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三角函数专项训练
1．在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，已知2（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sinB．
（1）证明a2+b2﹣c2＝ab；
（2）求角C和边c ．
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA＝acos（B﹣） ．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A﹣B）的值．
3．已知α，β为锐角，tanα＝，cos（α+β）＝﹣ ．
（1）求cos2α的值；
（2）求tan（α﹣β）的值．
4．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．
（1）求cos∠ADB；
（2）若DC＝2，求BC．
5．已知函数f（x）＝sin2x+sinxcosx ．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m的最小值．
6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA＝4bsinB，ac＝（a2﹣b2﹣c2）
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值
7．设函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）＝0．
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．
8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a＝5，c＝6，
sinB
＝
2
（Ⅰ）求b和sinA的值；
（Ⅱ）求sin（2A+）的值．
9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为 ．
（1）求sinBsinC；
（2）若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．
10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin2．
（1）求cosB；
（2）若a+c＝6，△ABC的面积为2，求b ．
11．已知函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sinxcosx ．
（I）求f（x）的最小正周期；
（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣ ．
12．已知向量＝（cosx，sinx），＝（3，﹣），x∈[0，π．]
（1）若，求x的值；
（2）记f（x）＝，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．
13．在△ABC中，∠A＝60°，c＝a ．
（1）求sinC的值；
（2）若a＝7，求△ABC的面积．
14．已知函数f（x）＝2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π ．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的单调递增区间．
15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2acosB．
（1）证明：A＝2B；
（2）若cosB＝，求cosC的值．
16．设f（x）＝2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．
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（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（）的值．
17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B＝bsinA．
（1）求B；
（2）已知cosA＝，求sinC的值．
18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2acosB．
（Ⅰ）证明：A＝2B；
（Ⅱ）若△ABC的面积S＝，求角A的大小．
19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+＝ ．
（Ⅰ）证明：sinAsinB＝sinC；
（Ⅱ）若b2+c2﹣a2＝bc，求tanB．
20．在△ABC中，AC＝6，cosB＝，C＝ ．
（1）求AB的长；
（2）求cos（A﹣）的值．
21．已知函数f（x）＝4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣ ．
（1）求f（x）的定义域与最小正周期；
（2）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．
22．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）＝c ．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
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参考答案
1．在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，已知2（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sinB．
（1）证明a2+b2﹣c2＝ab；
（2）求角C和边c．
【解答】证明：（1）∵在△ABC中，角A、∴由正弦定理得：＝2R＝2，
