i， ∴
．
故选：B．
2．把颜色分别为红、黄、白、紫的四个小球随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一个．事件“甲分得红色球”与事件“乙分得红色球”是（ ） A．对立事件 C．互斥但非对立事件
B．相互独立事件 D．以上都不对
解：把颜色分别为红、黄、白、紫的四个小球随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一个．共有4×3×2×1＝24种情况，
事件A“甲分得红色球”与事件B“乙分得红色球”是其中的两种，
A∩B＝∅，互斥事件，
A∪B≠全体基本事件，不对立，
所以两个事件的关系是互斥但不对立事件， 故选：C．
3．某校高一甲、乙两个班分别有男生24名、15名，现用比例分配的分层随机抽样方法从两班男生中抽取样本量为13的样本，对两个班男生的平均身高进行评估．已知甲班、乙班男生身高的样本平均数分别为175cm、177.6cm，以所抽取样本的平均身高作为两个班男生的平均身高，则两个班男生的平均身高为（ ） A．176cm
B．176.3cm
C．176.6cm
D．176.9cm
解：由题意知，24：15＝8：5，
故分别从高一甲、乙两个班抽取男生8名、5名， 则两个班男生的平均身高为故选：A．
4．复平面内的平行四边形OABC的项点A和C（O是坐标原点）对应的复数分别为4+2i和﹣2+6i，则点B对应的复数为（ ） A．2+6i 解：∵
＝
+
B．2+8i ，
C．6+2i
D．8+2i
＝176，
∴点B对应的复数为4+2i+（﹣2+6i）＝2+8i， 故选：B．
5．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，E、F分别为棱CC'、AB的中点，则EF与平面ABCD所成角的正切值是（ ）
A． B． C． D．
解：连接FC，∵EC⊥面ABCD，∴∠EFC就是EF与平面ABCD所成的角． tan∠EFC＝故选：D．
＝
＝
6．某运动队为了对A、B两名运动员的身体机能差异进行研究，将A、B两名运动员连续10天完成训练指标任务的综合得分绘成折线图，并提出下列四个结论，其中错误的结论是（ ）
A．第3天至第10天两名运动员综合得分均超过80分 B．第2天至第7天B运动员的得分逐日提高
C．第2天至第3天A运动员的得分增量大于B运动员的得分增量
D．A运动员第1天至第3天的得分方差大于第2天至第4天的得分的方差
解：由折线图可知，第第3天至第10天两名运动员综合得分均超过80分，故选项A正确； 由折线图可知，第2天至第7天B运动员的得分逐日提高，故选项B正确；
第2天至第3天A运动员的得分增量大于2，B运动员的得分增量小于2，故选项C正确； 由折线图可知，在第1天至第3天的得分中，A运动员的最小得分为78分，最高得分为80分，
在第2天至第4天的得分中，最小得分为78分，最高得分高于80分，
所以A运动员第1天至第3天的得分方差小于第2天至第4天的得分的方差，故选项D错误． 故选：D．
7．关于空间两条不同直线a，b和两个不同平面α，β，下列命题正确的是（ ） A．若a∥b，b⊂α，则a∥α C．若a∥α，α⊥β，则a⊥β
B．若a⊥β，a⊥b，b⊂α，则α∥β D．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b
解：若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故A错误；
若a⊥β，a⊥b，b⊂α，则α∥β或α与β相交，故B错误； 若a∥α，α⊥β，则a∥β或a⊂β或a与β相交，故C错误； 若a⊥α，α⊥β，则a∥β或a⊂β，又b⊥β，∴a⊥b，故D正确． 故选：D．
8．如图，在△ABC中，∠CAB＝
，AB＝3，AC＝2，
，
，则|
|＝（ ）
A． B． C． D． ，
，
解：∵在△ABC中，∠CAB＝∴∴|∴|
＝
﹣
＝
+
﹣
，AB＝3，AC＝2，＝
﹣
，
|2＝×|＝
．
﹣2×××3×2cos∠BAC×32＝×22＝，
故选：A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．某圆锥的底面半径为4，母线长为5，则下列关于此圆锥的说法正确的是（ ） A．圆锥的体积为16π B．圆锥的侧面展开图的圆心角为C．圆锥的侧面积为10π
