抛物线

1.要有用定义的意识

问题1：抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( ) A.

71715 B. C. D. 0

816162.求标准方程要注意焦点位置和开口方向

问题2：顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点（3，2）的抛物线的条数有

3、典型例题讲解： 考点1 抛物线的定义

题型 利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换 [例1 ]已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为 练习：

x1，y1)，P2x(2y，1.已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，点P，P3(x3，y3)在1(2)抛物线上，且|P3F|成等差数列， 则有 （ ） 1F|、|P2F|、|PA．x1x2x3

B． y1y2y3

C．x1x32x2 D. y1y32y2

2. 已知点A(3,4),F是抛物线y28x的焦点,M是抛物线上的动点,当MAMF最小时,M点坐标是 ( )

A. (0,0) B. (3,26) C. (2,4) D. (3,26) 考点2 抛物线的标准方程 题型:求抛物线的标准方程

[例2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： (1)过点(-3,2) (2)焦点在直线x2y40上 练习：

x23.若抛物线y2px的焦点与双曲线y21的右焦点重合,则p的值 324. 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：

①焦点在y轴上； ②焦点在x轴上；

③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的通径的长为5；

⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.

能使这抛物线方程为y2=10x的条件是____________.（要求填写合适条件的序号）

5. 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与Y轴的交点，A为抛物线上一点,且|AM|17,|AF|3，求此抛物线的方程 考点3 抛物线的几何性质

题型：有关焦半径和焦点弦的计算与论证 [例3 ]设A、B为抛物线y22px上的点,且AOB90(O为原点),则直线AB

必过的定点坐标为__________. 练习：

6. 若直线axy10经过抛物线y24x的焦点，则实数a 7.过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A、B,若A、B在抛物线准线上的射

影为A1,B1,则A1FB1 ( ) A. 45 B. 60 C. 90 D. 120 基础巩固训练：

1.过抛物线y24x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于a22a4(aR)，则这样的直线（ ）

A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.1条或2条 D.不存在 2.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线x24y上的点P到该抛物线焦点的距离为5，则点P的纵坐标为 （ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3.两个正数a、b的等差中项是

9，一个等比中项是25，且ab,则抛物线2y2(ba)x的焦点坐标为( )

1111A．(0,) B．(0,) C．(,0) D．(,0)

44244. 如果P1，P2，…，P8是抛物线y24x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，

x8，F是抛物线的焦点，若x1,x2,,xn(nN)成等差数列且x1x2x945，

则|P5F|=（ ）．

A．5 B．6 C． 7 D．9 5、抛物线y24x的焦点为F,准线为l，l与x轴相交于点E，过F且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AB⊥l，垂足为B，则四边形ABEF的面积等于（ ）

A．33

B．43

2C．63 D．83

6、设O是坐标原点，F是抛物线y4x的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x60轴正向的夹角为，则OA为 ．

7.在抛物线y4x2上求一点，使该点到直线y4x5的距离为最短，求该点的坐标

8. 已知抛物线C:yax2（a为非零常数）的焦点为F，点P为抛物线c上一个动点，过点P且与抛物线c相切的直线记为l． （1）求F的坐标；

（2）当点P在何处时，点F到直线l的距离最小？

9. 设抛物线y22px（p0）的焦点为 F，经过点 F的直线交抛物线于A、B两点．点 C在抛物线的准线上，且BC∥X轴．证明直线AC经过原点O．

x2y2910.椭圆221上有一点M（-4，）在抛物线y22px（p>0）的准线l上，

5ab抛物线的焦点也是椭圆焦点. （1）求椭圆方程；

（2）若点N在抛物线上，过N作准线l的垂线，垂足为Q距离，求|MN|+|NQ|的最小值.

参考例题：

1、已知抛物线C的一个焦点为F（1，0），对应于这个焦点的准线方程为

2x=-1.

2（1）写出抛物线C的方程；

（2）过F点的直线与曲线C交于A、B两点，O点为坐标原点，求△AOB重心G的轨迹方程；

（3）点P是抛物线C上的动点，过点P作圆（x-3）2+y2=2的切线，切点分别是M，N.当P点在何处时，|MN|的值最小？求出|MN|的最小值.

抛物线专题练习

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为

A．（1, 0） B．（2, 0） C．（3, 0） D．（－1, 0）

2．圆心在抛物线y 2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 （ ）

A．x2+ y 2-x-2 y -1=0 4（ ）

B．x2+ y 2+x-2 y +1=0

D．x2+ y 2-x-2 y +

1=0 4C．x2+ y 2-x-2 y +1=0

3．抛物线yx2上一点到直线2xy40的距离最短的点的坐标是

A．（1，1）

3911B．（,）C．(,) D．（2，4）

2424（ ）

4．一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m，则水面宽为（ ） A．6m

B． 26m C．4.5m

D．9m

5．平面内过点A（-2，0），且与直线x=2相切的动圆圆心的轨迹方程是 （ ）

A． y 2=－2x

B． y 2=－4x

C．y 2=－8x D．y 2=－16x

6．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（-5，m）到焦点距离是6，则抛物线的方程是 A． y 2=-2x C． y 2=2x

（ ）

B． y 2=-4x

D． y 2=-4x或y 2=-36x

7．过抛物线y 2=4x的焦点作直线，交抛物线于A(x1, y 1) ，B(x2, y 2)两点，如果x1+ x2=6，那么|AB|= A．8

B．10 C．6

（ ）

D．4

8．把与抛物线y 2=4x关于原点对称的曲线按向量a(2,3)平移，所得的曲线的方程是（ ）

A．(y3)24(x2) B．(y3)24(x2) C．(y3)24(x2) D． (y3)24(x2)

9．过点M（2，4）作与抛物线y 2=8x只有一个公共点的直线l有

A．0条 B．1条 C．2条 D．3条

（ ）

10．过抛物线y =ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则A．2a B．

1 2a11等于 pq （ ）

C．4a D．

4 a二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）

11．抛物线y 2=4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为43，则焦点到AB的距离为 ．

12．抛物线y =2x2的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是 ．

13．P是抛物线y 2=4x上一动点，以P为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经过一个定点Q，点Q的坐标是 ．

x2y21的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程14．抛物线的焦点为椭圆94为

三、解答题（本大题共6小题，共76分）

15．已知动圆M与直线y =2相切，且与定圆C：x2(y3)21外切，求动圆圆

心M的轨迹方程．(12分)

16．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（－3，m）到

焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．（12分）

17．动直线y =a，与抛物线y21x相交于A点，动点B的坐标是(0,3a)，求线 2 段AB中点M的轨迹的方程．(12分)

18．河上有抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4

米，高2米，载货后船露出水面上的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？(12分)

19．如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1．以A、B为端点的曲线段

C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=分)

20．已知抛物线y22px(p0)．过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与该抛

物线交于不同的两点A、B，|AB|2p． （Ⅰ）求a的取值范围；

（Ⅱ）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求RtNAB面积的最大值．

，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．(14