圆锥曲线培优讲义

圆锥曲线培优讲义(总10页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

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一 原点三角形面积公式 1. 已知椭圆

的离心率为，且过点

．若点M

（x0，y0）在椭圆C上，则点（1）求椭圆C的标准方程；

称为点M的一个“椭点”．

（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点，且A，B两点的“椭点”分别为P，Q，以PQ为直径的圆经过坐标原点，试求△AOB的面积． 2. 己知椭圆

， 和 ，．记 （1）设

离，并证明 （2）设

，

，

，

，过原点的两条直线 和 分别与椭圆交于点 的面积为 ．

．用 ， 的坐标表示点 到直线 的距

；

，求 的值．

（3）设 与 的斜率之积为 ，求 的值，使得无论 与 如

何变动，面积 保持不变．

y23. 已知椭圆C:2210,b0的左、右两焦点分别为F11,0,F21,0,

bx2椭圆上有一点A与两焦点的连线构成的AF1F2中，满足

AF1F212,AF2F17. 12（1）求椭圆C的方程；

（2）设点B,C,D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称，设直线BC,CD,OB,OC的斜率分别为k1,k2,k3,k4，且k1k2k3k4，求

OB2OC2的值.

4. 在平面直角坐标系xoy内，动点M(x,y)与两定点(2,0),(2,0)，连线的斜率

1之积为

4 (1)求动点M的轨迹C的方程；

(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2)是轨迹C上相异的两点．

(I)过点A，B分别作抛物线y243x的切线l1、l2，l1与l2两条切线相交于点 N(3,t)，证明：NANB0；

1 (Ⅱ)若直线OA与直线OB的斜率之积为，证明：SAOB为定值，并求出这

4个定值· 5.

已知 、 分别是 轴和 轴上的两个动点，满足 段

上，且

，点 在线

（ 是不为 的常数），设点 的轨迹方程为 ．

（1）求点 的轨迹方程 ；

（2）若曲线 为焦点在 轴上的椭圆，试求实数 的取值范围； （3）若

坐标为

6. 已知椭圆

，点 ， 是曲线 上关于原点对称的两个动点，点 的，求

的面积 的最大值．

的焦点在 轴

的焦点在 轴上，中心在坐标原点；抛物线

，

上，顶点在坐标原点．在 上各取两个点，将其坐标记录于表格中：

（1）求 ， 的标准方程；

， 为抛物线 于 ， 两点，求

上一动点，过点 作抛物线

面积的最大值．

的

（2）已知定点

切线交椭圆

7.

已知抛物线 （1）若

的焦点为 ，过点 的直线交抛物线于 ， 两点． ，求直线

的斜率；

（2）设点 在线段

边形

上运动，原点 关于点 的对称点为 ，求四

面积的最小值．

8. 设椭圆 ： 的左、右焦点分别是 、 ，下顶点

：

为 ，线段 的中点为 （ 为坐标原点），如图．若抛物线

，

点．

与 轴的交点为 ，且经过

（1）求椭圆 的方程； （2）设

线交椭圆

二 定点定值问题

， 为抛物线

上的一动点，过点 作抛物线

面积的最大值．

的切

于 、 两点，求

9. 动点P在圆E：(x1)2y216上运动，定点F(1,0)，线段PF的垂直平分

线与直线PE的交点为Q． （Ⅰ）求Q的轨迹T的方程；

（Ⅱ）过点F的直线l1，l2分别交轨迹E于A，B两点和C，D两点，且

l1l2．证明：过AB和CD中点的直线过定点．

y2110. 在直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点是双曲线D：x2的中心，23抛物线C的焦点与双曲线D的焦点相同． （Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）若点P(t,1)(t0)为抛物线C上的定点，A，B为抛物线C上两个动

点．且PA⊥PB，问直线AB是否经过定点？若是，求出该定点，若不是，说明理由．

11. 如图，在平面直角坐标系

中，椭圆

的离心率

两点．当直线 垂直于 ．

为 ，直线 与 轴交于点 ，与椭圆 交于 轴且点 为椭圆 的右焦点时，弦

的长为

（1）求椭圆 的方程； （2）若点 的坐标为

，点 在第一象限且横坐标为

，连接点

与原点 的直线交椭圆 于另一点 ，求 （3）是否存在点 ，使得

的面积；

为定值?若存在，请指出点 的坐

标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．

12. 已知椭圆

的左焦点为F，不垂直于x轴且不过F点的直线l与

椭圆C相交于A，B两点．

（1）如果直线FA，FB的斜率之和为0，则动直线l是否一定经过一定点？若过一定点，则求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． （2）如果FA⊥FB，原点到直线l的距离为d，求d的取值范围．

13. 如图，已知直线l:ykx1(k0)关于直线yx1对称的直线为l1，直线

x2l,l1与椭圆E:y21分别交于点A、M和A、N，记直线l1的斜率为k1.