D．过圆锥两条母线的截面面积最大值为
解：某圆锥的底面半径为r＝4，母线长为l＝5，如图所示：
对于A，圆锥的高为h＝＝3，圆锥的体积为V＝π×42×3＝16π，选项A正确；
＝
，选项B错误；
对于B，圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为θ＝
对于C，圆锥的侧面积为S侧＝π×4×5＝20π，选项C错误；
对于D，圆锥的轴截面是等腰三角形，顶角的余弦值为cosα＝钝角，
所以过圆锥两条母线的截面面积最大值为Smax＝×52×sin90°＝故选：AD．
10．给定组数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，则（ ） A．中位数为3 C．众数为2和3
B．标准差为
＜0，所以顶角为
，选项D正确．
D．第85百分位数为4.5
解：将数据从小到大排序为1，2，2，2，3，3，3，4，5，5， 故中位数为平均数是标准差是
第85百分位数为第9个数字5， 故选：AC．
11．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c．则下列命题正确的是（ ） A．若a＝3
，b＝3，B＝30°，则A＝60° ＝3，众数为2，3，
＝3，
＝
，
B．若A＞B，则sinA＞sinB
C．若＜cosA，则△ABC为钝角三角形 D．若a＝
，b＝3，c2+2ab＝a2+b2，△ABC的面积为3
解：△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 对于A：由于a＝3
，b＝3，B＝30°，利用正弦定理
，解得sinA＝
，由于
0＜A＜π，所以A＝60°或120°，故错误；
对于B：当A＞B时，所以a＞b，根据正弦定理2RsinA＞2RsinB，整理得sinA＞sinB，故正确；
对于C：若＜cosA，整理得c＜bcosA，故2c2＜2bccosA，结合余弦定理．整理得a2+c2＜
b2，故△ABC为钝角三角形，故正确； 对于D：若a＝
，b＝3，且c2+2ab＝a2+b2，利用余弦定理可得2ab＝2abcosC，解得cosC＝，因为0＜C＜π，所以C＝，
所以S△ABC＝absinC＝＝
，故D错误；
故选：BC．
12．下列命题中正确的是（ ）
A．设向量＝（﹣1，1），＝（，），则是与垂直的单位向量 B．若λ∈R，且＝，则与共线 C．若四边形ABCD满足
+
＝，（
﹣
）•
＝0，则该四边形是菱形 D．若O是△ABC所在平面上一定点，动点P满足＝
+λ（
+
），λ∈（∞），则直线AP一定经过△ABC的内心
解：对于A：•＝（﹣1，1）•（，）＝﹣+＝0， 又||＝
＝
，不是单位向量，故A不正确； 对于B：若λ∈R，且＝
，则与共线，故B正确； 对于C：四边形ABCD中，因为+
＝，
所以
＝﹣
，
所以AB∥CD且|
|＝|
|，
所以四边形ABCD是平行四边形， 又（﹣）•＝0， 所以（+）•
＝0，
即•＝0， 所以
⊥
，
所以平行四边形ABCD是矩形，故C不正确； 对于D：因为
＝
+λ（
+
），
，分别表示，上的单位向量，，
所以
＝
+λ（
+
），
0，+
所以所以+
﹣＝λ（
+，
+），
＝λ（表示以
），
为邻边的菱形的对角线上的向量，
又菱形对角线平分对角， 因为
与λ（
+
）共线，
所以AP在∠A的平分线上，
所以直线AP一定经过△ABC的内心，故D正确． 故选：BD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知复数z满足（解：∵（∴∴故答案为：
．
．
．
+2i）•z＝7i，则|z|＝
．
+2i）•z＝7i，
，
14．已知向量||＝3，||＝2，若•（﹣）＝12，则向量、的夹角为 解：根据题意，设向量、的夹角θ，
若•（﹣）＝12，则2﹣•＝9﹣6cosθ＝12， 则cosθ＝﹣， 又由0≤θ≤π，则θ＝故答案为：
．
，
15．为了普及安全教育，某校组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分．在竞赛中，甲、乙两班代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队每人回答问题正确的概率分别为，，，且两队各人回答问题正确与否互不影响，则乙队总得分为3分的概率是 队总得分为3分的概率是
