数学试题
(满分160分，考试时间120分钟)
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 集合A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{1，2，3，4}，则A∩B＝________．
2. 已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，且满足iz＝9＋i(其中i为虚数单位)，则a＋b＝________．
3. 某校高二(4)班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时为7分钟，有15人用时为8分钟，还有4 人用时为10分钟，则高二(4)班全体同学中午用餐平均用时为________分钟．
x
4. 函数f(x)＝(a－1)－3(a＞1，a≠2)过定点________．
5. 已知等差数列{an}(公差不为0)，其中a1，a2，a6成等比数列，则这个等比数列的公比为________．
6. 小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道做答，小李会做其中的3道题，则抽到的2道题小李都会的概率为________．
7. 在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝1，点E为BC的中点，则点A到平面A1DE的距离是________．
(第7题)
(第8题)
8. 如图所示的流程图中，输出n的值为________．
22
9. 圆C：(x＋1)＋(y－2)＝4关于直线y＝2x－1对称的圆的方程为________________． 10. 已知正方形ABCD的边长为2，圆O内切于正方形ABCD，MN为圆O的一条动直径，→→
点P为正方形ABCD边界上任一点， 则PM·PN的取值范围是________．
xy
11. 双曲线C：－＝1的左右顶点为A，B，以AB为直径作圆O，P为双曲线右支上
43不同于顶点B的任一点，连结PA交圆O于点Q，设直线PB，QB的斜率分别为k1，k2.若k1＝λk2，则λ＝________．
222
12. 若对于任意的正数a，b，不等式(2ab＋a)k≤4b＋4ab＋3a恒成立，则k的最大
2
2
值为________．
1
13. 在直角三角形ABC中，∠C为直角，∠BAC＞45°，点D在线段BC上，且CD＝ CB.
31
若tan∠DAB＝，则∠BAC的正切值为________．
2
14. 已知函数f(x)＝|x－1|＋x＋kx＋9在区间(0，3)内有且仅有两个零点，则实数k的取值范围是________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(2a－3b，3c)，向量n＝(cos B，cos C)，且m∥n.
(1) 求角C的大小；
π
(2) 求y＝sin A＋3sin(B－)的最大值．
3
16. (本小题满分14分)
在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，O为其中心，△PAD为锐角三角形，且平面PAD⊥底面ABCD，点E为PD的中点，CD⊥DP.求证：
(1) OE∥平面PAB； (2) CD⊥PA.
2
2
17. (本小题满分14分)
xy
已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，焦距为4，且椭圆过点(2，
ab5
)，过点F2且不平行于坐标轴的直线l交椭圆于P，Q两点，点Q关于x轴的对称点为R，3
直线PR交x轴于点M.
(1) 求△PF1Q的周长；
(2) 求△PF1M面积的最大值．
2
2
18. (本小题满分16分)
一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形MNPQ的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形ABCD(如图所示)，其中AD≥AB.结合现有的生产规
3
模，设定修建的发酵池容积为450 m，深2 m．若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65 400元．
(1) 求发酵池AD边长的范围； (2) 在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4 m和b m的走道(b为常数)．问：发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小．
19. (本小题满分16分)
1
已知{an}，{bn}均为正项数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且a1＝，b1＝1，b2＝2，当
22（Tn－Tn－1）
n≥2，n∈N时，Sn－1＝1－2an，bn＝－2Tn－1.
bn＋1＋bn－1
*
2
2
(1) 求数列{an}，{bn}的通项公式；
（bn＋2）an
(2) 设cn＝，求数列{cn}的前n项和Pn. 2bn＋bn20. (本小题满分16分)
设函数f(x)＝ln x－ax，a∈R，a≠0. (1) 求函数f(x)的单调区间；
(2) 若函数f(x)＝0有两个零点x1，x2(x1＜x2)． (Ⅰ) 求a的取值范围；
x2
(Ⅱ) 求证：x1·x2随着的增大而增大．
x1
数学附加题
(满分40分，考试时间30分钟)
21. (本小题满分10分)
a
已知a，b∈R，矩阵A＝
c
b
1
点P(－2，.若矩阵A属于特征值5的一个特征向量为，
d1
1)在A对应的变换作用下得到点P′(－1，2)，求矩阵A.
