南师附中2011年高三试卷

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南师附中2010—2011学年度高三二轮复习

数学试题（1）

一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

50的解集为M,若5M,则实数a的取值范围是 1．已知关于x的不等式ax2xa22．对于任意k1,1,函数f(x)x(k4)x2k4的值恒大于零，则x的取值

范

围是 .

4．已知函数f(x)xx，若f(m1)f(2)22，则实数m的取值范围是 ．

5．若两个函数的图象经过若干次平依后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数．给出下列四个函数：①f1xsinxcosx,②f2x④f4x6．函数ylog2sinx2，③f3xsinx，

2(sinxcosx),其中“同形”函数有 ． (x2123x2)的增区间是 ．

xx17．已知命题P：“对x∈R，m∈R，使42m0”，若命题P是真命题，则实数m的取值范围是 . 8．向量a = (1,2)，b = (x,1)，c = a + b，d = a - b，若c//d，则实数x的值等于 ． 9 设奇函数f(x)满足：对xR有f(x1)f(x)0，则f(5) ．

10．已知区间M[m,m34]，N[n13,n]且M，N都是区间[0,1]的子集．若

，则MN的“长度”的最小值是 ． ba把叫做区间[a,b]的“长度”

22211．在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c，若bc2bca,且

ab2, 则

∠C= ．

12．已知O为ABC所在平面内一点，满足OA2BC22OBCA2OC22AB，

则点O是ABC的 心

22*13．若f(n)为n1(nN)的各位数字之和，如141197，19717，则

f(14)17，记f1(n)f(n)，f2(n)f(f1(n))，„，fk1(n)f(fk(n))，kN，

*则f2008(8) .

1

14．直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f (x)的图象恰好通过

k个格点，则称函数f (x)为k阶格点函数.下列函数：①f(x)sinx；②

2f(x)(x1)3；③f(x)()；④f(x)log1x30.6x.其中是一阶格点函数的有 （填上所有满足题意的序号）．

二、解答题：本大题共6小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（本小题满分14分）已知集合Axx22x80，

Bxx(2m3)xm223m0,mR

 （1）若AB[2,4]，求实数m的值；

（2）设全集为R，若ACRB，求实数m的取值范围。

16．（本题满分14分）已知ABC的三个内角A，B，C对应的边长分别为a,b,c，向量

2(1)求角B的大小； (2)ABC外接圆半径为1，求ac范围

1m(sinB,1cosB)与向量n(2,0)夹角余弦值为

。

17．（本题满分14分）某隧道长2150m，通过隧道的车速不能超过20m/s。一列有55辆车

身长都为10m的同一车型的车队（这种型号的车能行驶的最高速为40m/s），匀速通过该隧道，设车队的速度为xm/s，根据安全和车流的需要，当0x10时，相邻两车

2

之间保持20m的距离；当10x20时，相邻两车之间保持（16x213x)m的距离。自

第1辆车车头进入隧道至第55辆车尾离开隧道所用的时间为y(s)。

（1）将y表示为x的函数。（2）求车队通过隧道时间y的最小值及此时车队的速度。



31.73

18．（本题满分16分）已知函数f(x)axax和g(x)xa．其中aR且a0． （1）若函数f(x)与的g(x)图像的一个公共点恰好在x轴上，求a的值； （2）若p和q是方程f(x)g(x)0的两根，且满足0pq时，g(x)fxpa．

19．（本题满分16分） 已知二次函数f(x)xaxa(xR)同时满足：①不等式

f(x)0 的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0x1x2，使得不等式

3

221a，证明：当x0,pf(x1)f(x2)成立。设数列{an}的前n项和Snf(n)。

（1）求f(x)表达式； （2）求数列{an}的通项公式； （3）设bn(3)an5，cn6b2nbn1bnbnbn1，{cn}前n项和为Tn，Tnnm对（nN*,n2)恒成立，求m范围

20．（本题满分16分）已知定义域为[0，1]的函数满足以下三个条件：①对任意x[0,1]，总有

f(x)0②；

f(1)；③若

xx10,x20x,1则有x2，1f(x1x2)f(x1)f(x2)成立.

