2019届高考数学考前刷题大卷练12圆锥曲线(理)

刷题大卷练 12 圆锥曲线大卷练

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 21．[2019·龙岩质检]若直线AB与抛物线y＝4x交于A，B两点，且AB⊥x轴，|AB|＝42，则抛物线的焦点到直线AB的距离为( ) A．1 B．2 C．3 D．5 答案：A 2解析：由|AB|＝42及AB⊥x轴，不妨设点A的纵坐标为22，代入y＝4x得点A的2横坐标为2，从而直线AB的方程为x＝2.又y＝4x的焦点为(1,0)，所以抛物线的焦点到直线AB的距离为2－1＝1，故选A. 2．[2019·黑龙江月考]已知抛物线C：y＝的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，且|AF|8＝2y0，则x0＝( ) A．2 B．±2 C．4 D．±4 答案：D 解析：由y＝得x＝8y， 8∴抛物线C的准线方程为y＝－2，焦点为F(0,2)． 由抛物线的性质及题意，得|AF|＝2y0＝y0＋2.解得y0＝2，∴x0＝±4.故选D. 方法点拨：首先将抛物线方程化为标准方程，求得焦点坐标和准线方程，利用抛物线的性质：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，求得点的横(纵)坐标，代回抛物线方程求得点的纵(横)坐标． 3．[2019·咸宁模拟]已知F1，F2为双曲线C：－＝1的左、右焦点，点P在双曲线169C上，且|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1F2P＝( ) 43A. B. 555523C. D．－ 6440答案：D 解析：由题意可知，a＝4，b＝3，∴c＝5，设|PF1|＝2x，|PF2|＝x，则|PF1|－|PF2|＝x＝2a＝8，故|PF1|＝16，|PF2|＝8，又|F1F2|＝10，∴利用余弦定理可得cos∠F1F2P＝222|PF2|＋|F1F2|－|PF1|23＝－. 2|PF2|·|F1F2|40x2x22x2y2x2y24．已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的焦点为F1，F2，M为双曲线上一点，且MF1⊥MF2，ab1tan∠MF1F2＝，则双曲线的离心率为( ) 2A.2 B.3 C．2 D.5 答案：D 15解析：因为MF1⊥MF2，tan∠MF1F2＝，所以sin∠MF1F2＝，|MF2|＝|F1F2|·sin∠MF1F22525c45c25cc2c＝，|MF1|＝.又点M在双曲线上，所以2a＝|MF1|－|MF2|＝，所以e＝＝555a2a＝5，故选D.

5．[2019·河北唐山模拟]双曲线－＝1的顶点到渐近线的距离为( ) 124A．23 B．3 C．2 D.3 答案：D 解析：根据题意，双曲线的标准方程为－＝1，其中a＝12＝23，b＝2，则其顶1243x，即3x±3y＝0. 3由双曲线的对称性可知：无论哪个顶点到任何一条渐近线的距离都是相等的． |23×3|则顶点到渐近线的距离d＝＝3.故选D. 3＋926．[2019·安徽名校联考]已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝( ) 12A. B. 33点坐标为(±23，0)，其渐近线方程为y＝±222C. D. 33答案：D x2y2x2y2 解析：设抛物线C：y＝8x的准线为l，易知l：x＝－2，直线y＝k(x＋2)恒过定点P(－2,0)，如图，过A，B分别作AM⊥l于点M，BN⊥l于点N，由|FA|＝2|FB|，知|AM|＝2|BN|，1∴点B为线段AP的中点，连接OB，则|OB|＝|AF|，∴|OB|＝|BF|，∴点B的横坐标为1，2222－022∵k>0，∴点B的坐标为(1,22)，∴k＝＝.故选D. 1－－3x27．[2019·广州调研]在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－22＝0与椭圆C：2＋a2yc2＝1(a>b>0)相切，且椭圆C的右焦点F(c,0)关于直线l：y＝x的对称点E在椭圆C上，bb则△OEF的面积为( ) 13A. B. 22C．1 D．2 答案：C x＋2y－22＝0，解析：联立方程可得x2y22＋2＝1，ab222 消去x，化简得(a＋2b)y－8by＋b(822222－a)＝0，由Δ＝0得2b＋a－8＝0.设F′为椭圆C的左焦点，连接F′E，易知F′E∥l，2c2c22c所以F′E⊥EF，又点F到直线l的距离d＝2＝，所以|EF|＝，|F′E|＝2a－|EF|ac＋b2a

