一、问题重述
某炼油厂购买两种原油和，经过蒸馏、重整、裂解和混合等4种加工过程，生成汽油和燃料油出售。
蒸馏 该过程将每种原油按沸点不同分离成下列分馏物：轻石油精、中石油精、重石油精、轻油、重油和残渣。轻、中和重石油精的辛烷值分别为90、80和70。一桶原油生成分馏物的桶数如下表所示（蒸馏过程中有少量损耗）：
分馏物 原油 石油精 轻 中 重 轻 油 残渣 重 0.1 0.2 0.2 0.12 0.2 0.13 0.15 0.25 0.18 0.08 0.19 0.12 重整 石油精可直接用于混合产生各种品级的汽油，也可以再经过一种称作重整的加工过程，生成一种称为重整汽油的产品，其辛烷值为115。不同的石油精每桶产生重整汽油的桶数如下表: 石油精 重整汽油 轻 0.6 裂解 轻油和重油可以直接混合生产飞机燃料和燃料油，也可以经过催化裂解，生成裂化油和裂化汽油，后者的辛烷值为105。一桶轻油经裂解生成裂化油0.68桶和裂化汽油0.28桶；一桶重油经裂解生成裂化油0.75桶和裂化汽油0.2桶。裂化油用于混合生成飞机燃料和燃料油；裂化汽油用于混合生成汽油。 残渣用于生产润滑油，或混合入飞机燃料和燃料油中，一桶残渣产生0.5桶润滑油。
混合
汽油（发动机燃料） 汽油有两种:普通汽油和特级汽油，由石油精、重整汽油和裂化汽油混合得到。普通汽油必须有不小于84的辛烷值；特级汽油必须有不小于94的辛烷值。假设辛烷值是按体积线性地混合的，即混合物的辛烷值是各组分的辛烷值以组分的体积为权的加权平均。
飞机燃料 飞机燃料的蒸发压不能超过1kg/cm。轻油、重油、裂化油和残
2
中 0.52 重 0.45 渣的蒸发压依次为1.0、0.6、1.5和0.05kg/cm，同样假设蒸发压是按体积线性地
2
混合的。
燃料油 轻油、裂化油、重油和残渣按10:4:3:1的比例混合生成燃料油。 关于原料供应和加工能力的限制条件有:
(a) 日供应20000桶； (b) 日供应30000桶；
(c) 日蒸馏原油最多45000桶； (d) 日重整石油精最多10000桶； (e) 日裂解油最多8000桶； (f) 日产润滑油必须在500桶至1000桶之间；
(g) 特级汽油的产量必须是普通汽油的40%。 每售出一桶成品，利润数如下表所示： 产品 利润（元） 特级汽油 70 普通汽油 60 1、炼油厂如何安排生产，总利润为最大？ 2、考虑产品利润的某种变化对总利润的影响。 3、对于假设条件(f)(g)，作出你的评论。
飞机燃料 40 燃料油 润滑油 35 15 二、符号约定
产品 普通汽油 特级汽油 燃料油 飞机燃油 润滑油 用于生产普通汽油的重整汽油 用于生产特级汽油的重整汽油 用于生产普通汽油的轻石油精 用于生产特级汽油的轻石油精 符号 XP XT XS XF XR XPCZ XTCZ XPQ XTQ 用于生产重整石油的轻石油精 用于生产普通汽油的中石油精 用于生产特级汽油的中石油精 用于生产重整石油的中石油精 用于生产普通汽油的重石油精 用于生产特级汽油的重石油精 用于生产重整石油的重石油精 用于生产普通汽油的裂化汽油 用于生产特级汽油的裂化汽油 用于生产燃料油的裂化油 用于生产飞机燃料的裂化油 用于生产燃料油的残渣 用于生产飞机燃料的残渣 用于生产润滑油的残渣 用于生产飞机燃料的轻油 用于生产燃料油的轻油 用于裂化的轻油 用于生产飞机燃料的重油 用于生产燃料油的重油 用于裂化的重油 原料油C1 原料油C2 XCZQ XPM XTM XCZM XPH XTH XCH XPL XTL XSL XFL XSC XFC XRC XFQ XSQ XLQ XFH XSH XLH XO XT 利润 P 备注：普通汽油XP、特级汽油XT、燃料油XS、飞机燃料XF和润滑油XR是自变量外，其余变量均为因变量。
三、模型假设
1.