(1) 求f(0)的值；(2) 函数g(x)21在区间[0,1]上是否同时适合①②③?并予以证明；

(3) 假定存在x0[0,1],使得f(x0)[0,1],且f(f(x0))x0,求证:f(x0)x0

4

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数学试题（1）参考答案

一、填空题

1、[1,25] 2、(,1)(3,) 3、①③ 4、(1,1) 5、①② 6、1(,1) 7、m≤1 8、

2 9、0 10、112

11、1050

12、垂 13、11 14、①②④

二、解答题

15、(Ⅰ)∵A[2,4]， B[m3,m] AB[2,4],

∴ m32∴m5

m4 (Ⅱ) CRB{xxm3,或xm}

∵ARB ∴m2,或m34， ∴m7或m2

16、(1) m2sinB2(cosB2,sinB2)，n2(1,0)，

mn4sinBBB2cos2，|m|2sin2，|n|2，cosmncosB|m||n|2 由cosB122，0得

B23，即B23

（2）B2，AC33 sinAsinCsinAsin(3A)sinAsin3cosAcos3sinA 132sinA2cosAsin(3A)又0A3，33A23，32sin(3A)1

所以sinAsinC(32,1]

又ac=2RsinA2RsinC=2sinAsinC，所以ac3,2。

17、解：当0x10时，y2150105520(551)3780xx

5

21501055(16xx213x)(551) 当10x20时，y 2700x9x18

3780(0x10)x 所以，y

27009x18(10x20)x（1） 当x(0,10]时，在x10时，ymin2700x378010378(s)

当x(10,20]时，y9x181829x2700x181803

329.4(s) 当且仅当9x2700x，即：x17.3(m/s)时取等号。

因为 17.3(10,20]，所以 当x17.3(m/s)时，ymin329.4(s) 因为 378329.4

所以，当车队的速度为17.3(m/s)时，车队通过隧道时间y有最小值329.4(s) 18、解：（1）设函数g(x)图像与x轴的交点坐标为（a，0），

32又∵点（a，0）也在函数f(x)的图像上，∴aa0．

而a0，∴a1．

（2）由题意可知

0xpq1af(x)g(x)a(xp)(xq)．

,∴a(xp)(xq)0,∴当x0,p时，f(x)g(x)0,

即f(x)g(x)．

又f(x)(pa)a(xp)(xq)xa(pa)(xp)(axaq1), xp0,且axaq11aq0,∴f(x)(pa)<0, ∴f(x)pa,

综上可知，g(x)fxpa．

19、解（1）f(x)0的解集有且只有一个元素，a4a0a0或a4, 当a=4时，函数f(x)x4x4在(0,2)上递减，故存在0x1x2，使得不等式

6

22f(x1)f(x2)成立，当a=0时，函数f(x)x在(0,)上递增

2故不存在0x1x2，使得不等式f(x1)f(x2)成立，综上，得a=4，f(x)x24x4 （2）由（1）可知Snn24n4，当n=1时，a1s11

当n2时，ansnsn1(n24n4)[(n1)24(n1)4]2n5

n11, ansnsn1n22n5（3）bn(3)an527,n11n，b1,

273,n2 c118227 n2时，cn632nn3n1n13n33131272213n13n1

Tnc1c2cnc12(n1)( =182272n21913n113n1)] 13n1162nnm对nN*,n2恒成

立，

可转化为：m16127n13n1对nN*,n2恒成立，因为16127n13n1是

关于n的增函数，所以当n=2时，其取得最小值１８，所以m<18

20、（1）解：由①知：f(0)0；由③知：f(00)f(0)f(0)，即f(0)0； ∴f(0)0

(2 ) 证明：由题设知：g(1)211；

由x[0,1]知2[1,2]，得g(x)[0,1]，有g(x)0；

设x10,x20,x1x21，则2∴

g(x1x2)[g(x1)g(x2)](2xx1x2xx11，2x21；

1)[(2x11)(2x21)](2x11)(2x21)0

即g(x1x2)g(x1)g(x2)

∴函数g(x)21在区间[0,1]上同时适合①②③.

(3) 证明：若f(x0)x0,则由题设知:f(x0)x0[0,1],且由①知f[f(x0)x0]0, ∴

由

题

设

及

③

知

：

x0f(f(x0))f[(f(x0)x0)x0]f[f(x0)x0]f(x0)f(x0)

矛盾;

若f(x0)x0,则则由题设知：x0f(x0)[0,1],且由①知f[x0f(x0)]0, ∴

同

理

得

：

7

f(x0)f[(x0f(x0))f(x0)]f[x0f(x0)]f(f(x0))f(f(x0))x0,矛盾;

故由上述知: f(x0)x0

8