∴sinA＝，sinB＝，sinC＝，
∵2（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sinB， ∴2（）＝（a﹣b）?，
化简，得：a2+b2﹣c2＝ab，
故a2+b2﹣c2＝ab．．
解：（2）∵a2+b2﹣c2＝ab，
∴cosC＝＝＝，
解得C＝，
B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，
∴c＝2sinC＝2?＝ ．
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA＝acos（B﹣） ．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A﹣B）的值．
【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA＝asinB，
又bsinA＝acos（B﹣） ．
∴asinB＝acos（B﹣），即sinB＝cos（B﹣）＝cosBcos+sinBsin＝cosB+，
∴tanB＝，
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又B∈（0，π），∴B＝ ．
（Ⅱ）在△ABC中，a＝2，c＝3，B＝，
由余弦定理得b＝＝，由bsinA＝acos（B﹣），得sinA＝，
∵a＜c，∴cosA＝，
∴sin2A＝2sinAcosA＝，
cos2A＝2cos2A﹣1＝，
∴sin（2A﹣B）＝sin2AcosB﹣cos2AsinB＝＝ ．
3．已知α，β为锐角，tanα＝，cos（α+β）＝﹣ ．
（1）求cos2α的值；
（2）求tan（α﹣β）的值．
【解答】解：（1）由，解得，
∴cos2α＝；
（2）由（1）得，sin2，则tan2α＝ ．
∵α，β∈（0，），∴α+β∈（0，π），
∴sin（α+β）＝＝ ．
则tan（α+β）＝ ．
∴tan（α﹣β）＝tan[2α﹣（α+β）]＝＝ ．
4．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．
（1）求cos∠ADB；
（2）若DC＝2，求BC．
【解答】解：（1）∵∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．
∴由正弦定理得：＝，即＝，
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∴sin∠ADB＝＝，
∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，
∴cos∠ADB＝＝ ．
（2）∵∠ADC＝90°，∴cos∠BDC＝sin∠ADB＝，
∵DC＝2，
∴BC＝
＝＝5．
5．已知函数f（x）＝sin2x+sinxcosx ．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m的最小值．
【解答】解：（I）函数f（x）＝sin2x+sinxcosx＝+sin2x
＝sin（2x﹣）+，
f（x）的最小正周期为T＝＝π；
（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，
可得2x﹣∈[﹣，2m﹣]，
即有2m﹣≥，解得m≥，
则m的最小值为 ．
6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA＝4bsinB，ac＝（a2﹣b2﹣c2）
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（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值
【解答】（Ⅰ）解：由，得asinB＝bsinA，
又asinA＝4bsinB，得4bsinB＝asinA，
两式作比得：，∴a＝2b ．
由，得，
由余弦定理，得；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入asinA＝4bsinB，得 ．
由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角，
∴ ．
于是，，
故 ．
7．设函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）＝0．
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣）
＝sinωxcos﹣cosωxsin﹣sin（﹣ωx）
＝sinωx﹣cosωx
＝sin（ωx﹣），
又f（）＝sin（ω﹣）＝0，
∴ω﹣＝kπ，k∈Z，
解得ω＝6k+2，
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又0＜ω＜3，
∴ω＝2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝sin（2x﹣），
将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y＝sin（x﹣）的图象；
再将得到的图象向左平移个单位，得到y＝sin（x+﹣）的图象，
∴函数y＝g（x）＝sin（x﹣）；
当x∈[﹣，]时，x﹣∈[﹣，]，
∴sin（x﹣）∈[﹣，1]，
∴当x＝﹣时，g（x）取得最小值是﹣×＝﹣ ．
8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a＝5，c＝6，
sinB＝ ．
（Ⅰ）求b和sinA的值；
（Ⅱ）求sin（2A+）的值．
【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，
故由sinB＝，可得cosB＝ ．
由已知及余弦定理，有＝13，
∴b＝ ．
由正弦定理，得sinA＝ ．
∴b＝，sinA＝；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cosA＝，∴sin2A＝2sinAcosA＝，
