指数运算和指数函数

第五讲 指数运算和指数函数

一、知识点

1.根式的性质

（1）当n为奇数时，有anna （2）当n为偶数时，有anna,(a0) aa,(a0)（3）负数没有偶次方根 （4）零的任何正次方根都是零 2.幂的有关概念

(1)正整数指数幂：anaaa.............a(nN) n(2)零指数幂a01(a0) (3)负整数指数幂 amp1ap(a0.pN)

(4)正分数指数幂 anmnnma(a0,m,nN,且n1)

(5)负分数指数幂 a1m(a0,m,nN,且n1)

an(6)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义 3.有理指数幂的运算性质

(1)arasars,(a0,r,sQ) (2)(ar)sars,(a0,r,sQ) (3)(ab)raras,(a0,b0,rQ)

4．指数函数定义：函数yax(a0且a1)叫做指数函数。 5. 指数函数的图象和性质 ya x0 < a < 1 a > 1 图 象 定义域 R 值域 性 质 定点 (0 , +∞) 过定点（0，1），即x = 0时，y = 1 （1）a > 1，当x > 0时，y > 1；当x < 0时，0 < y < 1。 （2）0 < a < 1，当x > 0时，0 < y < 1；当x < 0时，y > 1。 在R上是增函数 关于y轴对称 单调性 在R上是减函数 对称性 ya和yaxx

1．函数y(x5)(x2)2

A．{x|x5,x2} B．{x|x2}

01 （ ）

C．{x|x5} D．{x|2x5或x5} 2．若指数函数yax在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a等于

A．

125

（ ）

B．

125

C．

125 D．

512

2x1,x03．函数f(x)1，满足f(x)1的x的取值范围

2x,x0 （ ）

A．(1,1)

1 B． (1,) D．{x|x1或x1}

C．[2,)

1C．{x|x0或x2} 4．函数y()xx2221 A．[1,]

2得单调递增区间是 B．(,1]

（ ）

D．[,2]

25．已知f(x)eexx2 A．奇函数，在R上为增函数 B．偶函数，在R上为增函数 C．奇函数，在R上为减函数 D．偶函数，在R上为减函数 二、填空题

，则下列正确的是 （ ）

6．已知函数f (x)的定义域是（1，2），则函数f(2x)的定义域是 . 7．当a＞0且a≠1时，函数f (x)=ax－2－3必过定点 .

18．已知－19．（12分）求函数y

10．（12分）已知函数ya

11．（12分）（1）已知f(x)x2xa1x的定义域.

5x112a1(a1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a的值.

x231xm是奇函数，求常数m的值；

（2）画出函数y|31|的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|3Ｘ－１｜＝k无

解？有一解？有两解？

12．已知函数f(x)＝

a1a1

xx

(a>0且a≠1).

(1)求f(x)的定义域和值域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)讨论f(x)的单调性.

参考答案（6）

一、DCDDD AAD D A

213a二、11．(0,1)； 12．(2，－2)； 13．a三、

15． 解：要使函数有意义必须：

3； 14．a3a3 ；

x10x1 x0x0x1

∴定义域为：xxR且x0,x1

rrrrab，其中016． 解：abrac1,0r

r

bcr

1.

ccrcr当r＞1时，aabb，所以a1ccccrr+b＜c；

rrraabb当r＜1时，，所以a+b＞c. 1cccc17．解： ya2x2a1(a1)， 换元为yt2t1(x21ata)，对称轴为t1.

当a1，ta，即x=1时取最大值，略 解得 a=3 (a= －5舍去)

18．解： （1）常数m=1

（2）当k<0时，直线y=k与函数y|31|的图象无

交点,即方程无解;

xy|31|当k=0或k1时, 直线y=k与函数的图象有唯一

的交点，所以方程有一解;

当0xx因为g(t)为常数，g(t1)g(t2)，即[g(0)pr][ert1vert2v]0， 则g(0)pr；

（2）设0t1t2，g(t1)g(t2)[g(0)pr][ert1vert2v]

r=[g(0)pr]evt2rret1t2vt1

ev因为g(0)pr0，0t1t2，g(t1)g(t2). 污染越来越严重.

20．解：(1)是奇函数.(2)值域为(－1，1).(3)设x1＜x2，

则f(x1)f(x2)aax1x111aax2x211x2。=

(ax11)(ax21)(ax1x11)(ax21)(ax11)(ax2x2

1)∵a＞1，x1＜x2，∴a＜a

x1. 又∵a+1＞0，a+1＞0，

∴f (x1)－f (x2)＜0，即f (x1)＜f (x2).

函数f(x)在(－∞，+∞)上是增函数.