计；
2. 3. 4. 5.
品；
6. 7.
8.
（6） 该炼油厂所生产的最终产品都能够卖得出去； （7） 该炼油厂所生产的最终产品的利润是稳定的。
（2） 由原料加工成产品时，产品的体积是原料体积之和；
（3） 生产普通汽油和特级汽油时，只要辛烷值达到要求即可，5种原材
料不需要都用到；
（4） 生产飞机燃料时，只要蒸发压达到要求即可，4种原材料不需要都
用到；
（5） 该炼油厂生产的 所有产品品质都是一样的，不生产不同品质的产（1） 该炼油厂的所有原材料和产品在运输和加工过程中的损耗忽略不
四、问题分析
该炼油厂的最终生产产品是普通汽油、特级汽油、飞机燃料、燃料油、润滑油这5种成品油，用的最初原料是原油和原油，中间产品有重整汽油、裂化油、裂化汽油。由于各种成品油利润不同，所以这5种产品各生产数量，相互间的生产比例都会影响到总利润。现在，本题的目标是求出这5种成品油各生产多少时获得总利润最大。
为了求出5种成品油各生产多少时获得总利润最大，总的求解思路如下： 首先，求出总利润与5种成品油各生产数量的函数关系；
第二，找出生产这5种成品油所需原材料，以及各原材料在生产时的使用比例；
第三，由于炼油厂的生产实际能力有限，以及市场需求的原因，该炼油厂的原料油、中间产品和最终成品油的生产数量是受到约束的，所以要找出这些约束条件；
第四，根据目标方程和约束条件，编程实现求解，得到最大总利润。
具体分析如下：
（1）分析总利润与5种成品油各生产数量的函数关系： 每售出一桶成品，利润数如下表所示：
表1：每桶成品的利润数 产品 利润（元）
总利润=每桶成品油的利润×成品油熟量，即
； (1)
特级汽油 普通汽油 飞机燃料 70 60 40 燃料油 35 润滑油 15 （2）找出生产这5种成品油所需原材料和中间产品，以及各原材料和中间产品在生产时数量的约束条件：
第一步，由原料油和中间产品到最终成品油的过程流程图如下：
原油 轻石油精 特级汽油 中石油精 重石油精 轻油 重油
重整汽油精
裂化汽油 裂化油 普通汽油 飞机燃料 燃料油 残渣 润滑油
图1：生产成品油的过程流程图
第二步，由原料油和中间产品到最终成品油的过程中，各种成品与原材料之间关系如下：
生产普通汽油和特级汽油： 普通汽油 特级汽油
中石油精 重石油精
重整汽油
轻石油精
裂化汽油
图2：成品油的生成流程图
普通汽油的辛烷值是不小于84，特级汽油的辛烷值是不小于94，而生产他们的5种原材料的辛烷值分别为：轻石油精90，中石油精80，重石油精70，重整汽油115，裂化汽油105，并且混合后的辛烷值是各组分的辛烷值以组分的体积为权的加权平均，故有：
普通汽油：
； (2)
特级汽油：
； (3)
又由于生产普通汽油和特级汽油的原材料混合后的总体积是各组分体积简单相加，故有：
； (4) ； (5)
飞机燃料： 飞机燃料
重油 裂化油 残油 轻油
图3：飞机燃料的生成流程图
飞机燃料的蒸发压不能超过。轻油、重油、裂化油和残渣的蒸发压依次为1.0、
0.6、1.5和，并且蒸发压是按体积线性地混合的，故有：
； (6)
又由于生产飞机燃料的原材料混合后的总体积是各组分体积简单相加，同样，故有：
； (7)
燃料油：
燃料油
重油 裂化油 残油 轻油
图4：燃料油的生产流程图
轻油、裂化油、重油和残渣按10:4:3:1的比例混合生成燃料油，故有：
； (8)
； (9) ； (10) ； (11)
又由于生产燃料油的原材料混合后的总体积是各组分体积简单相加，故有：
； (12)
润滑油：
润滑油
残油
图5：润滑油的生产流程图
一桶残渣产生0.5桶润滑油，故有：
； (13)
第三步，由中间产品到其他中间产品的过程中，各成品与原材料的关系如下： 重整汽油：
中石油精 重石油精 轻石油精 重整汽油