cos2A＝1﹣2sin2A＝﹣ ．
故sin（2A+）＝＝．
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9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为 ．
（1）求sinBsinC；
（2）若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．
【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC＝acsinB＝，
∴3csinBsinA＝2a，
由正弦定理可得3sinCsinBsinA＝2sinA，
∵sinA≠0，
∴sinBsinC＝；
（2）∵6cosBcosC＝1，
∴cosBcosC＝，
∴cosBcosC﹣sinBsinC＝﹣＝﹣，
∴cos（B+C）＝﹣，
∴cosA＝，
∵0＜A＜π，
∴A＝，
∵＝＝＝2R＝＝2，
∴sinBsinC＝?＝＝＝，
∴bc＝8，
∵a2＝b2+c2﹣2bccosA，
∴b2+c2﹣bc＝9，
∴（b+c）2＝9+3cb＝9+24＝33，
∴b+c＝
∴周长a+b+c＝
3+．．
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10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin2．
（1）求cosB；
（2）若a+c＝6，△ABC的面积为2，求b ．
【解答】解：（1）sin（A+C）＝8sin2，
∴sinB＝4（1﹣cosB），
∵sin2B+cos2B＝1，
∴16（1﹣cosB）2+cos2B＝1，
∴16（1﹣cosB）2+cos2B﹣1＝0，
∴16（cosB﹣1）2+（cosB﹣1）（cosB+1）＝0，
∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）＝0，
∴cosB＝；
（2）由（1）可知sinB＝，
∵S△ABC＝ac?sinB＝2，
∴ac＝，
∴b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2﹣2××
＝a2+c2﹣15＝（a+c）2﹣2ac﹣15＝36﹣17﹣15＝4，
∴b＝2．
11．已知函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sinxcosx ．
（I）求f（x）的最小正周期；
（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣ ．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sinxcosx，
＝（co2x+sin2x）﹣sin2x，
＝cos2x+sin2x，
＝sin（2x+）， ∴T＝＝π，
12
∴f（x）的最小正周期为π，
（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，
∴2x+∈[﹣，]，
∴﹣≤sin（2x+）≤1，
∴f（x）≥﹣
12．已知向量＝（cosx，sinx），＝（3，﹣），x∈[0，π．]
（1）若，求x的值；
（2）记f（x）＝，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．
【解答】解：（1）∵＝（cosx，sinx），＝（3，﹣），∥，
∴﹣cosx＝3sinx，
当cosx＝0时，sinx＝1，不合题意，
当cosx≠0时，tanx＝﹣，
∵x∈[0，π]，
∴x＝，
（2）f（x）＝＝3cosx﹣sinx＝2（cosx﹣sinx）＝2cos（x+），
∵x∈[0，π]，
∴x+∈[，]，
∴﹣1≤cos（x+）≤，
当x＝0时，f（x）有最大值，最大值3， 当x＝时，f（x）有最小值，最小值﹣2． 13．在△ABC中，∠A＝60°，c＝a．
（1）求sinC的值；
（2）若a＝7，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）∠A＝60°，c＝a，
13
由正弦定理可得sinC＝sinA＝×＝，
（2）a＝7，则c＝3，
∴C＜A，
∵sin2C+cos2C＝1，又由（1）可得cosC＝，
∴sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝×+×＝，
∴S△ABC＝acsinB＝×7×3×＝6．
14．已知函数f（x）＝2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π ．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的单调递增区间．
【解答】解：f（x）＝2sinωxcosωx+cos2ωx，
＝sin2ωx+cos2ωx，
＝，
由于函数的最小正周期为π，
则：T＝，
解得：ω＝1．
（2）由（1）得：函数f（x）＝，
令（k∈Z），
解得：（k∈Z），
所以函数的单调递增区间为：[]（k∈Z） ．
15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2acosB．
（1）证明：A＝2B；
（2）若cosB＝，求cosC的值．
【解答】（1）证明：∵b+c＝2acosB，
∴sinB+sinC＝2sinAcosB，
∵sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，
∴sinB＝sinAcosB﹣cosAsinB＝sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），
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∴0＜A﹣B＜π，∴B＝A﹣B，或B＝π﹣（A﹣B），化为A＝2B，或A＝π（舍去） ．
∴A＝2B．
