四川省成都市2015届高三第一次诊断试题-数学(理)Word版含答案

成都市2015届高中毕业班第一次诊断性检测

数学试题（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设全集U{x|x0}，集合P{1}，则 （A）[0,1) （C）(,1)UP

(1,) （B）(,1) (1,) （D）(1,)

2．若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形，则这个几何体的俯视图不可能是

（A） （B） （C） （D） 3．已知复数z43i（i是虚数单位），则下列说法正确的是

（A）复数z的虚部为3i （B）复数z的虚部为3 （C）复数z的共轭复数为z43i （D）复数z的模为5

x31,x04．函数f(x)1x的图象大致为

(),x03y y y y O

x

O

x

O

x O

（A） （B） （C） （D）

5．已知命题p：“若xa2b2，则x2ab”，则下列说法正确的是 （A）命题p的逆命题是“若xa2b2，则x2ab” （B）命题p的逆命题是“若x2ab，则xa2b2 ” （C）命题p的否命题是“若xa2b2，则x2ab” （D）命题p的否命题是“若xa2b2，则x2ab”

x

6．若关于x的方程x2ax40在区间[2,4]上有实数根，则实数a的取值范围是

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（A）(3,) （B）[3,0] （C）(0,) （D）[0,3]

x2y27．已知F是椭圆221（ab0）的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上一点，PFx轴.

ab若PF1AF，则该椭圆的离心率是 43131 （B） （C） （D） 2442 （A）

8．已知m，n是两条不同直线，，是两个不同的平面，且m//的是

，n，则下列叙述正确

（A）若//，则m//n （B）若m//n，则// （C）若n，则m （D）若m，则

9．若sin2 （A）

5103，sin()，且[,]，[,]，则的值是 51042795759 （B） （C）或 （D）或 44444410．如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1棱长为4，点H在棱AA1上，且HA11．在侧面BCC1B1内作边长为1的正方形EFGC1，P是侧面BCC1B1内一动点，且点P到平面CDD1C1距离等于线段PF的长.则当点P运动时， HP的最小值是 （A）21

（B）22 （C）23 （D）25

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

D1EA1B1FGC12HPDCAB11．若非零向量a，b满足abab，则a，b的夹角的大小为__________． 12．二项式(x2)6的展开式中含x3的项的系数是__________．（用数字作答） 13．在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若c2a，b4，cosB面积S__________．

14．已知定义在R上的奇函数f(x)，当x0时，f(x)log3(x1)．若关于x的不等式

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1x1，则ABC的4-----WORD格式--可编辑--专业资料-----

f[x2a(a2)]f(2ax2x)的解集为A，函数f(x)在[8,8]上的值域为B，若“xA”是

“xB”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是__________．

15．已知曲线C：y2xa在点Pn(n,2na)（a0,nN）处的切线ln的斜率为kn，直线ln交x轴，y轴分别于点An(xn,0)，Bn(0,yn)，且x0y0．给出以下结论： ①a1；

②当nN*时，yn的最小值为③当nN*时，kn25； 42sin1； 2n1 ④当nN*时，记数列{kn}的前n项和为Sn，则Sn2(n11)．

其中，正确的结论有 （写出所有正确结论的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）

口袋中装有除颜色，编号不同外，其余完全相同的2个红球，4个黑球．现从中同时取出3个球．

（Ⅰ）求恰有一个黑球的概率；

E（Ⅱ）记取出红球的个数为随机变量X，求X的分布列和数学期望E(X)．

17．（本小题满分12分）

DF如图，ABC为正三角形，EC平面ABC，DB//EC，FCB为EA的中点，ECAC2，BD1．

（Ⅰ）求证：DF//平面ABC；

A（Ⅱ）求平面DEA与平面ABC所成的锐二面角的余弦值． 18．（本小题满分12分）

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn2an2；数列{bn}满足b11， bn1bn2.nN*．

（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（Ⅱ）记cnanbn，nN*．求数列{cn}的前n项和Tn． 19．（本小题满分12分）

某大型企业一天中不同时刻的用电量y（单位：万千瓦时）关于时间t（0t24，单位：小时）的函数yf(t)近似地满足f(t)Asin(t)B(A0,0,0)，下图是该企业一天中在0点至12点时间段用电量y与时间t的大致图象．

