(精编)2020届高考数学专题06基本初等函数(指数函数、对数函数、幂函数、二次函数)学案文

【考点剖析】

1.命题方向预测：

1.指数函数的概念、图象与性质是近几年高考的热点．

2.通过具体问题考查指数函数的图象与性质，或利用指数函数的图象与性质解决一些实际问题是重点，也是难点，同时考查分类讨论思想和数形结合思想．

3.高考考查的热点是对数式的运算和对数函数的图象、性质的综合应用，同时考查分类讨论、数形结合、函数与方程思想．

4.关于幂函数常以5种幂函数为载体，考查幂函数的概念、图象与性质，多以小题形式出现，属容易题． 5.二次函数的图象及性质是近几年高考的热点；用三个“二次”间的联系解决问题是重点，也是难点． 6.题型以选择题和填空题为主，以分段函数形式，考查多个函数的性质，若与其他知识点交汇，则以解答题的形式出现. 2.课本结论总结： 指数与指数函数 1．分数指数幂

(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a是amnmnnam (a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义

1nam (a>0，m，n∈N，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．

rsr＋s*

(2)有理指数幂的运算性质：aa＝a2．指数函数的图象与性质

，(a)＝a，(ab)＝ab，其中a>0，b>0，r，s∈Q.

rsrsrrr 1

对数与对数函数 1．对数的概念

如果a＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中__a__叫做对数的底数，__N__叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则

如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么

xM＝logaM－logaN； Nnnn③logaM＝nlogaM (n∈R)；④logamM＝logaM.

m①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga(2)对数的性质

①alogaN＝__N__；②logaa＝__N__(a>0且a≠1)． (3)对数的重要公式 ①换底公式：logbN＝

NlogaN (a，b均大于零且不等于1)； logab②logab＝

1，推广logab·logbc·logcd＝logad. logba3．对数函数的图象与性质

2

二次函数与幂函数 1．二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝ax2

＋bx＋c(a≠0)． ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2

＋n(a≠0)． ③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． (2)二次函数的图象和性质

解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 4acb2，4a ，4acb24a 单调性 在x∈，-b在x∈b2a上单调2a，上单调递 3

递减；在x∈单调递增 对称性 2.幂函数

bb，上减在x∈，-上单2a2a调递增 函数的图象关于x＝b对称 2a(1)定义：形如y＝x(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)幂函数的图象比较

α

(3)幂函数的性质比较

特征 函数 y＝x 性质 定义域 值域 奇偶性 R R 奇函数 R [0，＋∞) 偶函数 R R 奇函数 函数 [0，＋∞) {x|x∈R且x≠0} [0，＋∞) {y|y∈R且y≠0} 非奇非偶奇函数 y＝x 2y＝x 3yx 12y＝x－1 x∈[0，＋∞)x∈(0，＋∞) 时，时，增；x∈单调性 增 (－∞，0]时，时，减 减

3.名师二级结论：

（1）根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式

4

增 增 减；x∈(－∞，0)的化简运算．

（2）指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按：0＜a＜1和a＞1进行分类讨论．

（3）换元时注意换元后“新元”的范围．

（4）对数源于指数，指数式和对数式可以互化，对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指数式的互化进行证明．

（5）解决与对数有关的问题时，(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围． （6）对数值的大小比较方法

化同底后利用函数的单调性、作差或作商法、利用中间量(0或1)、化同真数后利用图象比较． （7）函数y＝f(x)对称轴的判断方法

1、对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)的图象关于x＝称．

2、对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要条件是函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称(a为常数)． 4.考点交汇展示：

(1)基本初等函数与集合交汇 例1.【2017山东，理1】设函数y=4-x2的定义域A，函数y=ln(1-x)的定义域为B,则AB= （A）（1,2） （B）(1,2（-2,1） （D）[-2,1)  （C）【答案】D

【解析】由4x20得2x2，由1x0得x1，故

x1＋x2

2

对AIB={x|2x2}{x|x1}{x|2x1}，选D.