22.(本小题满分10分)
x＝4cos θ，
已知曲线C1：(其中θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为
y＝4sin θ
π
极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos(θ－)＝23.设曲线C1与曲线C2交
3于A，B两点，求AB的长．
23. (本小题满分10分)
如图，矩形ABCD所在的平面垂直于平面AEB，点O为AB的中点， ∠AEB＝90°，∠EAB＝30°，AB＝23，AD＝3.
(1) 求异面直线OC与DE所成角的余弦值； (2) 求二面角ADEC的正弦值．
24.(本小题满分10分)
对于任意的x＞1，n∈N，用数学归纳法证明：e
*
x－1
x>. n！
n
数学参考答案及评分标准
15162
1. {1，3} 2. －8 3. 4. (0，－2) 5. 4 6. 7. 8. 4 9. (x－3)
223＋y＝4 10. [0，1]
326
11. － 12. 22 13. 3 14. (－，－8)
4315. 解：(1) ∵ m∥n，
∴ (2a－3b)cos C－3ccos B＝0.(2分)
由正弦定理可得2sin Acos C－3sin Bcos C－3sin Ccos B＝0，(4分) 即2sin Acos C＝3sin(B＋C)＝3sin A．(6分) 又A为△ABC的内角，∴ sin A≠0，∴ cos C＝又C为△ABC的内角，故C＝
π
.(8分) 6
3. 2
2
πππ
(2) y＝sin A＋3sin(B－)＝sin(B＋)＋3sin(B－)(10分)
363
1333π
＝cos B＋sin B＋sin B－cos B＝3sin B－cos B＝2sin(B－)，(12分) 222262π
当B＝时，y的最大值为2.(14分)
3
16. 证明：(1) 连结BD，因为底面是平行四边形，故BD经过O点，且点O为BD的中点．
又点E为PD的中点，所以OE∥PB.(4分) 因为OE⊄平面PAB，PB⊂平面PAB， 所以OE∥平面PAB.(6分)
(2) 在平面PAD内作PH⊥AD，由于△PAD为锐角三角形， 设PH∩AD＝H.
因为平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PH⊥AD，PH⊂平面PAD， 所以PH⊥平面ABCD.(8分)
又CD⊂平面ABCD，所以PH⊥CD.(10分)
而CD⊥DP，PH∩PD＝P，PH，PD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD.(12分) 而PA⊂平面PAD，则CD⊥PA.(14分)
22
17. 解：(1) 由椭圆的焦距为4，则c＝2，从而a－b＝4.
54252222
又椭圆过点(2，)，所以2＋2＝1，即36b＋25a＝9ab，
3a9b164222
消去b，得9a－97a＋144＝0，解得a＝9或a＝(舍去)，
9
所以a＝3.(4分)
则△PF1Q的周长为4a＝12.(6分)
xy
(2) 由(1)得椭圆方程为＋＝1，F2(2，0)．
95
设直线l的方程为y＝k(x－2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(m，0)，则R(x2，－y2)， y1＋y2
直线PR的方程为y－y1＝(x－x1)，
x1－x2
y1＋y2y1（x2－x1）
令y＝0，则－y1＝(x－x1)，x＝＋x1，
x1－x2y1＋y2
y1（x2－x1）y1x2＋y2x12x1x2－2（x1＋x2）
所以m＝＋x1＝＝.(8分)
y1＋y2y1＋y2x1＋x2－4
将直线l的方程与椭圆方程联立，并消去y，得(5＋9k)x－36kx＋36k－45＝0， 36k36k－45
则x1＋x2＝2，x1x2＝2，(10分)
5＋9k5＋9k36k－4536k2×2－2×2
5＋9k5＋9k－909
从而m＝＝＝，(12分) 2
36k－202
2－45＋9k11913135