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-----WORD格式--可编辑--专业资料----- （Ⅰ）根据图象，求A，，，B的值； （Ⅱ）若某日的供电量g(t)（万千瓦时）与时间t（小时）近似满足函数关系式．当该日内g(t)1.5t20（0t12）供电量小于该企业的用电量时，企业就必须停产．请用二分法计算该企业当日停产的大致时刻（精确度0.1）. 参考数据: t（时） g(t)（万千瓦时） 10 11 12 2.5 2 11.5 2.48 2.75 11.25 2.462 3.125 11.75 11.625 11.6875 2.496 2.375 2.490 2.563 2.493 2.469 f(t)（万千瓦时） 2．25 2.433 5 3.5 20．（本小题满分13分）

x2y2已知椭圆：221（ab0）的右焦点为(22,0)，且椭圆上一点M到其两焦

ab点F1,F2的距离之和为43．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）设直线l:yxm(mR)与椭圆交于不同两点A，且AB32．若点P(x0,2)B，

满足PAPB，求x0的值． 21．（本小题满分14分）

mx2mx2 已知函数f(x)，g(x)mmx，其中mR且m0．e2.71828lnxe数的底数．

（Ⅰ）当m0时，求函数f(x)的单调区间和极小值；

为自然对

（Ⅱ）当m0时，若函数g(x)存在a,b,c三个零点，且abc，试证明： 1a0bec；

（Ⅲ）是否存在负数m，对x1(1,)，x2(,0)，都有f(x1)g(x2)成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

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数学（理科）参考答案及评分意见

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）

1．A； 2．C； 3．D；4．A；5．C；6．B；7．B；8．D；9．A；10．B．

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）

11．90 12．20 13．15 14.[2,0] 15．①③④ 三、解答题：（本大题共6个小题,共75分） 16．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）记“恰有一个黑球”为事件A，则

21C2C441 P(A)．……………………………………………………………4分 3C6205（Ⅱ）X的可能取值为0,1,2，则

3C441 P(X0)3……………………………………………………………2分

C620512C2C4123 P(X1) ………………………………………………………2分 3C6205 P(X2)P(A) ∴X的分布列为

X P

1 ………………………………………………………………2分 50 1 51 3 52 1 5 ∴X的数学期望EX017．（本小题满分12分）

131121．…………………………………2分 555E（Ⅰ）证明：作AC的中点O，连结BO．

// 在AEC中，FO1//1EC． EC，又据题意知，BD22z DF//BD，∴四边形FOBD为平行四边形． ∴FO ∴DF//OB，又DF平面ABC，OB平面ABC．

∴DF//平面ABC．……………………………………4分 （Ⅱ）∵FO//EC，∴FO平面ABC．

Cy BO Ax 在正ABC中，BOAC，∴OA,OB,OF三线两两垂直．

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分别以OA,OB,OF为x,y,z轴，建系如图． 则A(1,0,0)，E(1,0,2)，D(0,3,1)． ∴AE(2,0,2)，AD(1,3,1)． 设平面ADE的一个法向量为n1(x,y,z)，

n1AE02x2z0 则，即，令x1，则z1,y0．

x3yz0n1AD0 ∴平面ADE的一个法向量为n1(1,0,1)． 又平面ABC的一个法向量为n2(0,0,1)． ∴cosn1n2222．…………………………8分 2 ∴平面DEA与平面ABC所成的锐二面角的余弦值18.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵Sn2an2 

当n2时，Sn12an12 

得，an2an2an1，即an2an1（n2）． 又当n1时，S12a12，得a12．

∴数列{an}是以2为首项，公比为2的等比数列，

∴数列{an}的通项公式为an22n12n．………………………………………4分 又由题意知，b11，bn1bn2，即bn1bn2 ∴数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，

∴数列{bn}的通项公式为bn1(n1)22n1．……………………………2分 （Ⅱ）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，cn(2n1)2n………………………………………………1分 ∴Tn12322523 2Tn 由

(2n3)2n1(2n1)2n

122323(2n5)2n1(2n3)2n(2n1)2n1 ④

④得

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Tn222222322n122n(2n1)2n1 …………………1分

T3n1n2(12222n12n)(2n1)2

∴T222n2n(2n1)2n112…………………………………………………1分

∴Tn22n142n2n12n1 即Tn(32n)2n14 ∴Tn(2n3)2n14

∴数列{cn}的前n项和T1n(2n3)2n4………………………………………3分 19.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由图知T12，6．………………………………………………………1分