(2)基本初等函数与不等式交汇 x2x3,x1,x例1.【2017天津，文8】已知函数f(x)设，若关于x的不等式aRf(x)|a|在R22x,x1.x上恒成立，则a的取值范围是（ ） （A）[47,2] 16（B）[473939,] （C）[23,2] （D）[23,]161616

【答案】A

5

x2x222（当x2时取等号）， 2x2x所以23a2， 综上47a2．故选A． 16，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是

例2.【2018年浙江卷】已知λ∈R，函数f(x)=

___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________． 【答案】 (1,4)

当时，

，由

，此时

在

，即在

上只能有一个零点得

上有两个零点；当时，

.综上，的取值范围为

6

.

【考点分类】

考向一 指数函数、对数函数 1.【2018年天津卷文】已知A. 【答案】D

【解析】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.

详解：由题意可知：

，即

，

，即

，

B.

C.

D.

，则

的大小关系为

，即，综上可得：.本题选择D选项.

xx2.【2017北京，理5】已知函数f(x)3()，则f(x)

13（A）是奇函数，且在R上是增函数 （C）是奇函数，且在R上是减函数 【答案】A

（B）是偶函数，且在R上是增函数 （D）是偶函数，且在R上是减函数

3.【2018年新课标I卷文】已知函数【答案】-7 【解析】 根据题意有【方法规律】

，可得

，所以

，故答案是

.

，若

，则

________．

7

1.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决．

2.对数式的化简与求值的常用思路(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．

(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.

3．比较对数值大小时若底数相同，构造相应的对数函数，利用单调性求解；若底数不同，可以找中间量，也可以用换底公式化成同底的对数再比较．

4．利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面的问题，一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的． 【解题技巧】

1.图像题要注意根据图像的单调性和特殊点判断

2.指数形式的几个数字比大小要注意构造相应的指数函数和幂函数

3．判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较． 4．指数函数y＝a (a>0，a≠1)的性质和a的取值有关，一定要分清a>1与01.求解复合函数的单调性要注意“同增异减”的应用 2.涉及到对数函数的运算是要首先考虑其定义域

3.恒成立问题一般与函数最值有关，要与方程有解区别开来． 4.复合函数的问题，一定要注意函数的定义域．

5.对可化为a＋b·a＋c＝0或a＋b·a＋c≥0 (≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围.

6.在运算性质logaM＝αlogaM中，要特别注意条件，在无M＞0的条件下应为logaM＝αloga|M|(α∈N＋，且α为偶数)．

7.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值 例1设a＞0且a≠1，函数f(x)＝a

2

lg(x－2x＋3)

2xx

x2xxαα有最大值，则不等式loga(x－5x＋7)>0的解集为________．

8

2

【答案】{x|2＜x＜3}

【解析】∵函数y＝lg(x－2x＋3)有最小值，f(x)＝a∴由loga(x－5x＋7)>0，得0＜x－5x＋7＜1， 解得2＜x＜3.

∴不等式loga(x－5x＋7)>0的解集为{x|2＜x＜3}．

【易错点】指数函数和对数函数中注意讨论底数a的大小，复合函数的单调性往往也和a的取值有关

考向二 幂函数、二次函数 1.【2018届广东省茂名市高三五大联盟学校9月联考】已知幂函数

在区间

A.

B. 0 C.

上的最小值是( ) D.

的图象过点

，则函数

2

2

2

2

2

lg(x－2x＋3)

有最大值，∴0＜a＜1.

【答案】B 【解析】由题设

，故

在

上单调递增，则当

时取最小值

，应选答案B.

2.【2018年天津卷文】已知a∈R，函数恒成立，则a的取值范围是__________． 【答案】［，2］ 【解析】

若对任意x∈［–3，+），f(x)≤

3.【2018届浙江省杭州市第二中学6月热身】已知函数，若存在实数

9

，使得【答案】

.

