复合函数(知识点总结、例题分类讲解)

复合函数的定义域和解析式以及单调性

【复合函数相关知识】 1、复合函数的定义

如果y是u的函数，u又是x的函数，即yf(u)，ug(x)，那么y关于x的 函数yf(g(x))叫做函数yf(u)（外函数）和ug(x)（内函数）的复合函数，其中u是中间变量，自变量为x函数值为y。 例如：函数y2x21 是由y2u和ux21 复合而成立。

说明：⑴复合函数的定义域，就是复合函数yf(g(x))中x的取值范围。

⑵x称为直接变量，u称为中间变量，u的取值范围即为g(x)的值域。 ⑶f(g(x))与g(f(x))表示不同的复合函数。

2．求有关复合函数的定义域

① 已知f(x)的定义域为(a,b)，求f(g(x))的定义域的方法：

已知f(x)的定义域为(a,b)，求f(g(x))的定义域。实际上是已知中间变量的u的取值范围，即

u(a,b)，g(x)(a,b)。通过解不等式ag(x)b求得x的范围，即为f(g(x))的定义域。

② 已知f(g(x))的定义域为(a，b)，求f(x)的定义域的方法： 若已知f(g(x))的定义域为(a，b)，求即x(a，b)。先利用a

3．求有关复合函数的解析式 ①已知②已知

f(x)的定义域。实际上是已知直接变量x的取值范围，

xb求得g(x)的范围，则g(x)的范围即是f(x)的定义域。

f(x)求复合函数f[g(x)]的解析式，直接把f(x)中的x换成g(x)即可。 f[g(x)]求f(x)的常用方法有：配凑法和换元法。

f[g(x)]中把关于变量x的表达式先凑成g(x)整体的表达式，再直接把g(x)换

配凑法：就是在成x而得

f(x)。

t，从中解出x（即用t表示x），再把x（关于t的式子）直接代入f[g(x)]换元法：就是先设g(x)中消去x得到

f(t)，最后把f(t)中的t直接换成x即得f(x)。

4.求复合函数的单调性 若ug(x) 增函数 减函数 增函数 减函数 即“同增异减”法则

5.复合函数的奇偶性 一偶则偶，同奇则奇

【例题讲解】

yf(x) 则yf[g(x)] 增函数 增函数 减函数 减函数 增函数 减函数 减函数 增函数 一、复合函数定义域解析式

例1 设函数f(x)2x3,g(x)3x5，求f(g(x)),g(f(x))．

例2 已知f(2x1)x22x，求f(221)

例3 ①已知 f(x)x21,求f(x1)；

②已知 f(x1)(x1)21，求f(x)．

例4 ⑴若函数f(x)的定义域是[0，1]，求f(12x)的定义域；

⑵若f(2x1)的定义域是[-1，1]，求函数f(x)的定义域； ⑶已知f(x3)定义域是4,5，求f(2x3)定义域．

例5 ①已知f(x1)x1 ，求f(x)； x112f(x1)． f(x)x ②已知2，求xx

例6 ①已知f(x)是一次函数，满足3f(x1)2f(x1)2x17，求f(x)；

1②已知3f(x)2f()4x，求f(x)．

x

二、复合函数单调性及其值域 ①初等函数复合求单调区间与值域

1例1 已知函数y3

变式练习1

x22x5，求其单调区间及值域。

1.求函数f(x)=0.512xx的单调区间及值域

2.求函数y4

例2 求f(x)=5-4x-x2的单调区间及值域

变式练习2 求函数f(x)=2

1x22x1232x5的单调区间和值域.

的单调区间及值域

1例3 求y(log1x)2log1x5在区间[2,4]上的最大值和最小值

222

变式练习3

1.求函数f(x)log2(54xx2)的单调区间及值域

2.求函数ylog2

xx·log2(x[1,8])的最大值和最小值. 24②含参数的复合函数单调性与值域问题

例4 已知函数f(x)loga(3x25x2)（a0且a1）试讨论其单调性。

例5 求函数yloga(2axa2x)的值域。

变式练习4

1.讨论函数yloga(ax1)的单调性其中a0，且a1．

③根据复合函数单调性或值域求参数取值范围

例6 设函数f(x)lg(ax22x1) ，若f(x) 的值域为R ，求实数 的取值范围．

例7 已知yloga(2ax)在区间[0,1]上时减函数，求a的取值范围.

1例8 若函数yloga(x2ax3)在区间(,a]上为减函数，求实数a的取值范围.

2

变式练习5 已知函数y2x2ax1在区间,3上是增函数,求a的范围.

解:令ux2ax1,则原函数是由ux2ax1与y2u复合而成.原函数在区间,3上是增函数,而外层函数y2u始终是增函数,则易知内层函数ux2ax1在区间,3上也是增

aaa函数.而实质上原函数的最大单调增区间是,,由,3,得3,即a6.

222

【过关检测】

1. 求下列函数的定义域、值域及其单调区间：

2x5x4;（2）g(x)(1)x4(1)x5 （1）f(x)42

12.求下列函数的单调递增区间：（1）y2

6x2x2;(2) y2x2x6.

3.已知函数f(x)logax(a0,a1)，如果对于任意x[3,)x都有f(x)1成立，试求a的取值范围.

24.已知函数f(x)loga(xaxa)f（x）=log2(x-ax-a)在区间(,13]上是单调递减函数.求实数a

2

的取值范围.

5求函数y

【考试链接】

1.（2008山东临沂模拟理，5分）若a1，且ax1log0.5(x2x3)2的单调区间

logaxaylogay，则x与y之间的大小关系是（ ）

A．xy0 B．xy0 C．yx0 D．无法确定

2.函数ye|lnx||x1|的图象大致是（ ）

3．（2008江苏南通模拟，5分）设f(x)logax（a0且a1），若f(x1)f(x2)f(xn)1（xiR，

i1,2,,n），则f(x1)f(x2)f(xn)的值等于________。

4．（2008海南海口模拟文、理，5分）若函数y=log（kx+4kx+3）的定义域为R，则实数k的取值范围是________。

5．（2008江苏无锡模拟，5分）给出下列四个命题：

333xx①函数ya（a0且a1）与函数ylogaa（a0且a1）的定义域相同；

②函数yx和y3的值域相同；

3x(12x)211③函数yx与y都是奇函数； xx•2221④函数y(x1)与y22x1在区间[0,)上都是增函数。

其中正确命题的序号是：__________。（把你认为正确的命题序号都填上）