2013年浙江省高中数学竞赛

2.若,R，则90是sinsin1的_____________________条件.3.已知等比数列an，a13，且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项为_________.4.已知复数zxyix,yR,i为虚数单位，且z8i，则z________________.5.已知直线AB与抛物线y4x交于A,B两点，M为AB的中点，C为抛物线上一个动2

2



点，若点C0满足C0AC0BminCACB，则下列一定成立的是______________.①C0MAB；②C0Ml（l是抛物线过点C0的切线）；③C0AC0B；④C0M6.某程序框图如下图1，当E0.96时，则输出的k_________.1

AB2

7.若三位数abc被7整除，且a,b,c成公差非零的等差数列，则这样的整数共有________个.8.已知一个立体图形的三视图如下图，则该立体的体积为_____________.19.设函数fxxx12

x2x33

4

，则函数yfx的极大值点为__________.①x0；②x1；③x2；④x3

10.已知fx,gx,hx为一次函数，若对实数x满足：1,x1

fxgxhx3x2,1x0，则hx的表达式为____________.2x2,x01

，则xy______________.32

12.已知fxxk1x2，若当x0时，fx恒大于零，则k的取值范围为______.11.若tanxtany2,sinxsiny13.数列n,n1,2,3,，则数列中最大项的值为____________.n2

2

14.若x,yR，满足2x2xy2yxx

3

2

x

2

5，则x_______，y_________.则直线l5，15.设直线l与曲线yxx1有三个不同的交点A,B,C，且ABBC的方程为_______________.16.若a0,b0，则minmaxa,b,

11

2___________.2ab

17.某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动（含第一象限x,y轴上的整点），其运动





规律为m,nm1,n1或m,nm1,n1.若该动点从原点出发，经过6步运动到6,2点，则有___________种不同的运动轨迹.二、解答题18.（20分）已知抛物线y4x，过x轴上一点K的直线与抛物线交于点P,Q两点.证明：存在唯一一点K，使得2

1PK

2

1KQ

2为常数，并确定K点的坐标.219.（20分）设二次函数fxax2b1xa2a,bR,a0在3,4上至少有2

一个零点，求ab的最小值.22

1x

20.（25分）设xN满足

x

20142013

.数列a1,a2,,a2013是公差为x，首项为20131x22013

，首项为x1x的等x1x20121的等差数列；数列b1,b2,,b2013是公比为x

比数列.证明：b1a1b2a2012b2013.

2013

3三、附加题21.设a,b,cR，满足abbcca3.证明：a5b5c5a3b2c2b3c2a2c3a2b29

22.从0,1,,10中挑选若干个不同的数字填满图中每一个圆圈称为一种“填法”.若各条线段相连的两个圆圈内的数字之差的绝对值各不相同，则称这样的填法为“完美填法”.问：图3和图4是否存在完美填法？若存在，请给出一种完美填法；若不存在，请说明理由.4