图6：重整汽油的生成流程图
不同的石油精每桶产生重整汽油的桶数如下表:
表2：石油精每桶产生重整汽油的桶数 石油精 重整汽油 轻 0.6 中 0.52 重 0.45
并且，重整汽油只用于生产普通汽油和特级汽油，但是考虑到由轻、中、重石油精生产出的重整汽油，由于在生产普通汽油和特级汽油的过程中与其他原材料有比例限制，可能没有用完，故有：
； (14)
裂化汽油和裂化油：
轻油 重油 裂化汽油 裂化油
图7：裂化油、裂化汽油的生成流程图
一桶轻油经裂解生成裂化油0.68桶和裂化汽油0.28桶；一桶重油经裂解生成裂化油0.75桶和裂化汽油0.2桶，而裂化汽油只用于加工成普通汽油和特级汽油，
裂化油只用于加工生产燃料油和飞机燃料，同样，由于在生产过程中这两种材料与其他材料有比例限制，可能没有用完，故有：
； (15) ； (16)
第四步，由原材料到中间产品的过程中，各成品与原油的关系如下： 原油：
原油 重油 裂化油 残油 轻油
重石油精 轻石油精
中石油精
图8：各成品与原油的关系图
每桶原油经过分馏后的产物桶数如下表：
表3：每桶原油经过分馏后产物桶数 分馏物 原油 石油精 轻 0.1 0.15 中 0.2 0.25 重 0.2 0.18 轻 0.12 0.08 油 重 0.2 0.19 0.13 0.12 残渣
原油分馏出的这些产品中，轻、中、重石油精用于加工成重整汽油、普通汽
油和特级汽油，同样的，这三种材料都可能没有用完，故有：
； (17) ； (18) ； (19)
原油分馏出的轻油和重油用于加工成裂化汽油、裂化油、飞机燃料和燃料油，
同样的，这两种材料都可能没有用完，故有：
； (20)
； (21)
原油分馏出的残油用于加工成润滑油、飞机燃料和燃料油，同样的，这残渣可能没有用完，故有：
； (22)
（3）找出由于炼油厂的生产实际能力有限以及市场需求的原因，该炼油厂的原料油、中间产品和最终成品油的生产数量是受到的约束条件：
原材料供应限制：
； (23) ； (24)
分馏能力限制：
； (25)
重整能力限制：
； (26)
裂解能力的限制：
； (27)
市场需求限制：
； (28) ； (29)
五、模型建立与求解
(一) 第一二问的解答： 1.模型的建立： 目标方程：
根据上述分析第一部分可得到目标方程为：
；
约束条件：
根据上述分析第二、三部分所得到的29个约束条件，可得到约束方程为：
2.模型的求解：
利用lingo软件编程得到结果如下：
最大利润元，在获得最大利润时，炼油厂的生产计划如下表：
表4：炼油厂的生产计划 项目 特级汽油 普通汽油 飞机燃油 燃料油 数量（桶） 6817.8 17044.5 15156.0 0 润滑油 原油C1 原油C2 重整汽油 裂化汽油 裂化油
3.模型的结果分析和检验：
500 15000 30000 2433.0 1936 5706 将生产计划中各产品数量绘制成如下图表：
图9：生产计划中各产品生产数量
（1）该炼油厂的原料油、中间产品和最终成品油的生产数量是满足约束条件的限制，因此该计划是可行的；
（2）在满足约束条件下，将计划中某一项的值增加或减小某一系列值，运行lingo程序，发现总利润总是减小，所以该计划是现有约束条件下的最优的计划；
4.灵敏度分析： 目标函数：
MAX=70*XT+60*XP+40*XF+35*XS+15*XR
对模型进行灵敏度分析，得到结果如下：
Current Allowable Allowable
Variable Coefficient Increase Decrease XT NONLINEAR 0.0 0.0 XP NONLINEAR 0.0 0.0