4y（Ⅰ）求kk1的值；

AxM?若恒过定点，求出该定点（Ⅱ）当k变化时，试问直线MN是否恒过定点NO坐标；若不恒过定点，请说明理由. 14. 如图，椭圆

（

）的离心率是 ，过点

的动直

线 与椭圆相交于 ， 两点．当直线 平行于 轴时，直线 被椭圆 截得的线段长为

．

（1）求椭圆 的方程； （2）在平面直角坐标系

恒成立

若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．

中，是否存在与点 不同的定点 ，使得

15. 已知动圆过定点 ，且与直线 相切，其中 ．

（1）求动圆圆心 的轨迹的方程；

（2）设 、 是轨迹 上异于原点 的两个不同点，直线

倾斜角分别为 和 ，当 ， 变化且 时，证明直线

16. 已知抛物线

为定值

和

的

恒过定点，并求出该定点的坐标．

的准线与 轴交于点 ，过点 做圆

的两条切线，切点为 ，，

（1）求抛物线 的方程；

．

（2）设 ， 是抛物线 上分别位于 轴两侧的两个动点，且

（ 其中 为坐标原点）．

①求证：直线 ②过点 作

的最小值．

x2y21上一点，从17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，设点M(x0，y0)是椭圆C：2原点O向圆M:(xx0)(yy0)线OP、OQ的斜率分别记为k1，k2

22 必过定点，并求出该定点 的坐标； 的垂线与抛物线交于 ， 两点，求四边形

面积

2作两条切线分别与椭圆C交于点P、Q，直3(1)求证：k1k2为定值;

(2)求四边形OPMQ面积的最大值.

x2y2 y0是椭圆C:18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知Rx0 ，1上的一点，从

2412原点O向圆R:xx0yy08作两条切线，分别交椭圆于P，Q.

22（1）若R点在第一象限，且直线OP，OQ互相垂直，求圆R的方程；

k2，求k1 ， k2的值； （2）若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1 ，（3）试问OP2OQ是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.

三 中点弦问题

x2y219. 椭圆C:221ab0的长轴长为22，P为椭圆C上异于顶点的一个动

ab点，O为坐标原点，A2为椭圆C的右顶点，点M为线段PA2的中点，且直线PA2与直线OM的斜率之积为 （1）求椭圆C的方程；

（2）过椭圆C的左焦点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于两点A,B，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，N点的横坐标的取值范围是的取值范围.

21. 21,0，求线段AB的长4x2y220. 在平面直角坐标系xoy中，过椭圆C:221(ab0)右焦点的直线

abxy20交椭圆C于M,N两点，P为M,N的中点，且直线OP的斜率

1为． 3（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设另一直线l与椭圆C交于A,B两点，原点O到直线l的距离为

3，求2AOB面积的最大值．

x2y221. 如图，椭圆E:221(ab0)左右顶点为A、B，左右焦点为

abF1,F2,AB4,F1F223，直线ykxm(k0)交椭圆E于点C、D两点，与线段F1F2椭圆短轴分别交于M、N两点（M、N不重合），且CMDN. （1）求椭圆E的方程；

（2）设直线AD,BC的斜率分别为k1,k2，求

k1的取值范围. k2x2y2xoy22. 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆C：221(ab0)的离

ab1，左顶点为A(4,0)，过点A作斜率为k(k0)的直线l交椭圆C2于点D，交y轴于点E.

心率e（Ⅰ）求椭圆C的方程;

（Ⅱ）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于

PDyEMx任意的k(k0)都有OPEQ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由;

（Ⅲ）若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求23. 已知椭圆

（1）求椭圆 的方程； （2）若椭圆 上存在点

关于直线

， 过点

AO|AD||AE|的最小值.

|OM|，且离心率 ．

对称，求 的所有取值 的中点恒在一条定直线上．

的准

构成的集合 ，并证明对于

24. 如图，在直角坐标系

线的距离为 ．点 被直线

平分．

中，点

到抛物线

是 上的定点，， 是 上的两动点，且线段

（1）求 ， 的值； （2）求 25. 已知抛物线

面积的最大值．

，过其焦点 作两条相互垂直且不平行于 轴的直

，

和点

，

，线段

，

的中点分

线，分别交抛物线 于点 别记为

，

．

（1）求 面积的最小值；

（2）求线段 的中点 满足的方程．

3x2y226. 平面直角坐标系xOy中，椭圆C：221（ab0）的离心率是，抛物

2ab线E：x2y的焦点F是C的一个顶点．

2（1）求椭圆C的方程；

（2）设P是E上动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点

M．

（i）求证：点M在定直线上；

（ii）直线l与y轴交于点G，记PFG的面积为S1，PDM的面积为S2，求

S1的最大值及取得最大值时点P的坐标． S2四 定比分点

27. 已知点E(2,0)，点P是椭圆F：(x2)2y236上任意一点，线段EP的

垂直平分线FP交于点M，点M的轨迹记为曲线C. （Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）过F的直线交曲线C于不同的A，B两点,交y轴于点N，已知

NAmAF，NBnBF，求mn的值.

