椭圆及其性质

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椭 圆

学习目标：

掌握椭圆的定义、标准方程及几何性质. 基本知识：

一、椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和为常数2a(2aF1F2)的动点P的轨迹叫椭圆,其

中两个定点F1、F2叫椭圆的焦点.

当PF1PF22aF1F2时, P的轨迹为椭圆 ; 当PF1PF22aF1F2时, P的轨迹不存在;

当PF1PF22aF1F2时, P的轨迹为 以F1、F2为端点的线段. 二、椭圆的方程与几何性质:

标准方程 x2y21(ab0) a2b2y2x21(ab0) a2b2图像 焦点 焦距 范围 性 对称性 质 顶点 轴 离心率

三、重要题型

题型1:椭圆定义的运用

[例1 ] (湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性 质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭 圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它 的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径 不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小 球经过的路程是（ D ）

A．4a B．2(ac) C．2(ac) D．以上答案均有可能 练习：

1、短轴长为5，离心率e长是（ C ）

A.3

B.6

C.12

D.24

Q C A O y P D B x 2的椭圆两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周3x2y21上的一点，M,N分别为圆(x3)2y21和圆(x3)2y24上的点，2、已知P为椭圆

2516则PMPN的最小值为（ B ）

A． 5 B． 7 C ．13 D． 15

题型2 求椭圆的标准方程

[例2 ]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为42－4，求此椭圆方程.

bcxyxy[解析]设椭圆的方程为221或221(ab0)，则ac4(21)，

abbaa2b2c22222解之得：a42，b=c＝4.

x2y2x2y21或1. 则所求的椭圆的方程为

32161632【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数a,b,c的数量关系．

［警示］易漏焦点在y轴上的情况． 练习：

3、如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是____________.

x2y22[解析](0,1). 椭圆方程化为+=1. 焦点在y轴上，则>2，即k<1. 又k>0，∴022kk

4、椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，则椭圆方程是__________________.

2ac3x2yx2y2a23[解析] ，b3，所求方程为+=1或+=1.

129129a2cc3题型3 求椭圆的离心率（或范围）

[例3 ] 在△ABC中，A300,|AB|2,SABC3．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e ． [解析] SABC1|AB||AC|sinA3， 2|AC|23，|BC||AB|2|AC|22|AB||AC|cosA2 e练习：

5、如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为（ B ） A.

|AB|231 |AC||BC|23221532 B. C. D.

2422x2y21的离心率为 6、已知m，n，m+n成等差数列，m，n，mn成等比数列，则椭圆

mn2n2mn22[解析]由nmnmn0m2x2y221，椭圆的离心率为 mn2n4题型4 椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）

x2y21,求x2y2x的最大值与最小值. [例4 ] 已知实数x,y满足42【解题思路】 把xyx看作x的函数

221x2y21得y22x2, [解析] 由

242212x02x2 2113x2y2xx2x2(x1)2,x[2,2]

22232222当x1时,xyx取得最小值,当x2时,xyx取得最大值6

2

练习：

x2y27、已知点A,B是椭圆221（m0，n0）上两点,且AOBO,则=

mn1x2y21得y22x2, [解析] 由

242212x02x2 2113x2y2xx2x2(x1)2,x[2,2]

2223当x1时,x2y2x取得最小值,当x2时,x2y2x取得最大值6

2

x2y210、如图，把椭圆1的长轴AB分成8等份，过每个分点作

2516F x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七个点，

是椭圆的一个焦点，则

________________. PFPP12FPF34FP5FP6FP7F ［解析］由椭圆的对称性知：

P1FP7FP2FP6FP3FP5F2a35． 题型5 椭圆与向量、解三角形的交汇问题

[例6 ] 已知椭圆C的中心为坐标原点O,一个长轴端点为0,1,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方

形，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且AP3PB．

（1）求椭圆方程； （2）求m的取值范围．

y2x2[解析]（1）由题意可知椭圆C为焦点在y轴上的椭圆，可设C:221(ab0)

ab222由条件知a1且bc，又有abc，解得 a1,bc2 2x2c221 故椭圆C的离心率为e，其标准方程为：y1a22（2）设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）

y＝kx＋m2 得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0 2

2x＋y＝1

Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）>0 （*） －2kmm2－1x1＋x2＝2， x1x2＝2

k＋2k＋2

x1＋x2＝－2x2

∵AP＝3PB ∴－x1＝3x2 ∴ 2

x1x2＝－3x2

－2km2m2－1

消去x2，得3（x1＋x2）＋4x1x2＝0，∴3（2）＋42＝0

k＋2k＋2

2

整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0

2－2m21212

m＝时，上式不成立；m≠时，k＝2，

444m－1

2

2－2m211

因λ＝3 ∴k≠0 ∴k＝2>0，∴－1224m－1

2

容易验证k2>2m2－2成立，所以（*）成立

11

即所求m的取值范围为（－1，－）∪（，1）

22

练习：

11、设过点Px,y的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴

对称，O为坐标原点，若BPPA，且OQAB1，则P点的轨迹方程是（ ）

323222 A. x3y1x0,y0 B. x3y1x0,y0

22323222C. 3xy1x0,y0 D. 3xy1x0,y022

33AB(x,3y),OQ(x,y)x23y21，选A. [解析]

22x2y212、已知椭圆221(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线

abAB交y轴于点P，若AP2PB，则椭圆的离心率是（ D ）

A．1132 B. C. D.

3222