Aymaxymin22.51.521yymin2.51.52，Bmax222．……………2分

∴y0.5sin(6x)2．

又函数y0.5sin(6x)2过点(0,2.5)．

代入，得22k，又0，∴2．…………………………………2分

综上，A12，6，2，B12． ………………………………………1分 即f(t)12sin(6t2)2． （Ⅱ）令h(t)f(t)g(t)，设h(t0)0，则t0为该企业的停产时间． 由h(11)f(11)g(11)0，h(12)f(12)g(12)0，则t0(11,12)． 又h(11.5)f(11.5)g(11.5)0，则t0(11.5,12)． 又h(11.75)f(11.75)g(11.75)0，则t0(11.5,11.75)． 又h(11.625)f(11.625)g(11.625)0，则t0(11.625,11.75)．

又h(11.6875)f(11.6875)g(11.6875)0，则t0(11.625,11.6875)．…4分 ∵11.687511.6250.06250.1． ……………………………………………1分 ∴应该在11．625时停产．……………………………………………………………1分 （

也

可

直

接

由

h(11.625)f(11.625)g(11.625)0--完整版学习资料分享----

，

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h(11.6875)f(11.6875)g(11.6875)0，得出t0(11.625,11.6875)；答案在11．625—

11．6875之间都是正确的；若换算成时间应为11点37分到11点41分停产） 20.（本小题满分13分）

（Ⅰ）由已知2a43得a23，又c22． ∴b2a2c24．

x2y2 ∴椭圆的方程为1．…………………………………………………4分

124yxm, （Ⅱ）由x2y2得4x26mx3m2120 ① ………………………1分

1,124 ∵直线l与椭圆交于不同两点A、B，∴△36m16(3m12)0， 得m216．

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1，x2是方程①的两根，

223m2123m 则x1x2， x1x2．

24 ∴AB1k2x1x2 又由AB32，得2923m(3m212)2m212． 4432m129，解之m2．……………………………3分 4 据题意知，点P为线段AB的中垂线与直线y2的交点． 设AB的中点为E(x0,y0)，则x0

当m2时，E(x1x23mm，y0x0m， 24431,) 2213(x)，即yx1． 22 ∴此时，线段AB的中垂线方程为y 令y2，得x03．…………………………………………………………………2分

当m2时，E(,)

3212 ∴此时，线段AB的中垂线方程为y13(x)，即yx1． 22 令y2，得x01．………………………………………………………………2分

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综上所述，x0的值为3或1． 21.（本小题满分14分）

2xlnxx2解：（Ⅰ）f(x)m12(lnx)21xmx2xlnxmx(12lnx)（x0且x1）． 22(lnx)(lnx)12∴由f(x)0，得xe；由f(x)0，得0xe，且x1．……………………1分 ∴函数f(x)的单调递减区间是(0,1),(1,e)，单调递增区间是(e,)．………………2分 ∴f(x)极小值f(e)2me.………………………………………………………………1分

2mxemxmx2emxmmx(mx2) （Ⅱ）g(x),(m0)． 2mxmxee∴g(x)在(,0)上单调递增，(0,∵函数g(x)存在三个零点．

22)上单调递减，(,)上单调递增． mmm0g(0)024∴20m．

eg()0mm0me2∴0me2…………………………………………………………………………………3分 由g(1)mmem(1e)0．

mmme2e2∴g(e)memm(1em)0．……………………………………………………1分

ee综上可知，g(e)0,g(0)0,g(1)0，

结合函数g(x)单调性及abc可得：a(1,0),b(0,e),c(e,)．

即1a0bec，得证．…………………………………………………………1分 （III）由题意，只需f(x)ming(x)max ∵f(x)mx(12lnx)

(lnx)21212由m0，∴函数f(x)在(1,e)上单调递减，在(e,)上单调递增．

∴f(x)minf(e)2me．………………………………………………………………2分

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12-----WORD格式--可编辑--专业资料-----

∵g(x)mx(mx2)

emx由m0，∴函数g(x)在(,∴g(x)maxg(22)上单调递增，(,0)上单调递减． mm24)m2．……………………………………………………………2分 mem44∴2mem2 ，不等式两边同乘以负数m，得2m2em22．

eme442m∴(2e1)m2，即．

e2(2e1)e2由m0，解得m22e1．

e(2e1)22e1)满足题意．……………………………1分

e(2e1)综上所述，存在这样的负数m(,

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