28. 在直角坐标系xOy上取两个定点A1(6,0) ,A2(6,0), 再取两个动点

N1(0 , m)，N2(0 , n)，且mn2．

（Ⅰ）求直线A1N1与A2N2交点M的轨迹C的方程；

（Ⅱ）过R(3 , 0)的直线与轨迹C交于P,Q，过P作PNx轴且与轨迹C交

于另一点N，F为轨迹C的右焦点，若RPRQ(1)，求证：

NFFQ.

x2y229. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：221a＞b＞0的左、右焦点分别

ab为F1，F2，P为椭圆上一点（在x轴上方），连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，设PF． 1FQ1（1）若点P的坐标为(1,3)，且△PQF2的周长为8，求椭圆C的方程；

2（2）若PF2垂直于x轴，且椭圆C的离心率e,212，求实数的取值范2围． 五 结论

x2y230. 已知椭圆 20.已知椭圆C:221ab0经过点2 ， 2且离心率等于

ab2，点A ， B分别为椭圆C的左右顶点，点P在椭圆C上. 2（1）求椭圆C的方程；

（2）M ， N是椭圆C上非顶点的两点，满足OM∥AP ， ON∥BP，求证：三角形MON的面积是定值. 31. 过点

，离心率为 ．过椭圆右顶点 的两条斜率乘积为

的直线

分别交椭圆 于 ， 两点． （1）求椭圆 的标准方程； （2）直线

是否过定点 若过定点 ，求出点 的坐标，若不过点

，请说明理由．

32. 已知椭圆的两个焦点为F15,0，F25,0，M是椭圆上一点，若

MF1MF20，MF1MF28． 33. （1）求椭圆的方程；

34. （2）点P是椭圆上任意一点，A1、A2分别是椭圆的左、右顶点，直线

PA1，PA2与直线x35分别交于E,F两点，试证：以EF为直径的圆交x2轴于定点，并求该定点的坐标.

35. 已知抛物线x22pyp0的焦点为F，直线x4与x轴的交点为P，与抛物线

的交点为Q,且QF5PQ. 422 （1）求抛物线的方程；

（2）如图所示，过F的直线l与抛物线相交于A,D两点，与圆xy11相交于B,C两点（A，B两点相邻），过A,D两点分别作我校的切线，两条切线相交于点M,求ABM与CDM的面积之积的最小值.

36. 已知椭圆 ，其右准线 与

轴交于点 ，椭圆的上顶点为 ，过它的右焦点 且垂直于长轴的直线交椭圆于点 ，直线 段

的中点 ．

恰经过线

（1）求椭圆的离心率；

（2）设椭圆的左、右顶点分别是

的方程；

（3）在（2）的条件下，设 是椭圆右准线 上异于 的任意一点，直

线

，

与椭圆的另一个交点分别为 、 ，求证：直线

、

，且

，求椭圆

与 轴交于定点．

37. 已知点A(1,0)，B(1,0)，直线AM与直线BM相交于点M，直线AM与直

线BM的斜率分别记为kAM与kBM，且kAMkBM2． （Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；

（Ⅱ）过定点F(0,1)作直线PQ与曲线C交于P,Q两点，OPQ的面积是

否存在最大值？若存在，求出OPQ面积的最大值；若不存在，请说明理由．

38. 已知一个动圆与两个定圆(x2)y轨迹为曲线C.

2214922和(x2)y均相切,其圆心的44(1) (2)

求曲线C的方程；

过点F（2,0)做两条可相垂直的直线l1,l2，设l1与曲线C交于A,B两点,

l2与曲线 C交于C,D两点，线段AC，BD分别与直线x2交于M，M,N两

点。求证|MF|:|NF|为定值. 六 运算转化

x2y239. 设椭圆C:221ab0的左、右焦点分别为F1,F2，上顶点为A,过

abA与AF2垂直的直线交x轴负半轴于Q点，且F1恰好为线段QF2的中点. （1）若过A,Q,F2三点的圆恰好与直线3x4y70相切，求椭圆C的方程；

3 （2）在（1）的条件下，B是椭圆C的左顶点，过点R,0作与x轴不重合

28的直线l交椭圆C于E,F两点,直线BE,BF分别交直线x于M,N两点，若直线

3MR,NR的斜率分别为k1,k2，试问k1k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

3x2y240. 已知椭圆E:221ab0过点0,1且离心率为.

2ab（1）求椭圆E的方程；

（2）设直线l:yxm与椭圆E交于A、C两点，以AC为对角线作正方形

ABCD，记直线l与x轴的交点为N，问B、N两点间距离是否为定值？如果

12是，求出定值；如果不是，请说明理由.