S△PF1M＝F1M·|y1|＝×＋2·|y1|＝|y1|≤，
22244所以△PF1M面积的最大值为
135
.(14分) 4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
225225
18. 解：设发酵池AD边长为x m，则另一边长为 m，且x≥，即x≥15.(2分)
xx225
(1) 225×200＋4(x＋)×150≤65 400，(4分)
x化简得x－34x＋225≤0，解得9≤x≤25，(6分) 所以发酵池AD边长的范围是[15，25]．(8分)
2251 800
(2) 发酵馆占地面积S＝(x＋8)(＋2b)＝225＋16b＋2bx＋，15≤x≤25，(10
xx分)
1 8002bx－1 80030
令S′＝2b－2＝＝0，解得x＝， 2
xxb
S′ S 当30
(0，30b) 30b (30b，＋∞) ＋ 递增 2
2
－ 递减 0 ＜15，即b＞4时，AD边为15 m，S最小；(12分)
b
303630
当15≤≤25，即≤b≤4时，AD边长为 m，S最小；(14分)
25bb当30
36
＞25时，即0＜b＜时，AD边长为25 m，S最小．(16分)
25b
答：(1) 发酵池AD边长的范围是[15，25]．
3630
(2) 当b＞4时，AD边长为15 m，S最小；当≤b≤4时，AD边长为 m，S最小；
25b36
当0＜b＜时，AD边长为25 m，S最小．
25
(注：答不写扣2分)
*
19. 解：(1) 因为当n≥2，n∈N时Sn－1＝1－2an，所以Sn＝1－2an＋1， an＋11
两式相减得an＝2an－2an＋1，即an＝2an＋1，所以＝.(2分)
an21a21
当n＝2时，a1＝1－2a2，所以a2＝，所以＝，
4a121
所以数列{an}为等比数列，其通项公式为an＝n.(4分)
2
2（Tn－Tn－1）22
当n≥2，n∈N，bn＝－2Tn－1，所以(bn＋2Tn－1)(bn＋1＋bn－1)＝2(Tn－Tn－1)，
bn＋1＋bn－1
*
2
2
所以(Tn＋Tn－1)(bn＋1＋bn－1)＝2(Tn－Tn－1)．
因为Tn＋Tn－1＞0，所以bn＋1＋bn－1＝2(Tn－Tn－1)＝2bn，(6分)
所以数列{bn}为等差数列，且b1＝1，b2＝2，所以数列{bn}的通项公式为bn＝n.(8分) bn＋2n＋211
(2) 因为cn＝2an＝2n＝n－1－n，(12分)
bn＋bn（n＋n）·2n·2（n＋1）·2所以Pn＝(1
n，
（n＋1）·2
1
即Pn＝1－n.(16分)
（n＋1）·2
11－ax
20. (1) 解：因为f′(x)＝－a＝，x＞0，
xx
当a＜0时，f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增；(2分) 11
当a＞0时，x∈(0，)，f′(x)＞0，x∈(，＋∞)，f′(x)＜0，
aa11
所以f(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减．
aa综上，当a＜0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无减区间；
11
当a＞0时，f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，＋∞)．(4分)
aa(2) (Ⅰ) 解：由(1)可知：
当a＜0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f(x)至多有一个零点，不符合；(5分) 1
当a＞0时，f()＝－ln a－1，
a
11
① 若f()＝－ln a－1＜0，即a＞时，f(x)＜0恒成立，所以函数f(x)无零点，不符
ae合；
111111n－1－－)＋(－n＝1－2)＋…＋（n＋1）·21×12×22×23×2n·2
22
11
② 若f()＝－ln a－1＝0，即a＝时，f(x)只有一个零点，不符合；
ae111
③ 若f()＝－ln a－1＞0，即0＜a＜时，此时＞e.