且同时成立，则实数的取值范围是__________．

【解析】分析：从函数形式上看，

，因此当

围．

，

在

中的符号容易判断，当

时，

在

时，，当，

有解；当有解，故可求出的取值范

【方法规律】

1.二次函数在闭区间上的最值与抛物线的开口方向、对称轴位置、闭区间三个要素有关；

2.常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得最值.二次函数、二次方程、二次不等式之间可以相互转化．一般规律(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解． 3.幂函数y＝x的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查

(1)α的正负：α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一 象限的图象下降，反之也成立．

(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸． 4．二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律：

(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．

10

α(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解． 5．幂函数y＝x(α∈R)图象的特征

α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立． 【解题技巧】

1.做二次函数类型题是注意数形结合的应用，画出函数的草图能帮助我们理清思路 2.二次函数中如果含有参数，往往要进行分类讨论

3.对于函数y＝ax＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．

4.幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点. 【易错点睛】

1.注意幂函数与指数函数的联系与区别 2.幂函数的增减与α的关系

3.对于函数y＝ax＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．

【热点预测】

1.【福建省闽侯第二中学、连江华侨中学等五校教学联合体】设集合则A．

等于（ ） B．

C．

D．

，

22α

【答案】B 【解析】

2.【2018届江西省新余市第四中学适应性考】设A．

B．

C．

D．

,则的大小顺序是( )

11

【答案】D 【解析】

，

因为故答案为：D

，所以

.

3.下列函数中，在(0,)内单调递减，并且是偶函数的是（ ） A．yx 【答案】C

2B．yx1 C．ylg|x| D．y2

x

4．【2019届河南省信阳高级中学第一次大考】若x∈（

，1），a＝lnx，b＝

，c＝

，则

A． b＞c＞a B． c＞b＞a C． b＞a＞c D． a＞b＞c 【答案】A 【解析】 由题意得∵∴∴∴故选A．

5．【2018届北京市通州区高三上期中】函数fx{的交点个数是（ ）．

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 【答案】B

12

， ， ， ． ．

x4,x0 的图象与函数gxlnx2的图象

x3,x0【解析】作出函数fx与gx的图象，如图所示，由图象可知， fx与gx图象有2个交点．故选B．

6.【2018届安徽省淮南市二模】已知函数满足A． 【答案】A

B．

是定义在上的奇函数，且在区间

上单调递增，若实数

，则的取值范围是( ) C．

D．

7.【2018届广西钦州市第三次检测】定义运算：为（ ）

A． B． C． D． 【答案】D 【解析】

，则

的最大值

13

令由于所以

，所以

，

，

，所以其最大值为，故选D．

为偶函数，记

8.【2018届湖北省华中师范大学第一附属中学5月押题】定义在上的函数

，

A． C． 【答案】C 【解析】

B． D．

，则（ ）

9.【2017山东，理10】已知当x0,1时，函数ymx1的图象与y2xm的图象有且只有一个

交点，则正实数m的取值范围是

（A）0,1U23, （B）0,1U3,

（C）0,2U23, （D）0,2U3,

【答案】B

【解析】试题分析：当0m1时，

11 ，y(mx1)2 单调递减，且y(mx1)2[(m1)2,1]，m1yxm单调递增，且yxm[m,1m] ，此时有且仅有一个交点；当m1时，01 ，

m14

1

,1] 上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需(m1)21mm3 选B. m

110.【2018届广东省汕头市金山中学高三上期中】已知当0x≤时，不等式logax2恒成立，则实数

2y(mx1)2在[

a的取值范围是（ ） A.

2,2 B. 1,2 D. 0,2 C. 2,12 2【答案】B

11.【2018年高考第二次适应与模拟】设函数数， 【答案】10 【解析】 作出

的图象，如图，由

且

得

的最小值为_________________．

，若

，

，则对任意的实

，即

如图圆到射线

，易知点

，其中在劣弧

上，记

， ，则

表示点

．

上点的距离的平方，从图中可知最小值为点到原点的距离的平方，即

15

12.【2018届重庆市合川区5月模拟】已知函数________． 【答案】(－∞，0)【解析】 若即解得，故答案为：

则或或

．

．

，若方程

有两个解，

，

或

，

(2，＋∞)

，若f(m)>1，则m的取值范围是

13.【2018届宁夏银川市唐徕回民中学四模】已知函数则实数的取值范围是______． 【答案】【解析】

14.函数（1）求方程（2）若函数

的解； 的最小值为

，求的值.

16

【答案】（1）【解析】

（2）

（1）要使函数有意义，则有函数可化为由即

，得

，

的解为

.

，解得：

17