（II）解：cosB＝，∴sinB＝＝ ．
cosA＝cos2B＝2cos2B﹣1＝，sinA＝＝ ．
∴cosC＝﹣cos（A+B）＝﹣cosAcosB+sinAsinB＝+×＝ ．
16．设f（x）＝2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（）的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2 ＝2sin2x﹣1+sin2x＝2?﹣1+sin2x
＝sin2x﹣cos2x+﹣1＝2sin（2x﹣）+﹣1，
令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，
可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
（Ⅱ）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y＝2sin（x﹣）+﹣1的图象；
再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）＝2sinx+﹣1的图象，
∴g（）＝2sin+﹣1＝ ．
17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B＝bsinA．
（1）求B；
（2）已知cosA＝，求sinC的值．
【解答】解：（1）∵asin2B＝bsinA，
∴2sinAsinBcosB＝sinBsinA，
∴cosB＝，∴B＝ ．
（2）∵cosA＝，∴sinA＝，
15
∴sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB＝＝ ．
18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2acosB．
（Ⅰ）证明：A＝2B；
（Ⅱ）若△ABC的面积S＝，求角A的大小．
【解答】（Ⅰ）证明：∵b+c＝2acosB，
∴sinB+sinC＝2sinAcosB，
∴sinB+sin（A+B）＝2sinAcosB
∴sinB+sinAcosB+cosAsinB＝2sinAcosB
∴sinB＝sinAcosB﹣cosAsinB＝sin（A﹣B）
∵A，B是三角形中的角，
∴B＝A﹣B，
∴A＝2B；
（Ⅱ）解：∵△ABC的面积S＝，
∴bcsinA＝，
∴2bcsinA＝a2，
∴2sinBsinC＝sinA＝sin2B，
∴sinC＝cosB，
∴B+C＝90°，或C＝B+90°，
∴A＝90°或A＝45°．
19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+＝ ．
（Ⅰ）证明：sinAsinB＝sinC；
（Ⅱ）若b2+c2﹣a2＝bc，求tanB．
【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+＝，
∴由正弦定理得：，
16
∴＝，
∵sin（A+B）＝sinC．
∴整理可得：sinAsinB＝sinC，
（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理可得cosA＝ ．
sinA＝，＝
+＝＝1，＝，
tanB＝4．
20．在△ABC中，AC＝6，cosB＝，C＝ ．
（1）求AB的长；
（2）求cos（A﹣）的值．
【解答】解：（1）∵△ABC中，cosB＝，B∈（0，π），
∴sinB＝，
∵，
∴AB＝＝5；
（2）cosA═﹣cos（π﹣A）＝﹣cos（C+B）＝sinBsinC﹣cosBcosC＝﹣ ．
∵A为三角形的内角，
∴sinA＝，
∴cos（A﹣）＝cosA+sinA＝ ．
21．已知函数f（x）＝4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣ ．
（1）求f（x）的定义域与最小正周期；
（2）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．
【解答】解：（1）∵f（x）＝4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．
17
∴x≠kπ+，即函数的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}，
则f（x）＝4tanxcosx?（cosx+sinx）﹣
＝4sinx（cosx+sinx）﹣
＝2sinxcosx+2sin2x﹣
＝sin2x+（1﹣cos2x）﹣
＝sin2x﹣cos2x
＝2sin（2x﹣），
则函数的周期T＝；
（2）由2kπ﹣＜2x﹣＜2kπ+，k∈Z，
得kπ﹣＜x＜kπ+，k∈Z，即函数的增区间为（kπ﹣，kπ+），k∈Z，
当k＝0时，增区间为（﹣，），k∈Z，
∵x∈[﹣，]，∴此时x∈（﹣，]，
由2kπ+＜2x﹣＜2kπ+，k∈Z，
得kπ+＜x＜kπ+，k∈Z，即函数的减区间为（kπ+，kπ+），k∈Z，
当k＝﹣1时，减区间为（﹣，﹣），k∈Z，
∵x∈[﹣，]，∴此时x∈[﹣，﹣），
即在区间[﹣，]上，函数的减区间为∈[﹣，﹣），增区间为（﹣，．]
22．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）c．
（Ⅰ）求C；
＝
18
（Ⅱ）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0
已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）＝sinC，
整理得：2cosCsin（A+B）＝sinC，
即2cosCsin（π﹣（A+B））＝sinC
2cosCsinC＝sinC
∴cosC＝，
∴C＝；
（Ⅱ）由余弦定理得7＝a2+b2﹣2ab?，
∴（a+b）2﹣3ab＝7，
∵S＝absinC＝ab＝，
∴ab＝6，
∴（a+b）2﹣18＝7，
∴a+b＝5，
∴△ABC的周长为5+．．
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