XF NONLINEAR -40.00000 6.490504 XS 35.00000 6.238095 INFINITY XR 15.00000 INFINITY -65.00000
对于XT,XP和XF三项，均显示当前系数为nonlinear，分析XS和XR。 得出XS的系数变化在0-41.238之间，最优解保持不变，也就是说当燃料油的利润为0至41.238之间时，炼油厂的生产计划不变。
XR的系数大于80时，生产计划也不变。也就是说当润滑油的利润大于80时，炼油厂的产计划也不变。
由于用lingo进行灵敏度分析，并没有得到想要的结果，而且模型中的目标函数也不是很复杂。因此，我们用手工计算的方式来进行分析。
对于特级汽油XT，改变其系数，即利润大小，得到结果如下表：
表5：特级汽油利润的变化对总利润的影响
XT的系数 70 增长 减小
目标函数值 2113651 线性增长 线性减小 XT XP XF XS XR 6817.779 17044.45 15156 0 500 生产计划不变 生产计划不变 对于普通汽油XP，改变其系数，即利润大小，得到结果如下表：
表6：普通汽油利润的变化对总利润的影响 XP的系数 60 从24.3开始 增长 19.9-24.2 12.6-19.8 0-12.5
对于飞机燃料XF，改变其系数，即利润大小，得到结果如下表：
表7：飞机燃料利润的变化对总利润的影响 XF的系数 40 32.6-67.2 32.1-32.5 23.8-32 0-23.7
对于燃料油XS，改变其系数，即利润大小，得到结果如下表：
表8：燃料油利润的变化对总利润的影响 XS的系数 35 目标函数值 2113651 XT XP XF XS 0 XR 500 线性增长 线性增长 目标函数值 2113651 线性增长 XT XP XF XS 0 0 XR 500 500 目标函数值 2113651 线性增长 线性增长 线性增长 线性增长 XT XP XF XS XR 6817.779 17044.45 15156 0 500 生产计划不变 6527.239 16318.1 16106 0 500 6077.668 15194.17 17450 0 500 5959.352 14898.38 17750 0 500 6817.779 17044.45 15156 6817.779 17044.45 15156 不可行 6710.338 16776.84 9101 6300 500 6614.401 16536 8135 7560 500 6817.779 17044.45 15156 0-42.1 42.2-47.4 47.5-79.5
线性增长 线性增长 线性增长 6817.779 17044.45 15156 0 500 6710.338 16776.84 9101 6300 500 6614.401 16536 8135 7560 500 对于润滑油XR，改变其系数，即利润大小，得到结果如下表：
表9：润滑油利润的变化对总利润的影响 XR的系数 15 0-70.9
上面就是灵敏度分析的结果，当某一产品的利润发生变化时对应的总利润的变化情况。
5.结果分析：
从灵敏度分析的结果中可以发现,当产品的利润在某一区间线性增长时，总利润是也是线性增长的。而产品生产计划在这一区间是不变的。
(二) 第三问的解答：
在问题1 的模型中，都有（f）和（g）条件的限制。如果在模型中去除这两个条件的限制，再进行求解，那么就可以得到这两个条件对炼油厂生产安排的影响。
1.去除（f）条件，保留（g）条件（程序见附录2）： 对模型中所编写的lingo程序进行修改，即没有润滑油产量的限制，进行lingo求解，得到结果:
总利润为2146151元，产品生产计划见下表：
表10 ： 去除（f）条件，保留（g）条件的生产计划