2b2222222＝，在Rt△F′EF中，|F′E|＋|EF|＝|F′F|，化简得2b＝a，代入2b＋a－8＝0得2ab2＝2，a＝2，所以|EF|＝|F′E|＝2，所以S△OEF＝S△F′EF＝1. x2y28．[2019·广西南宁联考]已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－yab＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4,1)，则椭圆的离心率是( ) 12A. B. 2235 D. 25答案：C C.12x2y2解析：因为点M为直线x－y＋5＝0与椭圆2＋2＝1(a>b>0)相交的弦的中点，所以由中abb2b213b2点弦公式可知yM＝－2xM，代入，M(－4,1)的坐标，解得2＝，则e＝1－＝.故选aa4a2C. 9．[2018·全国卷Ⅰ]已知双曲线C：－y＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F3的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝( ) 3A. B．3 2C．23 D．4 答案：B 解析： x22由已知得双曲线的两条渐近线方程为y＝±设两渐近线夹角为2α，则有tanα＝13＝1 3x. 3，所以α＝30°. 3所以∠MON＝2α＝60°. 又△OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN⊥ON，如图所示． 在Rt△ONF中，|OF|＝2，则|ON|＝3. 则在Rt△OMN中，|MN|＝|ON|·tan2α＝3·tan60°＝3. 故选B. x2y210．[2019·湖南百校联盟联考]已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的右顶点和上顶点分别为A、abB，左焦点为F.以原点O为圆心的圆与直线BF相切，且该圆与y轴的正半轴交于点C，过点C的直线交椭圆于M、N两点．若四边形FAMN是平行四边形，则该椭圆的离心率为( ) 31A. B. 5223C. D. 34答案：A

解析：∵圆O与直线BF相切，∴圆O的半径为，即OC＝，∵四边形FAMN是平行bcabca2a＋c，bc，代入椭圆方程得a＋c四边形，∴点M的坐标为2a4a2c2b22＋22＝1，∴5e＋2e－3ab3＝0，又00)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C.若|BC|＝3|BF|，且|AF|＝4，则p为( ) 4A. B．2 3816C. D. 33答案：C 解析：设点A，B在准线上的射影分别为A′，B′，则|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|.∵|BC|＝3|BF|，∴|BC|＝3|BB′|，∴直线l的斜率为22.∵|AF|＝4，∴|AA′|＝4，∴|AC|＝3|AA′|＝12，∴|CF|＝8，|BF|＝2，|CB|＝6. p|CF|p88∵＝，∴＝.解得p＝.故选C. |AA′||CA|412312．已知A(3,0)，B(－2,1)是椭圆＋＝1内的点，M是椭圆上的一动点，则|MA|＋2516|MB|的最大值与最小值之和为( ) A．20 B．12 C．22 D．24 答案：A 解析： x2y2 由题知A为椭圆的右焦点，设左焦点为F1，由椭圆的定义知|MF1|＋|MA|＝10，所以|MA|＋|MB|＝10＋|MB|－|MF1|.又||MB|－|MF1||≤|BF1|，所以－|BF1|≤|MB|－|MF1|≤|BF1|，如图，设直线BF1交椭圆于M1，M2两点．当M为点M1时，|MB|－|MF1|最小，当M为点M2时，|MB|－|MF1|最大．所以|MA|＋|MB|的最大值为10＋2，最小值为10－2.故|MA|＋|MB|的最大值与最小值之和为20. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13．[2019·桂林模拟]已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲916线上，若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为________． x2y2