．
，甲队总得分为2分且乙
解：根据题意，设“乙队总得分为3分”为事件A，“甲队总得分为2分”为事件B， 若乙队总得分为3分，即乙队三人都回答正确，则P（A）＝××＝；
若甲队总得分为2分，即甲队三人中有2人回答正确，则P（B）＝C32（）2×＝， 则甲队总得分为2分且乙队总得分为3分，即事件AB的概率P（AB）＝P（A）P（B）＝×＝．
故答案为：；．
16．已知三棱锥A﹣BCD的所有顶点都在球O的球面上，且AB⊥平面BCD，AB＝＝4，CD＝2
，则球O的表面积为 22π ．
，AC＝AD＝4，
，AC＝AD解：三棱锥A﹣BCD的所有顶点都在球O的球面上，且AB⊥平面BCD，AB＝
CD＝2，
如图所示：
所以BC＝BD＝由于BC2+BD2＝CD2，
，
所以△BCD为等腰直角三角形； 取AB的中点F，
过CD的中点E作OE⊥平面BCD，过点F作AB的垂直平分线交OE于点O， 所以点O为三棱锥体的外接球的球心， 所以R＝OB＝所以球的表面积为S＝故答案为：22π．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
，
．
17．某数学学习小组有男生4名（记为b1，b2，b3，b4），女生2名（记为g1，g2），现从中随机选出2名学生去参加学校的数学竞赛（每人被选到的可能性相同）． （1）求参赛学生中恰有1名男生的概率； （2）求参赛学生中至少有1名女生的概率．
解：（1）从6名学生中选取2名学生参赛可能的结果有：
（b1，b2），（b1，b3），（b1，b4），（b2，b3），（b2，b4），（b3，b4） （b1，g1），（b1，g2），（b2，g1），（b2，g2），（b3，g1），（b3，g2）， （b4，g1），（b4，g2），（g1，g2），共15种，
用A表示事件“参赛学生中恰有1名男生的概率”，则事件A包含的基本事件有： （b1，g1），（b1，g2），（b2，g1），（b2，g2），（b3，g1）， （b3，g2），（b4，g1），（b4，g2），共8个， 故参赛学生中恰有1名男生的概率为P（A）＝
．
（2）用B表示事件“参赛学生中至少有1名女生的概率”，则事件B包含的基本事件有： （b1，g1），（b1，g2），（b2，g1），（b2，g2），（b3，g1），（b3，g2）， （b4，g1），（b4，g2），（g1，g2），共9个， 故参赛学生中至少有1名女生的概率为P（B）＝
＝．
18．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若asinB﹣（1）求角A的大小；
（2）若bc＝3，b+c＝4，求a的值． 解：（1）因为asinB﹣
bcosA＝0．
bcosA＝0，
sinBcosA＝0，
所以由正弦定理可得sinAsinB﹣因为sinB≠0， 所以sinA﹣
cosA＝0，可得tanA＝，
因为A∈（0，π）， 所以A＝
．
，bc＝3，b+c＝4，
（2）因为A＝
所以由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝16﹣3×3＝7， 可得a＝
．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°．点E，F分别是棱BC，PD的中点． （1）证明：EF∥平面PAB； （2）若AB＝2
，求点F到平面PAB的距离．
【解答】（1）证明：取PA的中点H，连接FH，BH， ∵点F是棱PD的中点， ∴FH∥AD，FH＝AD．
∵点E是棱BC的中点，四边形ABCD是菱形， ∴BE∥AD，BE＝AD， ∴HF∥BE，且HF＝BE， ∴四边形BEFH是平行四边形， ∴EF∥BH，
∵BH⊂平面PAB，EF⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB． （2）解：由（1）可得：EF∥平面PAB．
∴要求点F到平面PAB的距离，只要求点E到平面PAB的距离d即可． ∵点E是棱BC的中点，