aea1
f(1)＝－a＜0，所以f(x)在(0，)上只有一个零点，(8分)
a1111
f(2)＝2ln －，设＝t＞e，则g(t)＝2ln t－t， aaaa
22－t因为g′(t)＝－1＝＜0，g(t)在(e，＋∞)上单调递减，g(t)＜g(e)＝2－e＜0，
tt1
即f(2)＜0，
a
11
所以f(x)在(，2)上只有一个零点，(9分)
aa1
即0＜a＜时，f(x)有两个零点，函数有两个零点．
e1
综上，0＜a＜时，函数有两个零点．(10分)
e(Ⅱ) 证明： 因为函数f(x)有两个零点x1，x2，
ln（x1x2）＝a（x1＋x2），ln x1＝ax1，
所以⇒x2
ln x＝axln ＝a（x－x），2221x1x2
（x2＋x1）ln
x1
两式相比可得ln(x1x2)＝.(12分)
（x2－x1）
1
t－－2ln ttx2（t＋1）ln t
令＝t(t＞1)，则设ln(x1x2)＝＝m(t)，m′(t)＝2. x1（t－1）（t－1）112t－2t＋1设φ(t)＝t－－2ln t，φ′(t)＝1＋2－＝＞0， 2tttt所以φ(t)在(1，＋∞)上单调递增，φ(t)＞φ(1)＝0，(14分)
即m′(t)＞0，m(t)随着t的增大而增大， x2
所以ln(x1x2)随着的增大而增大．
x1
x2
又e＞1，即x1·x2随着的增大而增大．(16分)
x1
2
数学附加题参考答案及评分标准
a＋b＝5，ab11
21. 解：由题意得(2分) ＝5，可得
c＋d＝5.cd11－2a＋b＝－1，a b－2－1
又(4分) ＝，可得
－2c＋d＝2，c d 1 2
解得a＝2，b＝3，c＝1，d＝4，(8分) ∴ A＝
23
14
.(10分)
πππ
22. 解：由ρcos(θ－)＝23可得ρ(cos θcos ＋sin θsin )＝23，
333即曲线C2的直角坐标方程为x＋3y－43＝0；(4分) 22
曲线C1的直角坐标方程为x＋y＝16，(6分) 43
所以圆心到直线的距离为d＝＝23，(8分)
2
所以AB＝216－12＝4.(10分)
23. 解：∵ AB＝23，∠EAB＝30°，∠AEB＝90°， ∴ EB＝3，AE＝3.
以点E为坐标原点，EB所在直线为x轴，EA所在直线为y轴，建立空间直角坐标系， 则E(0，0，0)，A(0，3，0)，B(3，0，0)，C(3，0，3)，D(0，3，3)，O(0)，
33，，22
33→→
(1) OC＝(，－，3)，DE＝(0，－3，－3)，
22→→
∴ |OC|＝23，|DE|＝32， 9→→9
∴ OC·DE＝－9＝－，
22
9
－→→2OC·DE6→→
∴ cos〈OC，DE〉＝＝＝－，(2分)
→→8|OC||DE|23×32
∴ 异面直线OC与DE所成角的余弦值
6
.(4分) 8
→
(2) 设平面DCE的一个法向量为m＝(x，y，z)，CE＝(－3，0，－3)， →m·DC＝3x－3y＝0，
则
→m·CE＝－3x－3z＝0，
取x＝3，得m＝(3，1，－1)．(6分)
平面EAD的一个法向量n＝(1，0，0)，(8分) ∴ cos〈m，n〉＝
m·n315
＝＝， |m||n|55×1
10
， 5
10
.(10分) 5
x－1
x－1
∴ sin〈m，n〉＝
∴ 二面角ADEC的正弦值为
24. 证明：① 当n＝1时，只需证e＞x，设f(x)＝e－x(x＞1)，则f(1)＝0.
x－1
而x＞1时，f′(x)＝e－1＞0，故f(x)在(1，＋∞)上单调递增．(2分)
x－1
因此x＞1时，f(x)＞0，即e＞x.(4分) ② 假设n＝k时不等式成立，即e则当n＝k＋1时，设h(x)＝e所以h′(x)＝e故h(x)＝e
x－1
x－1
x－1
x－1
x
＞， k！
k＋1
k
x－，(6分) （k＋1）！
k
（k＋1）xxx－1－＝e－＞0， （k＋1）！k！
k＋1
k
x－在(1，＋∞)上单调递增． （k＋1）！
1
又h(1)＝1－＞0，
（k＋1）！则h(x)＝e
x－1
xxx－1
－＞0，即e＞，n＝k＋1时也成立． （k＋1）！（k＋1）！
*
x－1
k＋1k＋1
综上，对任意的x＞1，n∈N，都有e
x
＞.(10分) n！
n
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