16答案： 5解析：由题意知，a＝3，b＝4，c＝5，从而|F1F2|＝10，||PF1|－|PF2||＝6.设|PF1|与222|PF2|中较小的为s，则较大的为6＋s，因为PF1⊥PF2，所以s＋(6＋s)＝100，得s＋6ss＋s3216＝32.由△PF1F2为直角三角形，知点P到x轴的距离d＝＝＝. 10105214．已知点A是抛物线y＝2px(p>0)上一点，F为其焦点，以F为圆心，|FA|为半径的128圆交准线于B，C两点，△FBC为正三角形，且△ABC的面积是，则抛物线的标准方程为3________． 答案：y＝16x 解析：如图，依题意得|DF|＝p，2 |DF|2p2p＝cos30°，因此|BF|＝，|AF|＝|BF|＝.|BF|332p12812p2p，又△ABC的面积为，因此有××32333由抛物线的定义知，点A到准线的距离也为1282＝，p＝8，该抛物线的标准方程为y＝16x. 315．[2019·昆明模拟]直线l：y＝k(x＋2)与曲线C：x－y＝1(x<0)交于P，Q两点，则直线l的倾斜角的取值范围是________． πππ3π答案：，∪， 4422解析：曲线C：x－y＝1(x<0)的渐近线方程为y＝±x，直线l：y＝k(x＋2)与曲线Cπ3π交于P，Q两点，所以直线的斜率k>1或k<－1，所以直线l的倾斜角α∈，，由于44ππππ3π直线l的斜率存在，所以α≠，所以直线l的倾斜角的取值范围是，∪，. 424222222x2y216．[2019·河南八校联考]已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的右顶点为A，经过原点的直ab线l交椭圆C于P、Q两点，若|PQ|＝a，AP⊥PQ，则椭圆C的离心率为________． 25答案： 5|PQ|a解析：不妨设点P在第一象限，O为坐标原点，由对称性可得|OP|＝＝，因为AP⊥PQ，22|OP|13aa所以在Rt△POA中，cos∠POA＝＝，故∠POA＝60°，易得P，，代入椭圆方程|OA|24413a252222得＋2＝1，故a＝5b＝5(a－c)，所以椭圆C的离心率e＝. 1616b5三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分) 2[2018·全国卷Ⅱ]设抛物线C：y＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C2

交于A，B两点，|AB|＝8. (1)求l的方程； (2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程． 解析：(1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， y＝kx－1，2222由2得kx－(2k＋4)x＋k＝0. y＝4x22k＋42Δ＝16k＋16>0，故x1＋x2＝2. k4k＋4所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝2. 2k4k＋4由题设知2＝8，解得k＝－1(舍去)或k＝1. 2k因此l的方程为y＝x－1. (2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5. 设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则 y0＝－x0＋5，y0－x0＋2x＝0＋2x0＝3，解得y0＝22＋16. 2 x0＝11，或y0＝－6.2 22因此所求圆的方程为(x－3)＋(y－2)＝16或(x－11)＋(y＋6)＝144. 18．(本小题满分12分) [2019·黑龙江大庆实验月考]已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的右焦点(3，0)，且经3，点M是x轴上的一点，过M点的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A在x2轴的上方)． (1)求椭圆C的方程； 422(2)若|AM|＝2|MB|，且直线l与圆O：x＋y＝相切于点N，求|MN|的长． 7过点－1，xa2yb2 解析：(1)由题意知22a2－b2＝c2＝3，－2a2＋322b2＝1， 2 解得a＝4，b＝1，∴椭圆C的方程为＋y＝1. 4(2)设M(m,0)，直线l：x＝ty＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由|AM|＝2|MB|，得y1＝－2y2. x2