成品油种类 特级汽油 普通汽油 飞机燃料 燃料油 润滑油 生产数量(桶) 6817.779 17044.45 16156 0 0 目标函数值 2113651 线性增长 XT XP XF XS XR 6817.779 17044.45 15156 0 500 6817.779 17044.45 15156 0 500
2.去除（g）条件，保留（f）条件（程序见附录3）：
对模型中所编写的lingo程序进行修改，即没有特级汽油的产量限制，进行lingo求解，得到结果如下：
总利润为2125970元，产品生产计划为：
表11：去除（g）条件，保留（f）条件的生产计划
成品油种类 特级汽油 普通汽油 飞机燃料 燃料油 润滑油
3.去除（f）（g）条件：
对模型中所编写的lingo程序进行修改（程序见附录4），即没有润滑油产量的限制，也没有特级汽油产量的限制，进行lingo求解，得到结果：
总利润为2158470元，产品生产计划见下表：
表12：去除（f）（g）条件的生产计划 成品油种类 特级汽油 普通汽油 飞机燃料 燃料油 润滑油
在问题1的模型解答中，原始结果为：
总利润2113651元，产品生产计划为：特级汽油6817.779桶，普通汽油17044.45桶，飞机燃料为15156桶，燃料油为0桶，润滑油为500桶。
为了更直观地得出上面四种结果的差异，可得到下表：
表13：条件（f）（g）对总利润的影响 条件限制 总利润 特级汽油 普通汽油 飞机燃料 燃料油 润滑油 生产数量(桶) 0 25023.83 15156 0 0 生产数量(桶) 0 25023.83 15156 0 500 有（f），2113651 6817.779 17044.45 15156 有（g） 无（f），2146151 6817.779 17044.45 16156 有（g） 有（f），2125970 无（g） 无（f），2158470 无（g）
0 0 25203.83 15156 25203.83 16156 0 0 0 0 500 0 500 0 从上表中可以得出以下结果：
没有润滑油产量必须在500-1000桶限制时，润滑油的产量为0,而飞机燃料的产量增加了1000桶，原因在于生产润滑油的残渣全部用来生产燃料油了。 没有特级汽油的产量必须是普通汽油产量的40%条件限制时，特级汽油的产量为0，普通汽油为25203.83，原因在于生产特级汽油的原料全部用来生产普通汽油了。
可以发现，在没有（f）和（g）条件限制时，炼油厂生产总利润增大了。那么为什么会有这些“不利于自身”条件限制呢，分析此问题，我们给出以下评价：
1).产品配备齐全的需要：
虽然润滑油的利润只有15元，但是由于润滑油的购买量比较大，所以必须要有这一产品。如果某一客户购买产品时，不仅购买了汽油，而且还需要润滑油，此时若炼油厂无润滑油，那么客户为了方便很可能会选择另一家炼油厂。同样，特级汽油的生产也是如此。所以产品配备必须要齐全。而模型的结果中，燃料油的产量始终为0，但是在条件限制中也没有对燃料油进行限制。可以推测出市场对燃料油的需求并不大。
2).市场需求： 在模型的假设中，所有产品都能卖完。实际上，这个假设在现实中难以保证。这是由市场需求决定的。虽然汽油和飞机燃料的利润较大，但是很有可能这些产品在市场上已经达到饱和，供大于求，很难卖的出去，所以要有（f）和（g）条件的限制。
因此，炼油厂应根据不同阶段市场需求的特点，合理控制产品的产量，使得产品能够及时销售出去而获得更多的利润。
参 考 文 献
袁新生，邵大宏，郁时炼，LINGO和Excel在数学建模中的应用，北京：科学出版社，2007
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