∴求出点C到平面PAB的距离h，则d＝h． 取AB的中点O，连接OC，AC． ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴OC⊥AB，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥OC，
∴OC⊥平面PAB，
∴OC是点C到平面PAB的距离，
h＝OC＝BCsin60°＝2∴d＝h＝
．
×＝，
20．某校为了对学生的阅读素养进行监测，随机抽取了M名学生进行阅读素养评分．评分规则规定实行百分制计分，现将所得的成绩按照[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分成6组，并根据所得数据作出了如下所示的频数与频率的统计表和频率分布直方图．由于一些特殊原因，统计表和直方图都已残缺，请对照图中现有信息按要求还原数据．
分组 [40，50） [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100） 合计
频数 5 25
频率
p 0.30 1
M
（1）求出表中M，p及图中a，b的值；
（2）估计该校学生阅读素养的成绩中位数以及平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）．
解：（1）由频率分布直方图得[40，50）的频率为：0.005×10＝0.05， 由频数分布表得[40，50）的频数为5， ∴M＝∴p＝
＝100， ＝0.25，a＝
＝0.025，
（0.005+0.025+0.03+b+0.01+0.01）×10＝1， 解得b＝0.02．
（2）[40，60）的频率为：（0.005+0.025）×10＝0.3， [60，70）的频率为：0.030×10＝0.3， ∴估计该校学生阅读素养的成绩中位数为： 60+
＝
．
估计该校学生阅读素养的成绩平均数为：
＝45×0.005×10+55×0.025×10+65×0.030×10+75×0.020×10+85×0.01×10+95×0.01×10＝68.5．
21．直四棱柱ABCD﹣A'B'C'D'中，ABCD是等腰梯形，AD⊥BD，AD＝1，AB＝AA'＝2，P为A'B'的中点．
（1）求证：B'D'⊥面AA'D'；
（2）求直线AP与直线BC所成角的余弦值．
【解答】（1）证明：ABCD﹣A'B'C'D'是直四棱柱， ∴B'D'⊥A'A，
∵AD⊥BD，A'A⊂面AA'D'．
AD∥A'D'，A'D'⊂面AA'D'． A'A∩AD＝A， ∴B'D'⊥面AA'D'．
（2）解：连接D'P，ABCD是等腰梯形，P为A'B'的中点，
∴BC∥B'C'∥D'P，可得∠APD'是直线AP与直线BC所成角的平面角， 在△AD'P中，AD＝1，AB＝AA'＝2，P为A'B'的中点．AD'＝AP＝由余弦定理，可得cos∠APD'＝
．
．
，PD'＝1；
故直线AP与直线BC所成角的余弦值为
22．如图，某湖有一半径为1百米的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距2百米的点A处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且满足AB＝AC，∠BAC＝90°．定义：四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”；OC的长为“最远直接监测距离”．设∠AOB＝θ．
（1）若θ＝60°，求“直接监测覆盖区域”的面积； （2）试确定θ的值，使得“最远直接监测距离”最大．
解：（1）在△OAB中，因为∠AOB＝θ，OB＝1，OA＝2， 由余弦定理可得，AB2＝OB2+OC2﹣2OB•OA•cos∠AOB， 所以
，
，
，
故S△OACB＝S△OAB+S△ABC＝则
令tanφ＝2，又θ＝60°， 则
，
；
所以“直接监测覆盖区域”的面积为
（2）以O为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示， 则A（2，0），O（0，0），B（cosθ，sinθ）， 设点C（x，y），
由题意可知，，即，
解得所以|OC|＝所以当故当
，
＝
，即
时，|OC|取得最大值
＝
＝
，
，
时，使得“最远直接监测距离”最大．
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