2x＋y2＝1，由4x＝ty＋m， 得(t＋4)y＋2tmy＋m－4＝0， 22222tmm－4∴y1＋y2＝－2，y1y2＝2. t＋4t＋42∵y1y2＝－2y2，y1＋y2＝－2y2＋y2＝－y2， 22∴y1y2＝－2[－(y1＋y2)]＝－2(y1＋y2)， m2－42tm22222即2＝－2－2，化简得(m－4)(t＋4)＝－8tm. t＋4t＋4|m|∵原点O到直线l的距离d＝， 21＋t422又直线l与圆O：x＋y＝相切， 7∴|m|1＋t＝224722，即t＝m－1. 742m－t＋联立272t＝m－1，442＝－8tm，22 消去t得 221m－16m－16＝0，即(3m－4)(7m＋4)＝0， 442322解得m＝，此时t＝，满足Δ>0，此时M±，0， 333在Rt△OMN中，|MN|＝44421－＝， 372122421∴|MN|的长为. 2119．(本小题满分12分) [2019·河北唐山联考]已知F为抛物线E：y2＝4x的焦点，过点P(0,2)作两条互相垂直的直线m，n，直线m交E于不同的A，B两点，直线n交E于不同的两点C，D，记直线m的斜率为k. (1)求k的取值范围； (2)设线段AB，CD的中点分别为点M，N，证明：直线MN过定点Q(2,0)． 解析：(1)由题设可知k≠0， 所以直线m的方程为y＝kx＋2， 22与y＝4x联立，整理得ky－4y＋8＝0.① 1由Δ1＝16－32k>0，解得k<. 212直线n的方程为y＝－x＋2，与y＝4x联立， k整理得y＋4ky－8k＝0， 2由Δ2＝16k＋32k>0，解得k>0或k<－2. 1k≠0，k<，2所以k>0或k<－2，2 1故k的取值范围为kk<－2或04222222由①得，y1＋y2＝，则y0＝，x0＝2－，则M2－，. kkkkkkk同理可得N(2k＋2k，－2k)． 2直线MQ的斜率kMQ＝＝－2， 22k＋k－12－－22kkkk－2kk直线NQ的斜率kNQ＝2＝－2＝kMQ， 2k＋2k－2k＋k－1所以直线MN过定点Q(2,0)． 20．(本小题满分12分) x2y2[2019·山西大学附属中学模拟]已知点A(0，－2)，椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的离心率ab为323，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点． 23(1)求E的方程； (2)设过点A的直线l与E交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程． 223解析：(1)设F(c,0)，由条件知＝，得c＝3. c3c3x22222又＝，所以a＝2，b＝a－c＝1，故E的方程为＋y＝1. a24(2)依题意当l⊥x轴时不合题意，故设直线l的方程为y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 2x222223将y＝kx－2代入＋y＝1，得(1＋4k)x－16kx＋12＝0.当Δ＝16(4k－3)>0，即k>448k±24k－3时，x1,2＝， 21＋4k4k＋1·4k－3从而|PQ|＝k＋1|x1－x2|＝. 21＋4k2又点O到直线PQ的距离d＝2， k＋12222144k－3所以△OPQ的面积S△OPQ＝d|PQ|＝2. 21＋4k设4k－3＝t，则t>0，S△OPQ＝224t4＝≤t＋44t＋2 t24t·4＝1，当且仅当t＝2，即k＝±72t77x－2或y＝－22时等号成立，且满足Δ>0.所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝x－2. 21．(本小题满分12分) x2y2[2019·广东广州联考]已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的焦距为26，且过点A(2,1)． ab(1)求椭圆C的方程； (2)若不经过点A的直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于P，Q两点，且直线AP与直线AQ的斜率之和为0，证明：直线PQ的斜率为定值． 解析：(1)因为椭圆C的焦距为26，且过点A(2,1)， 41所以2＋2＝1,2c＝26. ab

又因为a＝b＋c，由以上三式解得a＝8，b＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1. 82(2)证明：设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1≠x2≠2， 则y1＝kx1＋m，y2＝kx1＋m. 22222x2y2y＝kx＋m，22由xy＋＝18222 消去y并整理，得 2(4k＋1)x＋8kmx＋4m－8＝0，(*) 2－8km4m－8则x1＋x2＝2，x1x2＝2. 4k＋14k＋1y1－1y2－1因为kAP＋kAQ＝0，所以＝－， x1－2x2－2化简得x1y2＋x2y1－(x1＋x2)－2(y1＋y2)＋4＝0. 即2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4m＋4＝0.(**) 2km2－8kmm－1－2k代入得－－4m＋4＝0， 224k＋14k＋1整理得(2k－1)(m＋2k－1)＝0. 1因为直线l不经过点A，所以2k＋m－1≠0，所以k＝. 21所以直线PQ的斜率为定值，该值为. 222．(本小题满分12分) x22[2019·福建三明高中联盟模拟]设椭圆E的方程为2＋y＝1(a>0)，点O为坐标原点，a点A，B的坐标分别为(a,0)，(0,1)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率1为. 4(1)求椭圆E的方程； (2)若斜率为k的直线l交椭圆E于C，D两点，交y轴于点T(0，t)(t≠1)，问是否存在实数t使得以CD为直径的圆恒过点B？若存在，求t的值；若不存在，说明理由． 解析：(1)设点M的坐标为(x0，y0)， →1→a1AM＝AB＝－，， 333→→→2a1OM＝OA＋AM＝，， 332a1∴x0＝，y0＝， 33y01又＝， x04∴a＝2， ∴椭圆E的方程为＋y＝1. 4(2)设直线l的方程为y＝kx＋t，代入＋y＝1，得 4222(4k＋1)x＋8ktx＋4t－4＝0.设C(x1，y1)，D(x2，y2)， 28kt4t－4则x1＋x2＝－2，x1x2＝2. 4k＋14k＋1→→假设存在实数t，使得以CD为直径的圆恒过点B，则BC⊥BD. x22x22

→→∵BC＝(x1，y1－1)，BD＝(x2，y2－1)， →→∴BC·BD＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝0， 即x1x2＋(kx1＋t－1)(kx2＋t－1)＝0，得 22(k＋1)x1x2＋k(t－1)(x1＋x2)＋(t－1)＝0， 32整理得5t－2t－3＝0，解得t＝－(t≠1)， 53即当t＝－时，符合题意． 5